Sifat Operasi dan Urutan Operasi

Pada bilangan pecahan terdapat dua operasi yang telah dikenal, yaitu penjumlahan dan perkalian.

Penjumlahan

Apabila $\frac{a}{b}$ dan $\frac{c}{d}$ dua pecahan maka jumlah keduanya adalah $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}$ yaitu dengan menyamakan penyebut lalu menjumlahkan pembilang.

Perkalian

Apabila $\frac{a}{b}$ dan $\frac{c}{d}$ dua pecahan, maka perkalian keduanya adalah $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ yaitu dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebutnya.

Sifat Asosiatif

Penjumlahan dan perkalian pecahan memenuhi sifat asosiatif, yaitu $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$ $(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}) \times \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \times (\frac{c}{d} \times \frac{e}{f})$ Oleh karena itu, dapat dituliskan bentuk $\frac{a}{b}$ + $\frac{c}{d}$ + $\frac{e}{f}$ (untuk penjumlahan) $\frac{a}{b}$ $\times$ $\frac{c}{d}$ $\times$ $\frac{e}{f}$ (untuk perkalian) tanpa memiliki makna ganda.

Sifat Komutatif

Penjumlahan dan perkalian pecahan memenuhi sifat komutatif, yaitu $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$ $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \times \frac{a}{b}$ Sifat komutatif berkaitan dengan pertukaran urutan operasi dua bilangan.

Unsur Identitas

Operasi penjumlahan pada bilangan pecahan memiliki unsur identitas, yaitu 0. Unsur ini jika dioperasikan (dijumlahkan) dengan bilangan pecahan lain tidak memberikan perubahan, yaitu $\frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b}$ untuk setiap pecahan $\frac{a}{b}$.

Operasi perkalian pada bilangan pecahan memiliki unsur identitas, yaitu 1. Unsur ini dioperasikan (dikalikan) dengan bilangan pecahan tidak memberikan perubahan, yaitu $\frac{a}{b} \times 1 = \frac{a}{b}$ untuk setiap pecahan $\frac{a}{b}$.

Elemen Invers

Terhadap penjumlahan: Apabila $\frac{c}{d}$ pecahan, maka selalu ada pecahan lain p sehingga $\frac{c}{d}$ + p = 0. Dalam hal ini p = $-\frac{c}{d}$. Bilangan $-\frac{c}{d}$ dinamakan lawan (invers terhadap penjumlahan) dari $\frac{c}{d}$. Seperti bilangan bulat, dapat dituliskan $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + (-\frac{c}{d})$ Operasi pengurangan dapat dituliskan sebagai operasi penjumlahan.

Terhadap perkalian: Apabila $\frac{c}{d}$ pecahan tidak sama dengan nol, maka selalu ada pecahan q sehingga $\frac{c}{d}$ $\times$ q = 1. Dalam hal ini q = $\frac{d}{c}$, yaitu kebalikan dari pecahan semula. Bilangan $\frac{d}{c}$ dinamakan kebalikan (invers terhadap perkalian) dari $\frac{c}{d}$. Operasi pembagian dapat dinyatakan sebagai operasi perkalian, sehingga dapat dituliskan $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ dengan c ≠ 0.

Sifat Distributif

Apabila diketahui pecahan $\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$, dan $\frac{e}{f}$, maka berlaku $\frac{a}{b} \times (\frac{c}{d} + \frac{e}{f}) = \frac{ac}{bd} + \frac{ae}{bf}$ Dengan menuliskan x = $\frac{a}{b}$, y = $\frac{c}{d}$, dan z = $\frac{e}{f}$, maka sifat distributif ini mempunyai bentuk x $\times$ (y + z) = xy + xz. Sesuai dengan sifat distributif bilangan bulat.

Contoh Soal