Pengetahuan Kuantitatif — Paket 26

Penyelesaian: 1) Menghitung volume kerucut: $V_{kerucut}=\frac{1}{3}\pi r^{2}t=\frac{1}{3}\times 3,14\times 4^2\times 8=\frac{1}{3}\times 3,14\times 16\times 8=\frac{1}{3}\times 3,14\times 128=133,12{\text{cm}}^3$ 2) Menghitung volume belahan bola: $V_{belahan\_bola}=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\times 3,14\times 4^3\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\times 3,14\times 64\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\times 200,96\right)=\frac{1}{2}\times 267,95=133,98{\text{cm}}^3$ 3) Menghitung volume total: $V_{total}=V_{kerucut}+V_{belahan\_bola}=133,12+133,98=267,1{\text{cm}}^3$ 4) Menghitung berat bandul: $Bera{t}_{bandul}=V_{total}\times 22{\text{gram/cm}}^3=267,1\times 22=5876,2\text{gram}$ 5) Mengonversi berat bandul ke kilogram: $Bera{t}_{bandul}\text{kg}=\frac{5876,2}{1000}=5,8762\text{kg}$ • Jawaban yang benar adalah B. 5,88 kg.

Penyelesaian: 1) Menghitung volume kerucut: $V_{kerucut}=\frac{1}{3}\pi r^{2}t=\frac{1}{3}\times 3,14\times 6^2\times 10=\frac{1}{3}\times 3,14\times 36\times 10=\frac{1}{3}\times 3,14\times 360=376,8{\text{cm}}^3$ 2) Menghitung volume belahan bola: $V_{belahan\_bola}=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\times 3,14\times 6^3\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\times 3,14\times 216\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}\times 678,24\right)=\frac{1}{2}\times 904,32=452,16{\text{cm}}^3$ 3) Menghitung volume total: $V_{total}=V_{kerucut}+V_{belahan\_bola}=376,8+452,16=828,96{\text{cm}}^3$ 4) Menghitung berat bandul: $Bera{t}_{bandul}=V_{total}\times 20{\text{gram/cm}}^3=828,96\times 20=16579,2\text{gram}$ 5) Mengonversi berat bandul ke kilogram: $Bera{t}_{bandul}\text{kg}=\frac{16579,2}{1000}=16,5792\text{kg}$ • Jawaban yang benar adalah C. 16,58 kg.

Penyelesaian: 1. Menentukan panjang sisi kubus: Luas permukaan kubus adalah 6 kali luas salah satu sisinya. Misalkan panjang sisi kubus adalah $s$ cm. $6s^2=294$ 2. Menyelesaikan persamaan untuk $s$: $s^2=\frac{294}{6}=49$ $s=\sqrt{49}=7\text{cm}$ 3. Menghitung volume kubus: Volume kubus adalah $s^3$: $s^3=7^3=343{\text{cm}}^3$ • Jadi, volume kubus tersebut adalah D. 343.

Penyelesaian: 1. Menentukan panjang sisi kubus: Luas permukaan kubus adalah 6 kali luas salah satu sisinya. Misalkan panjang sisi kubus adalah $s$ cm. $6s^2=384$ 2. Menyelesaikan persamaan untuk $s$: $s^2=\frac{384}{6}=64$ $s=\sqrt{64}=8\text{cm}$ 3. Menghitung volume kubus: Volume kubus adalah $s^3$: $s^3=8^3=512{\text{cm}}^3$ • Jadi, volume kubus tersebut adalah A. 512 cm³. • Jawaban yang benar adalah A. 512.

Penyelesaian: 1. Menentukan panjang sisi kubus: Luas permukaan kubus adalah 6 kali luas salah satu sisinya. Misalkan panjang sisi kubus adalah $s$ cm. $6s^2=486$ 2. Menyelesaikan persamaan untuk $s$: $s^2=\frac{486}{6}=81$ $s=\sqrt{81}=9\text{cm}$ 3. Menghitung volume kubus: Volume kubus adalah $s^3$: $s^3=9^3=729{\text{cm}}^3$ • Jadi, volume kubus tersebut adalah 729 cm³ . • Jawaban yang benar adalah A. 729.

