Penalaran Matematika — Paket 52

Penyelesaian 1. Menentukan Total Perbandingan: Perbandingan sisi-sisinya adalah 3 : 4 : 5. Jadi total perbandingan: $3+4+5=12$ 2. Menghitung Faktor Perbandingan: Keliling segitiga adalah 36 satuan panjang, jadi faktor perbandingan dapat dihitung sebagai berikut: $36/12=3$ 3. Menghitung Panjang Sisi-sisi: Panjang masing-masing sisi adalah: $3\times 3=9$ $4\times 3=12$ $5\times 3=15$ Jadi, sisi terpanjang dari segitiga tersebut adalah 15 cm. Jawaban: C. 15

Penyelesaian 1. Menentukan Total Perbandingan: Perbandingan sisi-sisinya adalah 4 : 5 : 6. Jadi total perbandingan: $4+5+6=15$ 2. Menghitung Faktor Perbandingan: Keliling segitiga adalah 45 satuan panjang, jadi faktor perbandingan dapat dihitung sebagai berikut: $45/15=3$ 3. Menghitung Panjang Sisi-sisi: Panjang masing-masing sisi adalah: $4\times 3=12$ $5\times 3=15$ $6\times 3=18$ Jadi, sisi terpanjang dari segitiga tersebut adalah 18 cm. Jawaban: C. 18

Penyelesaian 1. Menghitung panjang BC menggunakan Pythagoras pada $△ABC$: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}$ $BC=\sqrt{9^2+12^2}$ $BC=\sqrt{81+144}$ $BC=\sqrt{225}$ $BC=15\text{cm}$ 2. Menghitung panjang BD menggunakan Pythagoras pada $△BDC$: $BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}$ $BD=\sqrt{15^2+15^2}$ $BD=\sqrt{225+225}$ $BD=\sqrt{450}$ $BD=15\sqrt{2}\text{cm}\approx 21.2\text{cm}$ Jawaban: B. 21.2 cm

Penyelesaian Diketahui: - Berat drum penuh: 1000 kg - Berat air saat terisi ⅓ bagian: 300 kg - Diameter drum: 80 cm - Volume total drum $V$ = $\pi r^{2}t$ Langkah-langkah penyelesaian: 1. Menghitung volume total drum: Pertama, kita cari jari-jari drum: $r=\frac{80}{2}=40\text{cm}$ Misalkan $t$ adalah tinggi drum. Maka, volume total drum adalah: $V=\pi r^{2}t=\pi (40{)}^{2}t$ $V=\pi \times 1600\times t=1600\pi t$ 2. Menghitung volume air saat terisi ⅓ bagian: Jika drum terisi ⅓ bagian, maka volumenya adalah: $V_{\text{terisi}}=\frac{1}{3}V=\frac{1}{3}\times 1600\pi t=\frac{1600\pi t}{3}$ 3. Menghitung tinggi drum saat terisi ¾ bagian: Misalkan $h$ adalah tinggi air saat drum terisi ¾ bagian. Maka, $V_{\text{terisi}}=\pi (40{)}^{2}h=1600\pi h$ $1600\pi h=\frac{3}{4}\times 1600\pi t$ $h=\frac{3}{4}t$ Sehingga, tinggi air saat drum terisi penuh adalah $t$. Misalkan tinggi penuh $t$ adalah 100 cm. 4. Menghitung tinggi drum saat terisi ¾ bagian: $h=\frac{3}{4}\times 100\text{cm}=75\text{cm}$ Jawaban: B. 75 cm

Penyelesaian Diketahui: - Ketinggian limas $h$ = 25 meter - Panjang sisi alas $s$ = 30 meter Langkah-langkah penyelesaian: 1. Menghitung Volume Limas: Volume limas $V$ dapat dihitung dengan rumus: $V=\frac{1}{3}\times \text{Luas alas}\times \text{tinggi}$ Luas alas limas (persegi) adalah: $\text{Luas alas}=s^2=30^2=900{\text{m}}^2$ Maka, volume limas: $V=\frac{1}{3}\times 900\times 25=\frac{1}{3}\times 22500=7500{\text{m}}^3$ 2. Menghitung Volume Ruang yang Terkena Sinar Lampu: Volume ruang yang terkena sinar lampu adalah ⅔ dari volume total limas: $V_{\text{lampu}}=\frac{2}{3}\times 7500=5000{\text{m}}^3$ Jadi, volume ruang yang terkena sinar lampu adalah 5000 m³. Jawaban: E. 5000

