Relasi

Pada bagian ini akan dibahas mengenai relasi antara dua anggota dua himpunan. Relasi dapat disebut juga hubungan atau kaitan.

Pengertian Relasi

Relasi menghubungkan setiap anggota dari himpunan pertama (biasanya disebut himpunan A) ke anggota-anggota himpunan kedua (biasanya disebut himpunan B), sesuai aturan tertentu. Relasi merupakan suatu hubungan antara anggota-anggota dua himpunan.

Dalam matematika, relasi dapat dinyatakan dalam tiga bentuk:

• diagram panah atau gambar panah,
• diagram Cartesius,
• pasangan terurut.

Diagram Panah

Misalnya, terdapat 4 orang anak yaitu Ali, Siti, Amir dan Rizki. Mereka diminta untuk menyebutkan warna favorit mereka. Ali menyukai warna merah, Siti menyukai warna ungu, Amir menyukai warna hitam, dan Rizki menyukai warna merah. Dari hasil uraian tersebut, terdapat dua buah himpunan.

Himpunan pertama adalah himpunan anak, kita sebut himpunan A dan himpunan yang kedua adalah himpunan warna, kita sebut himpunan B. Hubungan antara himpunan A dan himpunan B dapat diilustrasikan dengan diagram panah seperti berikut:

Diagram panah tersebut merupakan relasi antara anak dengan warna yang mereka sukai. Relasi antara kedua himpunan tersebut dapat dinyatakan dengan panah-panah yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Himpunan anak (himpunan A) disebut daerah asal atau domain, sedangkan himpunan warna (himpunan B) disebut daerah kawan atau kodomain. Posisi dari himpunan ini sangat penting.

Diagram Cartesius

Untuk menggambar relasi pada diagram Cartesius, gambar dua garis berpotongan terlebih dahulu, yaitu garis mendatar dan garis tegak. Kemudian, anggota dari himpunan domain digambar pada garis mendatar dan anggota dari himpunan kodomain digambar pada garis tegak.

Setiap anggota himpunan pada sumbu mendatar ditarik garis putus-putus ke atas dan pada setiap anggota himpunan pada sumbu tegak ditarik garis putus-putus mendatar. Contoh penyajian relasi dengan diagram Cartesius adalah sebagai berikut.

Pasangan Terurut

Suatu relasi juga dapat dinyatakan dengan menggunakan himpunan pasangan berurutan. Caranya dengan memasangkan himpunan A dengan himpunan B secara berurutan. Dengan menggunakan contoh yang sama, dapat dituliskan,

• Ali menyukai warna merah.
• Siti menyukai warna ungu.
• Amir menyukai warna hitam.
• Rizki menyukai warna merah.

Dari uraian di atas, relasi dapat dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan seperti berikut:

(Ali, merah), (Siti, ungu), (Amir, hitam), (Rizki, merah)

Jadi, relasi antara himpunan A dengan himpunan B dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan (x, y) dengan x ∈ A dan y ∈ B.

Definisi Matematika untuk Relasi

Pasangan Terurut

Elemen x dan y yang berasal dari dua himpunan, baik himpunan yang sama maupun berbeda, dapat dituliskan

(x, y)

dinamakan pasangan terurut x dan y. Sesuai dengan namanya, (x, y) berbeda dengan (y, x) jika x ≠ y.

Perkalian Cartesius

Perkalian Cartesius dua himpunan merupakan himpunan semesta dari relasi antara kedua himpunan.

Diketahui himpunan A dan B merupakan himpunan tak kosong. Perkalian Cartesius A dan B, ditulis A × B, adalah himpunan:

A × B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B}

yaitu himpunan semua pasangan terurut dengan x ∈ A dan y ∈ B.

Relasi dari A ke B

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah himpunan bagian dari perkalian Cartesius A × B. Apabila R menyatakan relasi dari A ke B, maka:

R ⊂ A × B

dengan A disebut daerah asal atau domain dan B disebut daerah kawan atau kodomain.