Penyelesaian: 1) Menentukan panjang sisi kubus: Luas permukaan kubus adalah 6 kali luas salah satu sisinya. Misalkan panjang sisi kubus adalah $s$ cm. $6s^2=600$ 2) Menyelesaikan persamaan untuk $s$: $s^2=\frac{600}{6}=100$ $s=\sqrt{100}=10\text{cm}$ 3) Menghitung volume kubus: Volume kubus adalah $s^3$: $s^3=10^3=1000{\text{cm}}^3$ • Jadi, volume kubus tersebut adalah 1000 cm³ . • Jawaban yang benar adalah B. 1000

Penyelesaian: 1) Menentukan panjang sisi kubus: Luas permukaan kubus adalah 6 kali luas salah satu sisinya. Misalkan panjang sisi kubus adalah $s$ cm. $6s^2=600$ 2) Menyelesaikan persamaan untuk $s$: $s^2=\frac{600}{6}=100$ $s=\sqrt{100}=10\text{cm}$ 3) Menghitung volume kubus: Volume kubus adalah $s^3$: $s^3=10^3=1000{\text{cm}}^3$ • Jadi, volume kubus tersebut adalah 1000 cm³ . • Jawaban yang benar adalah B. 1000

Penyelesaian: • Untuk menentukan apakah informasi yang diberikan cukup untuk menentukan jarak antara $L$ dan $N$, kita perlu mempertimbangkan apakah kita memiliki informasi yang cukup tentang ketiga titik tersebut: - Dari Pernyataan 1, kita tahu jarak antara $L$ dan $M$ adalah 15 cm. - Dari Pernyataan 2, kita tahu jarak antara $M$ dan $N$ adalah 20 cm. • Namun, untuk menentukan jarak $L$ dan $N$, kita perlu mengetahui bagaimana titik-titik tersebut terletak satu sama lain (apakah membentuk garis lurus, segitiga, atau konfigurasi lainnya). Tanpa informasi tambahan tentang sudut atau orientasi titik-titik tersebut, kita tidak bisa secara langsung menghitung jarak antara $L$ dan $N$ hanya berdasarkan dua pernyataan tersebut. • Jawaban yang benar adalah E. Pernyataan 1 dan pernyataan 2 tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Penyelesaian: • Untuk menentukan apakah informasi yang diberikan cukup untuk menentukan jarak antara $X$ dan $Z$, kita perlu mempertimbangkan apakah kita memiliki informasi yang cukup tentang ketiga titik tersebut: - Dari Pernyataan 1, kita tahu jarak antara $X$ dan $Y$ adalah 12 cm. - Dari Pernyataan 2, kita tahu jarak antara $Y$ dan $Z$ adalah 16 cm. • Namun, untuk menentukan jarak $X$ dan $Z$, kita perlu mengetahui bagaimana titik-titik tersebut terletak satu sama lain (apakah membentuk garis lurus, segitiga, atau konfigurasi lainnya). Tanpa informasi tambahan tentang sudut atau orientasi titik-titik tersebut, kita tidak bisa secara langsung menghitung jarak antara $X$ dan $Z$ hanya berdasarkan dua pernyataan tersebut. • Jawaban yang benar adalah E. Pernyataan 1 dan pernyataan 2 tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Penyelesaian: • Untuk menentukan apakah informasi yang diberikan cukup untuk menentukan jarak antara $A$ dan $C$, kita perlu mempertimbangkan apakah kita memiliki informasi yang cukup tentang ketiga titik tersebut: - Dari Pernyataan 1, kita tahu jarak antara $A$ dan $B$ adalah 9 cm. - Dari Pernyataan 2, kita tahu jarak antara $B$ dan $C$ adalah 12 cm. • Namun, untuk menentukan jarak $A$ dan $C$, kita perlu mengetahui bagaimana titik-titik tersebut terletak satu sama lain (apakah membentuk garis lurus, segitiga, atau konfigurasi lainnya). Tanpa informasi tambahan tentang sudut atau orientasi titik-titik tersebut, kita tidak bisa secara langsung menghitung jarak antara $A$ dan $C$ hanya berdasarkan dua pernyataan tersebut. • Jawaban yang benar adalah E. Pernyataan 1 dan pernyataan 2 tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Penyelesaian: Meskipun kita memiliki informasi tentang jarak antara pasangan titik $X$, $Y$, $Z$, dan $W$, kita tidak dapat memastikan hubungan geometris yang spesifik tanpa informasi tambahan mengenai sudut atau posisi relatif mereka. Oleh karena itu, kita tidak bisa menentukan jarak antara titik $X$ dan $W$ hanya dengan informasi ini. Jawaban yang benar adalah E. Pernyataan (1), (2), dan (3) tidak cukup untuk menjawab pertanyaan.

