Penalaran Matematika — Paket 39

Jawaban: E. 2 atau 3. Penyelesaian: • Ekspresikan kombinasi dalam bentuk faktorial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+1}{2}\right)=\frac{(r+1)r}{2!}=\frac{(r+1)r}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r-1}{1}\right)=r-1$ • Substitusi ekspresi kombinasi ke dalam persamaan: $\frac{(r+1)r}{2}=3(r-1)$ • Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut: $(r+1)r=6(r-1)$ • Kembangkan dan sederhanakan persamaan: $r^2+r=6r-6$ $r^2+r-6r+6=0$ $r^2-5r+6=0$ • Faktorkan persamaan kuadrat: $(r-2)(r-3)=0$ • Temukan nilai $r$: $r-2=0\text{atau}r-3=0$ $r=2\text{atau}r=3$

Jawaban: E. 2 atau 3. Penyelesaian: 1. Ekspresikan kombinasi dalam bentuk faktorial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+1}{2}\right)=\frac{(r+1)r}{2!}=\frac{(r+1)r}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r-1}{1}\right)=r-1$ 2. Substitusi ekspresi kombinasi ke dalam persamaan: $\frac{(r+1)r}{2}=3(r-1)$ 3. Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut: $(r+1)r=6(r-1)$ 4. Kembangkan dan sederhanakan persamaan: $r^2+r=6r-6$ $r^2+r-6r+6=0$ $r^2-5r+6=0$ 5. Faktorkan persamaan kuadrat: $(r-2)(r-3)=0$ 6. Temukan nilai $r$: $r-2=0\text{atau}r-3=0$ $r=2\text{atau}r=3$

Jawaban: E. 2 atau 3. Penyelesaian: 1. Ekspresikan kombinasi dalam bentuk faktorial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+1}{2}\right)=\frac{(r+1)r}{2!}=\frac{(r+1)r}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r-1}{1}\right)=r-1$ 2. Substitusi ekspresi kombinasi ke dalam persamaan: $\frac{(r+1)r}{2}=3(r-1)$ 3. Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut: $(r+1)r=6(r-1)$ 4. Kembangkan dan sederhanakan persamaan: $r^2+r=6r-6$ $r^2+r-6r+6=0$ $r^2-5r+6=0$ 5. Faktorkan persamaan kuadrat: $(r-2)(r-3)=0$ 6. Temukan nilai r : $r-2=0\text{atau}r-3=0$ $r=2\text{atau}r=3$

Jawaban: E. 6 atau 2. Penyelesaian: • Ekspresikan kombinasi dalam bentuk faktorial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+2}{2}\right)=\frac{(r+2)(r+1)}{2!}=\frac{(r+2)(r+1)}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{1}\right)=r$ • Substitusi ekspresi kombinasi ke dalam persamaan: $\frac{(r+2)(r+1)}{2}=6r$ • Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut: $(r+2)(r+1)=12r$ • Kembangkan dan sederhanakan persamaan: $r^2+3r+2=12r$ $r^2+3r+2-12r=0$ $r^2-9r+2=0$ • Faktorkan persamaan kuadrat: $(r-9)(r-2)=0$ • Temukan nilai $r$: $r-9=0\text{atau}r-2=0$ $r=9\text{atau}r=2$

Jawaban: E. 6 atau 2. Penyelesaian: 1. Ekspresikan kombinasi dalam bentuk faktorial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+2}{2}\right)=\frac{(r+2)(r+1)}{2!}=\frac{(r+2)(r+1)}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{1}\right)=r$ 2. Substitusi ekspresi kombinasi ke dalam persamaan: $\frac{(r+2)(r+1)}{2}=6r$ 3. Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut: $(r+2)(r+1)=12r$ 4. Kembangkan dan sederhanakan persamaan: $r^2+3r+2=12r$ $r^2+3r+2-12r=0$ $r^2-9r+2=0$ 5. Faktorkan persamaan kuadrat: $(r-9)(r-2)=0$ 6. Temukan nilai $r$: $r-9=0\text{atau}r-2=0$ $r=9\text{atau}r=2$

Jawaban: E. 6 atau 2. Penyelesaian: 1. Ekspresikan kombinasi dalam bentuk faktorial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+2}{2}\right)=\frac{(r+2)(r+1)}{2!}=\frac{(r+2)(r+1)}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{1}\right)=r$ 2. Substitusi ekspresi kombinasi ke dalam persamaan: $\frac{(r+2)(r+1)}{2}=6r$ 3. Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut: $(r+2)(r+1)=12r$ 4. Kembangkan dan sederhanakan persamaan: $r^2+3r+2=12r$ $r^2+3r+2-12r=0$ $r^2-9r+2=0$ 5. Faktorkan persamaan kuadrat: $(r-9)(r-2)=0$ 6. Temukan nilai r : $r-9=0\text{atau}r-2=0$ $r=9\text{atau}r=2$

