Bab 1: Vektor

Jawaban Benar: A. 90° Pembahasan: Gunakan hukum cosinus: $|p+q{|}^2=p^2+q^2+2pq\cos \theta$ $10^2=6^2+8^2+2(6)(8)\cos \theta$ $100=36+64+96\cos \theta$ $100=100+96\cos \theta$ $96\cos \theta =0\Rightarrow \cos \theta =0\Rightarrow \theta =90^{\circ }$

Jawaban Benar: A. 90° Pembahasan: Gunakan hukum cosinus: $|p+q{|}^2=p^2+q^2+2pq\cos \theta$ $10^2=6^2+8^2+2(6)(8)\cos \theta$ $100=36+64+96\cos \theta$ $100=100+96\cos \theta$ $96\cos \theta =0\Rightarrow \cos \theta =0\Rightarrow \theta =90^{\circ }$

Jawaban Benar: A. 90° Pembahasan: $|m+n{|}^2=m^2+n^2+2mn\cos \theta$ $13^2=5^2+12^2+2(5)(12)\cos \theta$ $169=25+144+120\cos \theta$ $169=169+120\cos \theta$ $120\cos \theta =0\Rightarrow \theta =90^{\circ }$

Jawaban Benar: A. 10 N Pembahasan: Gunakan hukum kosinus: $R=\sqrt{6^2+8^2+2(6)(8)\cos 90^{\circ }}$ $R=\sqrt{36+64+96\times 0}$ $R=\sqrt{100}$ $R=10\text{N}$

Jawaban Benar: A. 10 N Pembahasan: $R=\sqrt{10^2+10^2+2(10)(10)(-0,5)}$ $R=\sqrt{100+100-100}$ $R=\sqrt{100}=10$

Jawaban Benar: D. 90° Pembahasan: Dot product: $u\cdot v=3(-4)+4(3)=-12+12=0$ Karena $u\cdot v=0$, maka sudutnya $90^{\circ }$

Jawaban Benar: C. $\sqrt{40}$ Pembahasan: $a+b=(2+4)i+(-3+1)j=6i-2j$ $|a+b|=\sqrt{6^2+(-2{)}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$

Jawaban Benar: C. $\sqrt{40}$ Pembahasan: $a+b=(2+4)i+(-3+1)j=6i-2j$ $|a+b|=\sqrt{6^2+(-2{)}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$

Jawaban Benar: E. 25 m Pembahasan: $|a-b|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$

Jawaban Benar: E. 60° Pembahasan: $\frac{\sqrt{20^2+20^2+2(20)(20)\cos \theta }}{\sqrt{20^2+20^2-2(20)(20)\cos \theta }}=\sqrt{3}$ Setelah kuadratkan dan sederhanakan, diperoleh $\cos \theta =0,5\Rightarrow \theta =60^{\circ }$

Jawaban Benar: E. 60° Pembahasan: $7^2=5^2+3^2+2(5)(3)\cos \theta$ $49=25+9+30\cos \theta$ $49=34+30\cos \theta$ $15=30\cos \theta$ $\cos \theta =0,5\Rightarrow \theta =60^{\circ }$

Jawaban Benar: E. $\sqrt{109}$ Pembahasan: $|F_1-F_2|=\sqrt{F_1^2+F_2^2-2F_1{F}_2\cos \theta }$ Substitusi $F_1=12$, $F_2=5$, $\theta =60^{\circ }$: $|F_1-F_2|=\sqrt{12^2+5^2-2(12)(5)\cos 60^{\circ }}$ $|F_1-F_2|=\sqrt{144+25-120\times 0.5}$ $|F_1-F_2|=\sqrt{169-60}$ $|F_1-F_2|=\sqrt{109}$ $|F_1-F_2|\approx 10.44\text{N}$

Jawaban Benar: E. $\sqrt{109}$ Pembahasan: $|F_1-F_2|=\sqrt{F_1^2+F_2^2-2F_1{F}_2\cos \theta }$ Substitusi $F_1=12$, $F_2=5$, $\theta =60^{\circ }$: $|F_1-F_2|=\sqrt{12^2+5^2-2(12)(5)\cos 60^{\circ }}$ $|F_1-F_2|=\sqrt{144+25-120\times 0.5}$ $|F_1-F_2|=\sqrt{169-60}$ $|F_1-F_2|=\sqrt{109}$ $|F_1-F_2|\approx 10.44\text{N}$

Jawaban Benar: B. Jika besar kedua vektor sama dan sudut apit 90° Pembahasan: Metode jajargenjang dan segitiga akan memberi bentuk yang identik bila kedua vektor sama besar dan membentuk sudut tegak lurus, karena jajargenjangnya akan menjadi persegi, sehingga diagonalnya sama dengan sisi segitiga yang terbentuk.

Jawaban Benar: B. Arah kecepatan awal memengaruhi bentuk lintasan gerak benda Pembahasan: Besaran vektor memiliki nilai dan arah, sehingga arah kecepatan awal akan memengaruhi lintasan gerak benda. Benda yang dilempar vertikal ke bawah hanya memiliki komponen kecepatan vertikal sehingga lintasannya lurus ke bawah. Sementara itu, benda yang dilempar miring memiliki komponen kecepatan vertikal dan horizontal sehingga lintasannya berbentuk parabola. Hal ini menunjukkan bahwa arah, sebagai bagian dari sifat vektor, berperan penting dalam menentukan bentuk lintasan suatu gerak.