Penyelesaian 1. Menghitung Luas Alas Prisma: $\text{Luas alas}=\frac{1}{2}\times \text{panjang sisi 1}\times \text{panjang sisi 2}$ $\text{Luas alas}=\frac{1}{2}\times 6\text{cm}\times 8\text{cm}=24{\text{cm}}^2$ 2. Menghitung Keliling Alas: Panjang sisi miring (hipotenusa) = $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{cm}$ $\text{Keliling alas}=6\text{cm}+8\text{cm}+10\text{cm}=24\text{cm}$ 3. Menghitung Luas Permukaan Prisma: Luas permukaan = 2 × (Luas alas) + (Keliling alas × Tinggi prisma) $\text{Luas permukaan}=2\times 24{\text{cm}}^2+24\text{cm}\times 15\text{cm}$ $\text{Luas permukaan}=48{\text{cm}}^2+360{\text{cm}}^2=408{\text{cm}}^2$ Jawaban: D. 408 cm²

Penyelesaian Untuk menghitung volume kerucut terpotong, kita bisa menggunakan rumus berikut: $V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)$ Di mana: - $V$ adalah volume kerucut terpotong - $h$ adalah tinggi kerucut terpotong - $R$ adalah jari-jari alas bawah (diameter alas bawah dibagi 2) - $r$ adalah jari-jari alas atas (diameter alas atas dibagi 2) Diketahui: - Diameter alas bawah $=20$ cm, maka $R=10$ cm - Diameter alas atas $=10$ cm, maka $r=5$ cm - Tinggi kerucut terpotong $h=15$ cm Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus: $V=\frac{1}{3}\pi \times 15\times (10^2+10\times 5+5^2)$ $V=\frac{1}{3}\pi \times 15\times (100+50+25)$ $V=\frac{1}{3}\pi \times 15\times 175$ $V=\frac{1}{3}\times 15\times 175\times \pi$ $V=5\times 175\times \pi$ $V=875\times \pi$ Dengan $\pi \approx 3.14$, maka: $V\approx 875\times 3.14=2747.5{\text{ cm}}^3$ Jawaban: D. 2747.5 cm

Penyelesaian Atap rumah berbentuk limas segi empat beraturan dengan keliling alas 24 meter dan tinggi 4 meter. 1. Panjang sisi alas segitiga: $\text{Panjang sisi alas}=\frac{\text{Keliling alas}}{4}=\frac{24}{4}=6\text{ meter}$ 2. Setengah panjang sisi alas: $\text{Setengah panjang sisi alas}=\frac{6}{2}=3\text{ meter}$ 3. Menggunakan teorema Pythagoras untuk menghitung tinggi segitiga: $h=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{ meter}$ 4. Luas satu sisi segitiga: $\text{Luas satu sisi segitiga}=\frac{1}{2}\times 6\times 5=15{\text{ m}}^2$ 5. Luas total permukaan atap (4 sisi segitiga): $\text{Luas total permukaan atap}=4\times 15=60{\text{ m}}^2$ Dengan informasi bahwa 1 m² atap membutuhkan 10 genteng: 6. Banyaknya genteng yang dibutuhkan: $\text{Banyaknya genteng}=60\times 10=600\text{ buah}$ Jawaban: A. 600 buah

Penyelesaian 1. Volume air dalam tangki sebelum bola baja dimasukkan: $V_{\text{air}}=\pi \times r^2\times h=\pi \times 1^2\times 2=2\pi \text{ meter kubik}$ 2. Volume bola baja: $V_{\text{bola}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{8}\right)=\frac{\pi }{6}\text{ meter kubik}$ 3. Volume air setelah bola baja dimasukkan: $V_{\text{total}}=2\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{12\pi +\pi }{6}=\frac{13\pi }{6}\text{ meter kubik}$ 4. Tinggi air setelah bola baja dimasukkan: $V_{\text{total}}=\pi \times 1^2\times h_{\text{baru}}⟹\frac{13\pi }{6}=\pi \times h_{\text{baru}}⟹h_{\text{baru}}=\frac{13}{6}\approx 2.17\text{ meter}$ 5. Kenaikan tinggi air: $Kenaikan=h_{\text{baru}}-2=2.17-2=0.17\text{ meter}$ Jawaban: B. 0.17 meter

