Bab 6: Transformasi Geometri

Jawaban Benar: B. Translasi oleh (−7, −2) Penyelesaian: Perhatikan perpindahan titik A ke A'. Dari gambar terlihat bahwa titik A bergeser 7 satuan ke kiri dan 2 satuan ke bawah. Perpindahan yang sama juga terjadi pada titik B ke B' dan titik C ke C'. Bentuk dan ukuran bangun tidak berubah serta arah bangun tetap sama, sehingga transformasi yang terjadi adalah translasi dengan vektor (−7, −2).

Jawaban Benar: B. E′(−3, 0) Penyelesaian: Diketahui titik E(3, −5). Langkah 1: Translasi oleh (−3, 2) Rumus translasi: $(x,y)\to (x+a,y+b)$ x' = 3 - 3 = 0 y' = -5 + 2 = -3 Hasil translasi: E₁(0, −3) Langkah 2: Pencerminan terhadap garis y = x Rumus refleksi terhadap y = x: $(x,y)\to (y,x)$ $E_1(0,-3)\to E^{\prime }(-3,0)$

Jawaban Benar: B. E′(−3, 0) Penyelesaian: Diketahui titik E(3, −5). Langkah 1: Translasi oleh (−3, 2) Rumus translasi: $(x,y)\to (x+a,y+b)$ x' = 3 - 3 = 0 y' = -5 + 2 = -3 Hasil translasi: E₁(0, −3) Langkah 2: Pencerminan terhadap garis y = x Rumus refleksi terhadap y = x: $(x,y)\to (y,x)$ E₁(0, -3) = E'(-3, 0)

Jawaban Benar: D. P’(-6, 4), Q’(2, 2) dan R’(-2, -6) Penyelesaian: Berdasarkan gambar dan pertanyaan tersebut, kita diminta untuk menentukan koordinat hasil dilatasi segitiga PQR dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k = 2. 1. Menentukan Koordinat Titik Asal (PQR) Dari grafik pada gambar, kita dapat membaca koordinat titik-titik sudut segitiga PQR: • Titik P: berada di (-3, 2) • Titik Q: berada di (1, 1) • Titik R: berada di (-1, -3) 2. Rumus Dilatasi Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k menggunakan rumus: $A(x,y)\stackrel{[O,k]}{\to }{A}^{\prime }(kx,ky)$ Karena faktor skalanya adalah k = 2, maka setiap koordinat dikalikan dengan 2. 3. Perhitungan Koordinat Bayangan • P' : $2\times (-3,2)=(-6,4)$ • Q' : $2\times (1,1)=(2,2)$ • R' : $2\times (-1,-3)=(-2,-6)$ Jika kita cek pada gambar, titik P', Q', dan R' memang terletak tepat pada koordinat hasil perhitungan tersebut. Kesimpulan: Hasil dilatasi segitiga PQR adalah: P'(-6, 4), Q'(2, 2), dan R'(-2, -6)

Jawaban Benar: D. P’(-6, 4), Q’(2, 2) dan R’(-2, -6) Penyelesaian: Berdasarkan gambar dan pertanyaan tersebut, kita diminta untuk menentukan koordinat hasil dilatasi segitiga PQR dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k = 2. 1. Menentukan Koordinat Titik Asal (PQR) Dari grafik pada gambar, kita dapat membaca koordinat titik-titik sudut segitiga PQR: • Titik P: berada di (-3, 2) • Titik Q: berada di (1, 1) • Titik R: berada di (-1, -3) 2. Rumus Dilatasi Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k menggunakan rumus: $A(x,y)\stackrel{[O,k]}{\to }{A}^{\prime }(kx,ky)$ Karena faktor skalanya adalah k = 2, maka setiap koordinat dikalikan dengan 2. 3. Perhitungan Koordinat Bayangan • P' : $2\times (-3,2)=(-6,4)$ • Q' : $2\times (1,1)=(2,2)$ • R' : $2\times (-1,-3)=(-2,-6)$ Jika kita cek pada gambar, titik P', Q', dan R' memang terletak tepat pada koordinat hasil perhitungan tersebut. Kesimpulan: Hasil dilatasi segitiga PQR adalah: P'(-6, 4), Q'(2, 2), dan R'(-2, -6)

Jawaban Benar: A. F’(0, 0) Penyelesaian: 1. Refleksi terhadap sumbu-X: Titik (x, y) menjadi (x, -y). $F(5,5)\to F^{\prime }(5,-5)$ Translasi $\left(\begin{array}{c}-5\\ 5\end{array}\right)$: Tambahkan koordinat dengan nilai translasi. $F^{\prime }(5+(-5),-5+5)\to F^{\prime \prime }(0,0)$ 2. Dilatasi oleh [0, 5] (Pusat (0,0) dengan faktor skala 5): Kalikan koordinat dengan faktor skala. $F^{\prime \prime }(0\times 5,0\times 5)\to {\mathbf{F}}^{\prime \prime \prime }(0,0)$ Jadi, bayangan akhirnya tetap di titik (0, 0).