Jawaban Benar: C. Lebih besar dari 50 N tetapi lebih kecil dari 100 N Pembahasan: Gaya saling tegak lurus, sehingga resultan adalah diagonal persegi. Nilainya $50\sqrt{2}\approx 70,7$ N, yang jelas lebih besar dari 50 N tetapi masih lebih kecil dari 100 N.

Jawaban Benar: B. Komponen vektor Pembahasan: Besar vektor bisa tetap sama walaupun arahnya berubah, namun perubahan arah akan mengubah tanda dan nilai komponen-komponennya pada sumbu x, y, atau z.

Jawaban Benar: D. Karena perpindahan adalah besaran vektor yang memiliki arah Pembahasan: Perpindahan didefinisikan dari titik awal ke titik akhir. Memutar urutannya akan membalik arah vektor, tetapi besarannya tetap sama.

Jawaban Benar: D. Karena perpindahan adalah besaran vektor yang memiliki arah Pembahasan: Perpindahan termasuk besaran vektor, sehingga memiliki besar dan arah. Besar perpindahan dari A ke B sama dengan dari B ke A karena jarak terpendek antar titik tidak berubah. Namun, arahnya berlawanan karena titik awal dan titik akhir ditukar. Inilah sebabnya vektor $\overrightarrow{AB}$ memiliki besar sama tetapi berlawanan arah dengan vektor $\overrightarrow{BA}$.

Jawaban Benar: C. Sama dengan penjumlahan aljabarnya Pembahasan: Jika sudut apit antara dua vektor mendekati 0°, artinya kedua vektor hampir searah. Dalam kondisi ini, besar resultan dapat dihitung dengan rumus: $R=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos \theta }$ Karena $\cos 0°=1$, maka persamaan menjadi R = A + B. Jadi, resultan sama dengan penjumlahan aljabar besar kedua vektor, dan nilainya merupakan yang terbesar dibandingkan sudut lainnya.

Jawaban Benar: C. Sama dengan penjumlahan aljabarnya Pembahasan: Jika sudut apit antara dua vektor mendekati 0°, artinya kedua vektor hampir searah. Dalam kondisi ini, besar resultan dapat dihitung dengan rumus: $R=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos \theta }$ Karena cos 0° = 1, maka persamaan menjadi R = A + B. Jadi, resultan sama dengan penjumlahan aljabar besar kedua vektor, dan nilainya merupakan yang terbesar dibandingkan sudut lainnya.

Jawaban Benar: A. 90° Pembahasan: $|a+b{|}^2=a^2+b^2+2ab\cos \theta$ $41^2=9^2+40^2+2(9)(40)\cos \theta$ $1681=81+1600+720\cos \theta$ $1681=1681+720\cos \theta$ $720\cos \theta =0\Rightarrow \theta =90^{\circ }$

Jawaban Benar: D. 90° Pembahasan: Jika resultan jumlah = resultan selisih: $\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1{F}_2\cos \theta }=\sqrt{F_1^2+F_2^2-2F_1{F}_2\cos \theta }$ Pindah ruas: $4F_1{F}_2\cos \theta =0$ $\cos \theta =0\Rightarrow \theta =90^{\circ }$

Jawaban Benar: C. $7i-8j+2k$ Pembahasan: Kita hitung hasil perkalian silang $a\times b$ menggunakan determinan: $a\times b=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 4& 3& -2\\ -2& -1& 3\end{array}\right|$ Hitung determinan: $a\times b=\mathbf{i}\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 3\end{array}\right|-\mathbf{j}\left|\begin{array}{cc}4& -2\\ -2& 3\end{array}\right|+\mathbf{k}\left|\begin{array}{cc}4& 3\\ -2& -1\end{array}\right|$ $=\mathbf{i}(3\cdot 3-(-2)(-1))-\mathbf{j}(4\cdot 3-(-2)(-2))+\mathbf{k}(4\cdot (-1)-(3)(-2))$ $=\mathbf{i}(9-2)-\mathbf{j}(12-4)+\mathbf{k}(-4+6)$ $=7\mathbf{i}-8\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ Maka $a\times b=7\mathbf{i}-8\mathbf{j}+2\mathbf{k}$

Jawaban Benar: C. $7i-8j+2k$ Pembahasan: Kita hitung hasil perkalian silang $a\times b$ menggunakan determinan: $a\times b=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 4& 3& -2\\ -2& -1& 3\end{array}\right|$ Hitung determinan: $a\times b=\mathbf{i}\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 3\end{array}\right|-\mathbf{j}\left|\begin{array}{cc}4& -2\\ -2& 3\end{array}\right|+\mathbf{k}\left|\begin{array}{cc}4& 3\\ -2& -1\end{array}\right|$ $=\mathbf{i}(3\cdot 3-(-2)(-1))-\mathbf{j}(4\cdot 3-(-2)(-2))+\mathbf{k}(4\cdot (-1)-(3)(-2))$ $=\mathbf{i}(9-2)-\mathbf{j}(12-4)+\mathbf{k}(-4+6)$ $=7\mathbf{i}-8\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ Maka $a\times b=7\mathbf{i}-8\mathbf{j}+2\mathbf{k}$