Pembahasan 1. Luas alas segitiga sama sisi: $L_{\text{alas}}=\frac{1}{2}\times s\times t=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24{\text{ cm}}^2$ 2. Volume prisma: $V=L_{\text{alas}}\times t_{\text{prisma}}⟹432=24\times t_{\text{prisma}}⟹t_{\text{prisma}}=\frac{432}{24}=18\text{ cm}$ Jawaban: D. 18

Pembahasan 1. Volume belahan bola: $V_{\text{belahan bola}}=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3$ Menggunakan $r=6$ cm dan $\pi =3,14$: $V_{\text{belahan bola}}=\frac{2}{3}\times 3,14\times 6^3=\frac{2}{3}\times 3,14\times 216=\frac{2}{3}\times 678,24=452,16{\text{ cm}}^3$ 2. Volume kerucut: $V_{\text{kerucut}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}t$ Menggunakan $r=6$ cm, $t=10$ cm, dan $\pi =3,14$: $V_{\text{kerucut}}=\frac{1}{3}\times 3,14\times 6^2\times 10=\frac{1}{3}\times 3,14\times 36\times 10=\frac{1}{3}\times 1130,4=376,8{\text{ cm}}^3$ 3. Total volume bandul: $V_{\text{total}}=V_{\text{belahan bola}}+V_{\text{kerucut}}=452,16+376,8=828,96{\text{ cm}}^3$ 4. Berat bandul: ${\text{Berat 1 cm}}^3\text{ besi}=20\text{ gram}=0,02\text{ kg}$ Maka, berat total bandul: $\text{Berat total}=828,96\times 0,02=16,5792\text{ kg}$ Jadi, berat bandul tersebut adalah 16,5792 kg. Jawaban: C. 16,5792 kg

Pembahasan 1. Volume limas segiempat beraturan: $V_{\text{limas}}=\frac{1}{3}\times L_{\text{alas}}\times t_{\text{limas}}$ Luas alas limas: $L_{\text{alas}}=s^2=6^2=36{\text{ cm}}^2$ Volume limas: $V_{\text{limas}}=\frac{1}{3}\times 36\times 12=144{\text{ cm}}^3$ 2. Volume prisma segitiga: $V_{\text{prisma}}=L_{\text{alas}}\times t_{\text{prisma}}$ Luas alas prisma: $L_{\text{alas}}=\frac{1}{2}\times s\times t=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24{\text{ cm}}^2$ Volume prisma sama dengan volume limas: $144=24\times t_{\text{prisma}}⟹t_{\text{prisma}}=\frac{144}{24}=6\text{ cm}$ Jawaban: A. 6 cm

Pembahasan Bangun tersebut terdiri dari sebuah balok dan sebuah limas yang berdiri di atas salah satu permukaan balok. 1. Luas permukaan balok tanpa penambahan limas: Panjang = 10 cm, Lebar = 6 cm, Tinggi = 12 cm. Luas permukaan balok: $2(pl+pt+lt)=2(10\times 6+10\times 12+6\times 12)$ $=2(60+120+72)=2\times 252=504{\text{ cm}}^2$ 2. Luas permukaan limas: Limas memiliki alas persegi panjang dengan panjang 10 cm dan lebar 6 cm dan tinggi 4 cm. Luas permukaan limas terdiri dari satu alas persegi panjang dan 4 segitiga sama kaki. - Luas alas persegi panjang: $=10\times 6=60{\text{ cm}}^2$ - Tinggi segitiga-segitiga pada limas (menggunakan Pythagoras): $\text{Tinggi segitiga}=\sqrt{{\left(\frac{10}{2}\right)}^2+4^2}=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}\approx 6.4\text{ cm}$ - Luas dua segitiga dengan alas 10 cm: $=2\times \left(\frac{1}{2}\times 10\times 6.4\right)=2\times 32=64{\text{ cm}}^2$ - Tinggi segitiga lainnya (menggunakan Pythagoras): $\text{Tinggi segitiga}=\sqrt{{\left(\frac{6}{2}\right)}^2+4^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\text{ cm}$ - Luas dua segitiga dengan alas 6 cm: $=2\times \left(\frac{1}{2}\times 6\times 5\right)=2\times 15=30{\text{ cm}}^2$ - Total luas permukaan limas: $=60+64+30=154{\text{ cm}}^2$ 3. Luas permukaan bangun gabungan: Karena satu alas persegi panjang limas menutupi salah satu sisi balok, maka luas tersebut tidak dihitung dua kali: $\text{Luas permukaan bangun gabungan}=\text{Luas permukaan balok}+\text{Luas permukaan limas}-\text{Luas alas limas}$ $=504+154-60=598{\text{ cm}}^2$ Jawaban: E. 598