Jawaban: D. 1 atau 12. Penyelesaian: • Ekspresikan kombinasi dalam bentuk faktorial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+4}{2}\right)=\frac{(r+4)(r+3)}{2!}=\frac{(r+4)(r+3)}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{1}\right)=r$ • Substitusi ekspresi kombinasi ke dalam persamaan: $\frac{(r+4)(r+3)}{2}=10r$ • Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut: $(r+4)(r+3)=20r$ • Kembangkan dan sederhanakan persamaan: $r^2+7r+12=20r$ $r^2+7r+12-20r=0$ $r^2-13r+12=0$ • Faktorkan persamaan kuadrat: $(r-12)(r-1)=0$ • Temukan nilai $r$: $r-12=0\text{atau}r-1=0$ $r=12\text{atau}r=1$

Jawaban: D. 1 atau 12. Penyelesaian: 1. Ekspresikan kombinasi dalam bentuk faktorial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+4}{2}\right)=\frac{(r+4)(r+3)}{2!}=\frac{(r+4)(r+3)}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{1}\right)=r$ 2. Substitusi ekspresi kombinasi ke dalam persamaan: $\frac{(r+4)(r+3)}{2}=10r$ 3. Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut: $(r+4)(r+3)=20r$ 4. Kembangkan dan sederhanakan persamaan: $r^2+7r+12=20r$ $r^2+7r+12-20r=0$ $r^2-13r+12=0$ 5. Faktorkan persamaan kuadrat: $(r-12)(r-1)=0$ 6. Temukan nilai $r$: $r-12=0\text{atau}r-1=0$ $r=12\text{atau}r=1$

Jawaban: D. 1 atau 12. Penyelesaian: 1. Ekspresikan kombinasi dalam bentuk faktorial: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+4}{2}\right)=\frac{(r+4)(r+3)}{2!}=\frac{(r+4)(r+3)}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{1}\right)=r$ 2. Substitusi ekspresi kombinasi ke dalam persamaan: $\frac{(r+4)(r+3)}{2}=10r$ 3. Kalikan kedua sisi dengan 2 untuk menghilangkan penyebut: $(r+4)(r+3)=20r$ 4. Kembangkan dan sederhanakan persamaan: $r^2+7r+12=20r$ $r^2+7r+12-20r=0$ $r^2-13r+12=0$ 5. Faktorkan persamaan kuadrat: $(r-12)(r-1)=0$ 6. Temukan nilai r : $r-12=0\text{atau}r-1=0$ $r=12\text{atau}r=1$

Jawaban: C. 30. Penyelesaian: • Hitung jumlah cara memilih 3 bola merah dari 5 bola merah. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$ • Hitung jumlah cara memilih 1 bola hijau dari 3 bola hijau. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=\frac{3!}{1!(3-1)!}=\frac{3}{1}=3$ • Hitung total cara memilih 3 bola merah dan 1 bola hijau. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=10\times 3=30$

Jawaban: C. 30. Penyelesaian: 1. Hitung jumlah cara memilih 3 bola merah dari 5 bola merah. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$ 2. Hitung jumlah cara memilih 1 bola hijau dari 3 bola hijau. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=\frac{3!}{1!(3-1)!}=\frac{3}{1}=3$ 3. Hitung total cara memilih 3 bola merah dan 1 bola hijau. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=10\times 3=30$

Jawaban: C. 200. Penyelesaian: • Hitung jumlah cara memilih 3 bola kuning dari 6 bola kuning. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$ • Hitung jumlah cara memilih 2 bola biru dari 5 bola biru. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$ • Hitung total cara memilih 3 bola kuning dan 2 bola biru. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=20\times 10=200$

Jawaban: C. 200. Penyelesaian: 1. Hitung jumlah cara memilih 3 bola kuning dari 6 bola kuning. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$ 2. Hitung jumlah cara memilih 2 bola biru dari 5 bola biru. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$ 3. Hitung total cara memilih 3 bola kuning dan 2 bola biru. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=20\times 10=200$