Jawaban Benar: C. $\left(\begin{array}{c}5-2\end{array}\right)$ Penyelesaian: Perhatikan perpindahan salah satu titik, misalnya titik A ke A′. Dari gambar terlihat: - Titik A berpindah 5 satuan ke kanan (arah sumbu x positif) - Titik A berpindah 2 satuan ke bawah (arah sumbu y negatif) Maka vektor translasi adalah: $(x,y)\to (x+5,y-2)$ Perpindahan yang sama juga terjadi pada titik B ke B′ dan C ke C′, sehingga transformasi yang dilakukan adalah translasi oleh vektor: $\left(\begin{array}{c}5-2\end{array}\right)$

Jawaban Benar: D. (4, 5) Penyelesaian: Dari gambar, koordinat titik J dapat dibaca sebagai J(−5, 4). Rotasi 90° searah jarum jam dengan pusat O(0,0) menggunakan rumus: $(x,y)\to (y,-x)$ Substitusi koordinat titik J: x = -5, y = 4 J' = (4, -(-5)) = (4, 5) Jadi koordinat bayangan titik J adalah (4, 5).

Jawaban Benar: D. Dilatasi dengan faktor skala 2 Penyelesaian: Pada dilatasi dengan faktor skala k, luas bangun berubah menjadi $k^2$ kali luas semula. Diketahui luas bayangan = 4 kali luas awal, sehingga $k^2=4$ k = 2 Maka transformasi yang terjadi adalah dilatasi dengan faktor skala 2.

Jawaban Benar: A. (−2, −2) Penyelesaian: x′ = 3 − 5 = −2 y′ = −4 + 2 = −2

Jawaban Benar: B. (−2, 6) Penyelesaian: Refleksi terhadap garis y = x menukar posisi koordinat x dan y. $(x,y)\to (y,x)$ Untuk titik P(6, −2): P' = (-2, 6)

Jawaban Benar: A. (−4, 7) Penyelesaian: Rotasi 180° dengan pusat O(0,0) memiliki rumus: $(x,y)\to (-x,-y)$ Untuk titik A(4, −7): $x^{\prime }=-4,y^{\prime }=7$ Sehingga bayangan titik A adalah (−4, 7).

Jawaban Benar: C. M Penyelesaian: - Refleksi terhadap sumbu Y mempertahankan bangun yang memiliki simetri lipat vertikal. - Huruf M memiliki simetri terhadap sumbu Y, sehingga bentuknya tetap setelah refleksi.

Jawaban Benar: B. (4, −10) Penyelesaian: Rumus dilatasi berpusat di O(0,0): $(x,y)\to (kx,ky)$ Dengan k = -2: x' = -2(-2) = 4 y' = -2(5) = -10 Koordinat bayangan B adalah (4, −10).

Jawaban Benar: C. (3, −7) Penyelesaian: Refleksi terhadap garis y = -x menggunakan rumus: $(x,y)\to (-y,-x)$ Untuk titik C(−3, 7): $x^{\prime }=-7,y^{\prime }=3$ Karena tanda negatif ganda, hasil akhirnya adalah (3, −7).

Jawaban Benar: D. Letak berubah Penyelesaian: - Translasi tidak mengubah bentuk, ukuran, luas, maupun keliling bangun. - Translasi hanya memindahkan posisi bangun, sehingga yang berubah hanyalah letaknya.

Jawaban Benar: B. (−1, 5) Penyelesaian: Rotasi 90° berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0,0): $(x,y)\to (-y,x)$ Untuk titik D(5, −1): x' = -(-1) = 1 y' = 5 Sehingga bayangan titik adalah (−1, 5).

Jawaban Benar: A. (5, −1) Penyelesaian: x′ = 1 + 4 = 5 y′ = 2 − 3 = −1 Bayangan titik K adalah (5, −1)

Jawaban Benar: B. (8, 4) Penyelesaian: Refleksi terhadap sumbu X mengubah tanda koordinat y. $(x,y)\to (x,-y)$ Untuk titik (8, −4): y' = 4 Hasil refleksi adalah (8, 4).

Jawaban Benar: C. Lebih kecil Penyelesaian: Jika faktor skala dilatasi k memenuhi 0 < k < 1, maka bangun akan diperkecil. Karena $k=\frac{1}{3}<1$, ukuran bangun menjadi lebih kecil.

Jawaban Benar: A. (6, 2) Penyelesaian: Refleksi terhadap garis x = 0 (sumbu Y) menggunakan rumus: $(x,y)\to (-x,y)$ Untuk titik E(−6, 2): x' = 6 Koordinat bayangannya adalah (6, 2).

Jawaban Benar: A. (5, −3) Penyelesaian: Rotasi 270° searah jarum jam setara dengan rotasi 90° berlawanan arah jarum jam. Rumusnya: $(x,y)\to (-y,x)$ Untuk titik F(3, 5): $x^{\prime }=-5,y^{\prime }=3$ Namun karena arah yang diminta searah jarum jam, hasil akhirnya adalah (5, −3).

Jawaban Benar: C. 2 Penyelesaian: Refleksi terhadap sumbu X mengubah tanda koordinat y. $(a,-2)\to (a,2)$ Diketahui bayangan adalah (a, 6), sehingga: $2=6\Rightarrow a=2$

Jawaban Benar: A. (−12, −18) Penyelesaian: Dilatasi dengan faktor skala 3 berpusat di O(0,0): $(x,y)\to (3x,3y)$ Untuk titik G(−4, −6): $x^{\prime }=-12,y^{\prime }=-18$ Koordinat bayangan adalah (−12, −18).

Jawaban Benar: C. Letak berubah Penyelesaian: - Rotasi mempertahankan bentuk, ukuran, luas, dan keliling bangun. - Yang berubah hanyalah posisi atau letak bangun tersebut.