Pembahasan Bangun tersebut terdiri dari sebuah balok dan sebuah limas yang berdiri di atas salah satu permukaan balok. 1. Luas permukaan balok tanpa penambahan limas: Panjang = 8 cm, Lebar = 6 cm, Tinggi = 10 cm. Luas permukaan balok: $2(pl+pt+lt)=2(8\times 6+8\times 10+6\times 10)$ $=2(48+80+60)=2\times 188=376{\text{ cm}}^2$ 2. Luas permukaan limas: Limas memiliki alas persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 6 cm dan tinggi 5 cm. Luas permukaan limas terdiri dari satu alas persegi panjang dan 4 segitiga sama kaki. - Luas alas persegi panjang: $=8\times 6=48{\text{ cm}}^2$ - Tinggi segitiga-segitiga pada limas (menggunakan Pythagoras): $\text{Tinggi segitiga}=\sqrt{{\left(\frac{8}{2}\right)}^2+5^2}=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\approx 6.4\text{ cm}$ - Luas dua segitiga dengan alas 8 cm: $=2\times \left(\frac{1}{2}\times 8\times 6.4\right)=2\times 25.6=51.2{\text{ cm}}^2$ - Tinggi segitiga lainnya (menggunakan Pythagoras): $\text{Tinggi segitiga}=\sqrt{{\left(\frac{6}{2}\right)}^2+5^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\approx 5.8\text{ cm}$ - Luas dua segitiga dengan alas 6 cm: $=2\times \left(\frac{1}{2}\times 6\times 5.8\right)=2\times 17.4=34.8{\text{ cm}}^2$ - Total luas permukaan limas: $=48+51.2+34.8=134{\text{ cm}}^2$ 3. Luas permukaan bangun gabungan: Karena satu alas persegi panjang limas menutupi salah satu sisi balok, maka luas tersebut tidak dihitung dua kali: $\text{Luas permukaan bangun gabungan}=\text{Luas permukaan balok}+\text{Luas permukaan limas}-\text{Luas alas limas}$ $=376+134-48=462{\text{ cm}}^2$ Jawaban: D. 462

Pembahasan Bangun tersebut terdiri dari sebuah balok dan sebuah limas yang berdiri di atas salah satu permukaan balok. 1. Luas permukaan balok tanpa penambahan limas: Panjang = 9 cm, Lebar = 7 cm, Tinggi = 14 cm. Luas permukaan balok: $2(pl+pt+lt)=2(9\times 7+9\times 14+7\times 14)$ $=2(63+126+98)=2\times 287=574{\text{ cm}}^2$ 2. Luas permukaan limas: Limas memiliki alas persegi panjang dengan panjang 9 cm dan lebar 7 cm dan tinggi 5 cm. Luas permukaan limas terdiri dari satu alas persegi panjang dan 4 segitiga sama kaki. - Luas alas persegi panjang: $=9\times 7=63{\text{ cm}}^2$ - Tinggi segitiga-segitiga pada limas (menggunakan Pythagoras): $\text{Tinggi segitiga}=\sqrt{{\left(\frac{9}{2}\right)}^2+5^2}=\sqrt{4.5^2+5^2}=\sqrt{20.25+25}=\sqrt{45.25}\approx 6.72\text{ cm}$ - Luas dua segitiga dengan alas 9 cm: $=2\times \left(\frac{1}{2}\times 9\times 6.72\right)=2\times 30.24=60.48{\text{ cm}}^2$ - Tinggi segitiga lainnya (menggunakan Pythagoras): $\text{Tinggi segitiga}=\sqrt{{\left(\frac{7}{2}\right)}^2+5^2}=\sqrt{3.5^2+5^2}=\sqrt{12.25+25}=\sqrt{37.25}\approx 6.1\text{ cm}$ - Luas dua segitiga dengan alas 7 cm: $=2\times \left(\frac{1}{2}\times 7\times 6.1\right)=2\times 21.35=42.7{\text{ cm}}^2$ - Total luas permukaan limas: $=63+60.48+42.7=166.18{\text{ cm}}^2$ 3. Luas permukaan bangun gabungan: Karena satu alas persegi panjang limas menutupi salah satu sisi balok, maka luas tersebut tidak dihitung dua kali: $\text{Luas permukaan bangun gabungan}=\text{Luas permukaan balok}+\text{Luas permukaan limas}-\text{Luas alas limas}$ $=574+166.18-63=677.18{\text{ cm}}^2$ Jawaban: A. 677.18

