Menentukan Rumus Suku ke-n (Pengayaan)

Perhatikan tabel berikut.

Suku ke-	1	2	3	4	5
Bilangan	1	3	7	13	21

Suku ke-	1	2	3	4	5
Bilangan	1	3 (1 + 2)	7 (1 + 2 + 4)	13 (1 + 2 + 4 + 6)	21 (1 + 2 + 4 + 6 + 8)
Selisih I	2	4	6	8	10
Selisih II		2	2	2	2

Dapat disimpulkan barisan bilangan atau pola bilangan di atas adalah sebagai berikut.

3 = 1 + 2, 7 = 1 + 2 + 4, 13 = 1 + 2 + 4 + 6, 21 = 1 + 2 + 4 + 6 + 8, berikutnya adalah:

S6 = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 1 + x

dengan x = 2 + 4 + 6 + 8 + 10.

dapat dicari dengan teknik Gauss, yaitu:

2x = 5(2 + 10) atau x = 30

Jadi, S6 = 1 + 30 = 31

sesuai dengan pola.

Berdasarkan teknik ini, dapat dicari tahu nilai suku ke-n dari pola bilangan 1, 3, 7, 13, 21, ... .

Suku ke-n pola bilangan ini adalah

Sn = 1 + 2 + 4 + 6 + ... + (2n – 2)

Oleh karena terdapat n – 1 bilangan (2, 4, 6, ...), maka

Sn = 1 + 2 + 4 + 6 + ... + (2n – 2) = 1 + x

dengan x = 2 + 4 + 6 + ... + (2n – 2) ada sebanyak (n – 1) bilangan. Berdasarkan teknik Gauss, maka:

2x = (n – 1)[2 + (2n – 2)] = (n – 1)×2n

Jadi, x = n(n – 1) = n² – n

dan

Sn = n² – n + 1

Pembuktian untuk n = 1, 2, 3, ... S1 = 1 S2 = 4 – 2 + 1 = 3 S3 = 9 – 3 + 1 = 7 S4 = 16 – 4 + 1 = 13