Operasi Matriks

Penjumlahan Matriks

Penjumlahan dua matriks hanya dapat dilakukan jika kedua matriks memiliki ordo yang sama. Operasi ini dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks tersebut.

Apabila terdapat matriks $A = a_{ij}$ dan matriks $B = b_{ij}$, maka

$A + B = C \leftrightarrow$ ordo $A$ = ordo $B$ ordo $C$ = ordo $A$ = ordo $B$

Pada penjumlahan matriks berlaku sifat berikut:

• Komutatif: $A + B = B + A$
• Asosiatif: $(P + Q) + R = P + (Q + R)$

Apabila ordo A sembarang matriks $m \times n$ dan O matriks nol berordo $m \times n$, berlaku:

$$A + O = O + A$$

Matriks nol dapat dikatakan sebagai elemen identitas penjumlahan matriks.

Pengurangan Matriks

Setiap matriks mempunyai lawan, maka dapat ditulis $A + (-B)$ sebagai $A - B$. Dengan kata lain, matriks A dikurang matriks B didefiniiskan sebagai matriks A ditambah dengan lawan dari matriks B.

$$A - B = A + (-B)$$

Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Dalam aljabar matriks, bilangan real umumnya disebut sebagai suatu skalar. Hasil kali skalar k dan matriks A dituliskan dengan notasi $k \cdot A$.

Matriks $kA$ merupakan suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan hasil kali dari k dengan elemen-elemen matriks A.

Misalkan:

$$P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

sehingga

$$\begin{aligned} P + P &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\[4pt] &= \begin{pmatrix} a+a & b+b \\ c+c & d+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Oleh karena $P + P = 2P$, maka:

$$2P = 2\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{pmatrix}$$

Demikian pula $P + P + P = 3P$.

$$3P = 3\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a & 3b \\ 3c & 3d \end{pmatrix}$$

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa apabila k merupakan bilangan real, maka:

$$k\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}$$

Perkalian Matriks

Perkalian dua matriks merupakan proses penjumlahan hasil kali yang diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen pada baris suatu matriks dengan elemen-elemen pada kolom matriks lainnya. Jika matriks pertama disebut matriks A dan matriks kedua disebut matriks B, maka hasil kali dari matriks A dan B dinyatakan dengan notasi AB.

Syarat Perkalian Matriks

Secara umum, dua matriks A dan B dapat dikalikan jika matriks A memiliki ordo $m \times n$ dan matriks B memiliki ordo $n \times p$. Hasil perkalian matriks $A \times B$ akan menghasilkan matriks dengan $m \times p$.

Berikut dijelaskan proses perkalian matriks yang berordo $3 \times 2$ dan matriks berordo $2 \times 2$ yang akan menghasilkan matriks berordo $3 \times 2$.

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a \times p)+(b \times r) & (a \times q)+(b \times s) \\ (c \times p)+(d \times r) & (c \times q)+(d \times s) \\ (e \times p)+(f \times r) & (e \times q)+(f \times s) \end{pmatrix}$$

Pada perkalian matriks, sifat komutatif umumnya tidak berlaku, yaitu $AB \neq BA$. Istilah yang digunakan dalam aljabar, matriks perkalian AB adalah matriks B dikalikan dari kiri oleh matriks A dan perkalian BA adalah matriks B dikalikan dari kanan oleh matriks A.

Matriks Satuan (Identitas)

Perhatikan contoh perkalian berikut.

Jika matriks $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ dan $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, maka:

$$\begin{aligned} AI &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\[4pt] &= \begin{pmatrix} a+0 & 0+b \\ c+0 & 0+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} IA &= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\[4pt] &= \begin{pmatrix} a+0 & b+0 \\ 0+c & 0+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Pada contoh di atas, ditunjukkan bahwa $AI = IA$ dan hasil perkaliannya adalah matriks A. Hal serupa berlaku jika sembarang matriks berordo $2 \times 2$ dikalikan dengan matriks $I_2$ (matriks satuan berordo $2 \times 2$), hasil perkaliannya adalah matriks itu sendiri. Matriks $I_2$ tersebut dinamakan matriks satuan atau identitas perkalian yang berordo $2 \times 2$.