Pembahasan Bangun tersebut terdiri dari sebuah balok dan sebuah limas yang berdiri di atas salah satu permukaan balok. 1. Luas permukaan balok tanpa penambahan limas: Panjang = 8 cm, Lebar = 8 cm, Tinggi = 10 cm. Luas permukaan balok: $2(pl+pt+lt)=2(8\times 8+8\times 10+8\times 10)$ $=2(64+80+80)=2\times 224=448{\text{ cm}}^2$ 2. Luas permukaan limas: Limas memiliki alas persegi dengan sisi 8 cm dan tinggi 4 cm. Luas permukaan limas terdiri dari satu alas persegi dan 4 segitiga sama kaki. - Luas alas persegi: $=8\times 8=64{\text{ cm}}^2$ - Tinggi segitiga-segitiga pada limas (menggunakan Pythagoras): $\text{Tinggi segitiga}=\sqrt{{\left(\frac{8}{2}\right)}^2+4^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}\approx 5.66\text{ cm}$ - Luas satu segitiga: $=\frac{1}{2}\times 8\times 5.66=22.64{\text{ cm}}^2$ - Luas keempat segitiga: $=4\times 22.64=90.56{\text{ cm}}^2$ - Total luas permukaan limas: $=64+90.56=154.56{\text{ cm}}^2$ 3. Luas permukaan bangun gabungan: Karena satu alas persegi limas menutupi salah satu sisi balok, maka luas tersebut tidak dihitung dua kali: $\text{Luas permukaan bangun gabungan}=\text{Luas permukaan balok}+\text{Luas permukaan limas}-\text{Luas alas limas}$ $=448+154.56-64=538.56{\text{ cm}}^2$ Jawaban: C. 538.56

Pembahasan Diketahui, segitiga PQR siku-siku di Q, $p=9$ cm, $r=12$ cm. Maka, $q=\sqrt{r^2-p^2}=\sqrt{12^2-9^2}=\sqrt{144-81}=\sqrt{63}=7.94$ cm $\sin R=\frac{p}{r}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ Jawaban: A. $\frac{3}{4}$

Pembahasan Diketahui, segitiga DEF siku-siku di E, $d=7$ cm, $f=10$ cm. Maka, $e=\sqrt{f^2-d^2}=\sqrt{10^2-7^2}=\sqrt{100-49}=\sqrt{51}=7.14$ cm $\sin D=\frac{d}{f}=\frac{7}{10}=\frac{7}{10}$ Jawaban: C. $\frac{7}{10}$

Pembahasan Diketahui, segitiga GHI siku-siku di H, $g=5$ cm, $i=13$ cm. Maka, $h=\sqrt{i^2-g^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm $\sin G=\frac{h}{i}=\frac{12}{13}$ Jawaban: C. $\frac{12}{13}$

Pembahasan Diketahui, segitiga JKL siku-siku di K, $j=15$ cm, $l=17$ cm. Maka, $k=\sqrt{l^2-j^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$ cm $\sin L=\frac{j}{l}=\frac{15}{17}$ Jawaban: A. $\frac{15}{17}$