Gradien Garis

Persamaan garis ax + by = c dengan b ≠ 0 dapat dibuat menjadi bentuk by = −ax + c atau $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$ dan dapat ditulis sebagai

y = mx + n

dengan $m = -\dfrac{a}{b}$ dan $n = \dfrac{c}{b}$.

Arti Geometri Bilangan m pada Garis y = mx + n

Jika (p, q) terletak pada garis y = mx + n, maka q = mp + n. Nilai y untuk x = p + 1 dapat dihitung sebagai: y = m(p + 1) + n = mp + m + n = mp + n + m y = q + m dengan q = mp + n

Jadi, selisih nilai y untuk x = p + 1 dan x = p adalah m.

Bilangan m pada persamaan y = mx + n menyatakan pertambahan koordinat kedua jika koordinat pertama bertambah 1.

Gradien Garis (Kemiringan)

Diketahui garis $y = \frac{1}{4}x$. Artinya, apabila x bertambah 1 satuan panjang, maka y akan bertambah ¼ satuan panjang. Apabila x bertambah 2 satuan panjang, maka nilai y bertambah ¼ + ¼ = 2 × ¼ satuan panjang. Begitu pula seterusnya.

Apabila x bertambah 4 satuan panjang, maka nilai y bertambah 1 satuan panjang. Secara umum, diperoleh:

perubahan nilai y = (perubahan nilai x) × m

Andaikan proses tersebut terjadi pada suatu jalan yang mendaki, setiap mobil bergerak horizontal sejauh 4 meter, maka ketinggian akan bertambah 1 meter. Oleh karena itu, angka tersebut dinamakan kemiringan atau gradien.

Kemiringan atau gradien suatu garis y = mx + n adalah:

$$m = \dfrac{\text{perubahan nilai } y}{\text{perubahan nilai } x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

Khususnya, apabila perubahan nilai x sama dengan satu, maka: m = perubahan nilai y.

Apabila diketahui satu titik dan gradien, persamaan garis dapat ditentukan dengan:

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Arti Bilangan n pada Persamaan y = mx + n

Dalam persamaan garis lurus y = mx + n, telah dipahami bahwa m menunjukkan gradien yang menentukan kemiringan atau arah garis. Sementara itu, n menunjukkan intersep-y yaitu titik di mana garis memotong sumbu Y.

Misalnya substitusi x = 0 ke dalam persamaan, maka diperoleh: y = m(0) + n = n Dapat disimpulkan bahwa n menggambarkan posisi vertikal awal garis pada sumbu Y.

• Apabila n > 0, maka garis memotong bagian atas sumbu Y.
• Apabila n < 0, maka garis memotong bagian bawah sumbu Y.
• Apabila n = 0, maka garis memotong sumbu Y di titik asal.