Jawaban: B. 63. Penyelesaian: • Hitung jumlah cara memilih 2 bola merah dari 7 bola merah. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$ • Hitung jumlah cara memilih 2 bola hijau dari 3 bola hijau. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{3\times 2}{2\times 1}=3$ • Hitung total cara memilih 2 bola merah dan 2 bola hijau. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=21\times 3=63$

Jawaban: B. 63. Penyelesaian: 1. Hitung jumlah cara memilih 2 bola merah dari 7 bola merah. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$ 2. Hitung jumlah cara memilih 2 bola hijau dari 3 bola hijau. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{3\times 2}{2\times 1}=3$ 3. Hitung total cara memilih 2 bola merah dan 2 bola hijau. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=21\times 3=63$

Jawaban: B. 2520. Penyelesaian: • Hitung total huruf dalam kata "PERMATA". Jumlah huruf = 7. • Identifikasi huruf yang berulang dan hitung frekuensinya: - P: 1 - E: 1 - R: 1 - M: 1 - A: 2 - T: 1 • Gunakan rumus permutasi untuk kata dengan huruf berulang: $P=\frac{7!}{2!}$ - $7!=5040$ - $2!=2$ Jadi: $P=\frac{5040}{2}=2520$

Jawaban: B. 2520. Penyelesaian: 1. Hitung total huruf dalam kata "PERMATA". Jumlah huruf = 7. 2. Identifikasi huruf yang berulang dan hitung frekuensinya: - P: 1 - E: 1 - R: 1 - M: 1 - A: 2 - T: 1 3. Gunakan rumus permutasi untuk kata dengan huruf berulang: $P=\frac{7!}{2!}$ - $7!=5040$ - $2!=2$ Jadi: $P=\frac{5040}{2}=2520$

Penyelesaian: 1. Hitung total huruf dalam kata "PERMATA". Jumlah huruf = 7. 2. Identifikasi huruf yang berulang dan hitung frekuensinya: - P: 1 - E: 1 - R: 1 - M: 1 - A: 2 - T: 1 3. Gunakan rumus permutasi untuk kata dengan huruf berulang: $P=\frac{7!}{2!}$ - $7!=5040$ - $2!=2$ Jadi: $P=\frac{5040}{2}=2520$ Jawaban yang benar: B. 2520

Penyelesaian: 1. Hitung total huruf dalam kata "PERMATA". Jumlah huruf = 7. 2. Identifikasi huruf yang berulang dan hitung frekuensinya: - P: 1 - E: 1 - R: 1 - M: 1 - A: 2 - T: 1 3. Gunakan rumus permutasi untuk kata dengan huruf berulang: $P=\frac{7!}{2!}$ - $7!=5040$ - $2!=2$ Jadi: $P=\frac{5040}{2}=2520$ Jawaban yang benar: B. 2520

Jawaban: A. 5040. Penyelesaian: Kata "BUKUANAK" terdiri dari 8 huruf dengan rincian sebagai berikut: - B: 1 - U: 2 - K: 2 - A: 2 - N: 1 Jumlah susunan berbeda dari sebuah kata dengan huruf-huruf yang ada beberapa yang sama dapat dihitung dengan rumus permutasi dari elemen-elemen yang sama, yaitu: $\frac{n!}{n1!\times n2!\times n3!\times \dots }$ Di sini: - $n=8$ (total huruf) - $n1=1$ (jumlah huruf B) - $n2=2$ (jumlah huruf U) - $n3=2$ (jumlah huruf K) - $n4=2$ (jumlah huruf A) - $n5=1$ (jumlah huruf N) Sehingga rumus permutasi menjadi: $\frac{8!}{1!\times 2!\times 2!\times 2!\times 1!}$ Langkah perhitungan: • Hitung $8!$: $8!=8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=40320$ • Hitung faktorial dari pengulangan huruf: $2!=2\times 1=2$ Karena ada tiga huruf yang masing-masing muncul 2 kali, maka: $2!\times 2!\times 2!=2\times 2\times 2=8$ • Masukkan hasilnya ke rumus: $\frac{8!}{1!\times 2!\times 2!\times 2!\times 1!}=\frac{40320}{1\times 8\times 1}=\frac{40320}{8}=5040$ • Maka banyak susunan huruf yang berbeda adalah 5040. Namun, setelah melihat opsi jawaban dan menyadari adanya kesalahan dalam penghitungan, berikut perhitungan yang benar: $$\begin{gathered} 8!=40320 \\ \text{Pembagi}=2!\times 2!\times 2!=2\times 2\times 2=8 \\ \text{Permutasi}=\frac{8!}{2!\times 2!\times 2!}=\frac{40320}{8}=5040 \end{gathered}$$