Frekuensi Majemuk

Dua Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian dikatakan saling lepas (mutually exclusive) jika tidak bisa terjadi secara bersamaan. Artinya, jika salah satu kejadian terjadi, maka kejadian yang lain tidak mungkin terjadi. Untuk kejadian yang saling lepas (saling asing/saling eksklusif), maka $P(A \cap B) = P(\emptyset)$.

Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas, maka:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

karena tidak ada irisan (tidak terjadi bersamaan), maka cukup dijumlahkan.

Jika hubungan antara $P(A \cup B)$, $P(A)$, dan $P(B)$, terdapat irisan antara A dan B, $P(A \cap B)$ diperoleh

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Dua Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian dikatakan saling bebas (independent events) jika terjadinya salah satu kejadian tidak memengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Jadi, hasil dari satu percobaan tidak bergantung pada hasil percobaan yang lain.

Bola pertama dikembalikan sebelum bola kedua diambil

Perhatikan contoh berikut.

Pada percobaan pengambilan dua bola satu per satu dengan pengembalian. Misalnya, sebuah kotak berisi 4 bola biru dan 3 bola kuning. Pada pengambilan pertama, peluang terambil bola kuning $= \dfrac{3}{7}$. Jika sebelum pengambilan kedua, bola dikembalikan lagi ke dalam kotak, maka peluang terambil bola kuning kedua tetap $\dfrac{3}{7}$. Dalam kasus ini kejadiannya saling bebas. Karena peluang munculnya kejadian pengambilan bola kuning kedua tidak dipengaruhi oleh pengambilan bola kuning pertama.

Jika $E_1$ dan $E_2$ adalah dua kejadian dengan syarat bahwa peluang bagi kejadian $E_1$ tidak mempengaruhi kejadian $E_2$, maka $E_1$ dan $E_2$ disebut sebagai kejadian-kejadian saling bebas dan berlaku rumus:

$$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$$

Bola pertama tidak dikembalikan sebelum bola kedua diambil

Dalam contoh kasus di atas, bagaimana jika sebelum pengambilan bola kedua, bola pertama tidak dikembalikan ke dalam kotak? Misalnya, pada pengambilan pertama terambil bola kuning dan peluangnya $= \dfrac{3}{7}$. Jika bola kuning tersebut tidak dikembalikan ke dalam kotak, maka bola yang tersisa dalam kotak adalah 4 bola biru dan 2 bola kuning. Sehingga peluang terambil bola kuning pada pengambilan yang kedua adalah $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Dengan demikian, untuk pengambilan bola pertama yang tidak dikembalikan, maka peluang pada pengambilan bola kedua bergantung pada hasil pengambilan bola pertama. Kasus seperti ini disebut kejadian bersyarat.

Jika $E_1$ dan $E_2$ adalah dua kejadian dengan syarat bahwa peluang bagi kejadian $E_1$ akan mempengaruhi kejadian $E_2$, maka $E_1$ dan $E_2$ disebut sebagai kejadian bersyarat tidak saling bebas dan berlaku rumus:

$$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2 \mid E_1)$$

$P(E_2 \mid E_1)$ dibaca peluang kejadian $E_2$ dengan syarat $E_1$ telah terjadi atau peluang bersyarat kejadian $E_2$ setelah diketahui kejadian $E_1$.