Bab 7: Pencacahan dan Peluang

Kata kunci: Aturan Penjumlahan, Aturan Perkalian, Ruang Sampel, Peluang, Peluang Majemuk, Kejadian Saling Lepas, Kejadian Saling Bebas, Frekuensi Relatif, Frekuensi Harapan.

Tujuan pembelajaran

• Mengidentifikasi dan menganalisis aturan pencacahan (termasuk aturan penjumlahan dan perkalian).
  • Menyusun dan mengaplikasikan aturan penjumlahan dan perkalian untuk menghitung kemungkinan kejadian berdasarkan situasi yang relevan.
  • Menggunakan aturan pencacahan untuk memecahkan masalah kontekstual dengan cara yang sistematis dan terstruktur.
• Menyelesaikan masalah terkait dengan aturan pencacahan (seperti aturan penjumlahan dan perkalian) untuk mencari solusi yang tepat.
  • Mengidentifikasi jenis masalah yang sesuai dengan masing-masing aturan pencacahan dan menerapkan rumus yang sesuai.
  • Menggunakan keterampilan menghitung jumlah kejadian atau kemungkinan dalam berbagai skenario praktis untuk mendapatkan hasil yang benar.
• Menentukan ruang sampel dari suatu kejadian, yang mencakup pemahaman mengenai semua kemungkinan hasil dalam eksperimen acak.
  • Menganalisis dan menggambarkan semua hasil yang mungkin dalam percobaan acak untuk membentuk ruang sampel.
  • Menggunakan ruang sampel untuk mempermudah pemahaman tentang peluang dan perhitungan terkait kejadian yang terjadi dalam eksperimen.
• Mendeskripsikan dan menghitung peluang kejadian majemuk (kejadian saling lepas dan saling bebas) serta cara menghitung peluangnya.
  • Menjelaskan perbedaan antara kejadian saling lepas dan saling bebas serta mengidentifikasi situasi yang sesuai dengan keduanya.
  • Menggunakan rumus yang tepat untuk menghitung peluang kejadian majemuk yang melibatkan dua atau lebih kejadian, baik yang saling lepas maupun yang saling bebas.
• Menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan peluang kejadian majemuk.
  • Menerapkan aturan peluang untuk menghitung peluang kejadian majemuk dalam berbagai skenario eksperimen acak.
  • Menggunakan konsep kejadian saling lepas dan saling bebas untuk menyelesaikan soal-soal yang melibatkan lebih dari satu kejadian dalam sebuah percobaan.

Isi bab ini

Rangkuman

• Aturan perkalian
• Apabila suatu peristiwa terdiri dari n tahap yang berurutan di mana peristiwa pertama dilakukan dengan $r_1$ cara berbeda dan masing-masing cara tersebut dilanjutkan dengan peristiwa kedua yang dilakukan dengan $r_2$ cara berbeda, dan seterusnya hingga peristiwa ke-n yang dapat dilakukan dengan $r_n$ cara berbeda, maka peristiwa tersebut dapat dilakukan secara bersama-sama dengan $r_1 \times r_2 \times \dots \times r_n$ cara yang berbeda.
• Aturan penjumlahan
• Apabila suatu peristiwa terdiri dari n tahap yang saling lepas (tidak bisa terjadi bersamaan), di mana peristiwa pertama dapat dilakukan dengan $r_1$ cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat dilakukan dengan $r_2$ cara berbeda, dan seterusnya hingga peristiwa ke-n yang dapat dilakukan dengan $r_n$ cara berbeda, maka total peristiwa tersebut adalah $r_1 + r_2 + \dots + r_n$ cara yang berbeda.
• Pengertian peluang
• Apabila suatu percobaan menghasilkan n titik contoh yang masing-masing berpeluang sama dan kejadian A terjadi dengan tepat k cara, di mana k merupakan anggota dari titik contoh, maka:
• $$P(A) = \frac{k}{n} \quad \text{untuk } k \le n$$
• Kisaran nilai peluang
• Komplemen suatu kejadian
• Kejadian bukan A dari himpunan S dilambangkan dengan simbol $A'$ atau $A^C$ dan disebut komplemen dari A.
• $$P(A') = 1 - P(A)$$
• Frekuensi harapan
• Dalam sebuah percobaan, frekuensi harapan dihitung dengan mengalikan peluang suatu kejadian dengan jumlah pengulangan percobaan.
• $$F(E) = P(E) \times n$$
• Kejadian majemuk
• Kejadian saling lepas — Jika A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas, maka:
• $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
• Kejadian saling bebas — Jika $E_1$ dan $E_2$ adalah dua kejadian dengan syarat bahwa peluang bagi kejadian $E_1$ tidak mempengaruhi kejadian $E_2$, maka $E_1$ dan $E_2$ disebut sebagai kejadian-kejadian saling bebas dan berlaku rumus:
• $$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2)$$
• Kejadian bersyarat
• $$P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) \times P(E_2 \mid E_1)$$
• $P(E_2 \mid E_1)$ dibaca peluang kejadian $E_2$ dengan syarat $E_1$ telah terjadi atau peluang bersyarat kejadian $E_2$ setelah diketahui kejadian $E_1$.