Penyelesaian: • Persamaan umum lingkaran adalah: $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$ dengan $(h,k)$ adalah pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jari lingkaran. • Diketahui pusat lingkaran adalah $(2,3)$, maka persamaan lingkaran menjadi: $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=r^2$ • Pernyataan 1: Lingkaran tersebut melalui titik $(2,7)$. Jika lingkaran melalui titik $(2,7)$, maka kita dapat menghitung jari-jari $r$ dengan memasukkan titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran: $(2-2{)}^2+(7-3{)}^2=r^2$ $0+16=r^2$ $r^2=16$ $r=4$ • Maka persamaan lingkaran adalah: $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=16$ • Pernyataan 2: Panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah 4 satuan. Jika jari-jari $r=4$, maka persamaan lingkaran menjadi: $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=4^2$ $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=16$ • Dari kedua pernyataan tersebut, baik pernyataan 1 maupun pernyataan 2 saja cukup untuk menjawab pertanyaan mengenai persamaan lingkaran. • Jawaban yang benar adalah D. Pernyataan 1 SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan 2 SAJA cukup.

Penyelesaian: • Persamaan umum lingkaran adalah: $(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$ dengan $(h,k)$ adalah pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jari lingkaran. • Diketahui pusat lingkaran adalah $(1,-2)$, maka persamaan lingkaran menjadi: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=r^2$ • Pernyataan 1: Lingkaran tersebut melalui titik $(1,3)$. Jika lingkaran melalui titik $(1,3)$, maka kita dapat menghitung jari-jari $r$ dengan memasukkan titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran: $(1-1{)}^2+(3+2{)}^2=r^2$ $0+25=r^2$ $r^2=25$ $r=5$ • Maka persamaan lingkaran adalah: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$ • Pernyataan 2: Panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah 5 satuan. • Jika jari-jari $r=5$, maka persamaan lingkaran menjadi: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=5^2$ $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$ • Dari kedua pernyataan tersebut, baik pernyataan 1 maupun pernyataan 2 saja cukup untuk menjawab pertanyaan mengenai persamaan lingkaran. • Jawaban yang benar adalah D. Pernyataan 1 SAJA cukup untuk menjawab pertanyaan dan pernyataan 2 SAJA cukup.

Penyelesaian: • Menentukan Dimensi Persegi Panjang: Diketahui luas persegi panjang adalah $150{\text{cm}}^2$ dengan perbandingan panjang dan lebar 2:3. Misalkan panjang adalah $2x$ dan lebar adalah $3x$. $2x\times 3x=150$ $6x^2=150$ $x^2=25$ $x=5$ Maka, panjang persegi panjang adalah $2x=2\times 5=10\text{cm}$ dan lebar persegi panjang adalah $3x=3\times 5=15\text{cm}$. • Menentukan Volume Tabung: Jari-jari tabung sama dengan lebar persegi panjang, yaitu $15\text{cm}$, dan tinggi tabung adalah $21\text{cm}$. Volume tabung $V$ adalah: $V=\pi r^{2}t$ $V=\pi (15{)}^2(21)$ $V=\pi (225)(21)$ $V=4725\pi {\text{cm}}^3$ $V\approx 4725\times 3.14$ $V\approx 14833.5{\text{cm}}^3$ • Membandingkan Kuantitas $P$ dan $Q$: $P=15850$ $Q\approx 14833.5$ • Jadi, $P$ lebih besar dari $Q$. • Jawaban yang benar adalah A. $P>Q$ .

Penyelesaian • Menentukan Dimensi Persegi Panjang: Diketahui luas persegi panjang adalah $200{\text{cm}}^2$ dengan perbandingan panjang dan lebar 4:5. Misalkan panjang adalah $4x$ dan lebar adalah $5x$. $4x\times 5x=200$ $20x^2=200$ $x^2=10$ $x\approx 3.16$ • Maka, panjang persegi panjang adalah $4x\approx 4\times 3.16\approx 12.64\text{cm}$ dan lebar persegi panjang adalah $5x\approx 5\times 3.16\approx 15.8\text{cm}$. • Menentukan Volume Tabung: Jari-jari tabung sama dengan lebar persegi panjang, yaitu $15.8\text{cm}$, dan tinggi tabung adalah $30\text{cm}$. • Volume tabung $V$ adalah: $V=\pi r^{2}t$ $V=\pi (15.8{)}^2(30)$ $V\approx \pi (249.64)(30)$ $V\approx 7489.2\pi {\text{cm}}^3$ $V\approx 7489.2\times 3.14$ $V\approx 23514.088{\text{cm}}^3$ • Membandingkan Kuantitas $P$ dan $Q$: $P=25000$ $Q\approx 23514.088$ • Jadi, $P$ lebih besar dari $Q$. • Jawaban yang benar adalah A. $P>Q$.

Penyelesaian 1) Volume Kubus: $V_{kubus}=a^3$ 2) Volume Limas Segi Empat: $V_{limas}=\frac{1}{3}\times \text{Luas Alas}\times \text{Tinggi}$ $V_{limas}=\frac{1}{3}\times a^2\times a=\frac{1}{3}{a}^3$ Volume limas ini lebih kecil dari volume kubus. 3) Volume Bola: $V_{bola}=\frac{4}{3}\pi r^3$ $V_{bola}=\frac{4}{3}\pi a^3$ Volume bola ini lebih besar dari volume kubus (karena $\pi \approx 3.14$). 4) Volume Prisma Segitiga: $V_{prisma}=\text{Luas Alas}\times \text{Tinggi}$ Luas alas segitiga: $\text{Luas Alas}=\frac{1}{2}\times a\times a=\frac{1}{2}{a}^2$ Maka volume prisma: $V_{prisma}=\frac{1}{2}{a}^2\times a=\frac{1}{2}{a}^3$ Volume prisma ini lebih kecil dari volume kubus. 5) Volume Tabung: $V_{tabung}=\pi r^{2}t$ $V_{tabung}=\pi a^2\times a=\pi a^3$ Volume tabung ini lebih besar dari volume kubus (karena $\pi \approx 3.14$). • Dari perhitungan di atas, volume bangun yang lebih kecil dari volume kubus adalah bangun nomor 1 dan 3. • Jawaban yang benar adalah B. 1 dan 3 SAJA yang benar.

Penyelesaian: • Volume Kubus: $V_{kubus}=b^3$ • Volume Limas Segi Empat: $V_{limas}=\frac{1}{3}\times \text{Luas Alas}\times \text{Tinggi}$ $V_{limas}=\frac{1}{3}\times b^2\times b=\frac{1}{3}{b}^3$ Volume limas ini lebih kecil dari volume kubus. • Volume Bola: $V_{bola}=\frac{4}{3}\pi r^3$ $r=\frac{b}{2}$ $V_{bola}=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{b}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \left(\frac{b^3}{8}\right)=\frac{4}{24}\pi b^3=\frac{1}{6}\pi b^3$ Volume bola ini lebih kecil dari volume kubus (karena $\pi \approx 3.14$). • Volume Prisma Segitiga: $V_{prisma}=\text{Luas Alas}\times \text{Tinggi}$ • Luas alas segitiga: $\text{Luas Alas}=\frac{1}{2}\times b\times b=\frac{1}{2}{b}^2$ • Maka volume prisma: $V_{prisma}=\frac{1}{2}{b}^2\times b=\frac{1}{2}{b}^3$ Volume prisma ini lebih kecil dari volume kubus. • Volume Tabung: $V_{tabung}=\pi r^{2}t$ $r=\frac{b}{2}$ $V_{tabung}=\pi {\left(\frac{b}{2}\right)}^2\times b=\pi \left(\frac{b^2}{4}\right)\times b=\frac{1}{4}\pi b^3$ Volume tabung ini lebih kecil dari volume kubus (karena $\pi \approx 3.14$). • Dari perhitungan di atas, volume bangun yang lebih kecil dari volume kubus adalah bangun nomor 1, 2, 3, dan 4. • Jawaban yang benar adalah E. SEMUA pilihan benar.

Penyelesaian: Untuk menentukan apakah suatu bangun merupakan bangun ruang, kita perlu mengetahui bahwa bangun ruang adalah bangun tiga dimensi yang memiliki volume. Mari kita analisis masing-masing bangun: 1. Prisma : - Prisma adalah bangun ruang yang memiliki dua alas yang kongruen dan sisi-sisi tegak yang berbentuk segi empat. - Prisma adalah bangun ruang. 2. Segitiga : - Segitiga adalah bangun datar yang memiliki tiga sisi dan tiga sudut. - Segitiga bukan bangun ruang. 3. Kubus : - Kubus adalah bangun ruang yang memiliki enam sisi yang berbentuk persegi dan semua sisinya kongruen. - Kubus adalah bangun ruang. 4. Lingkaran : - Lingkaran adalah bangun datar yang terdiri dari semua titik yang berjarak sama dari titik pusat. - Lingkaran bukan bangun ruang. • Dari analisis di atas, bangun ruang adalah Prisma dan Kubus (jawaban 1 dan 3). • Jawaban yang benar adalah B. jika jawaban 1 dan 3 benar.

Pembahasan: Untuk menentukan bangun ruang yang memiliki bidang diagonal, kita perlu memahami definisi bidang diagonal. Bidang diagonal adalah bidang yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang tidak sejajar pada bangun ruang. • Kubus : - Kubus memiliki bidang diagonal karena setiap pasangan sisi yang berlawanan memiliki bidang diagonal. - Kubus memiliki bidang diagonal. • Balok : - Balok juga memiliki bidang diagonal yang sama seperti kubus. - Balok memiliki bidang diagonal. • Limas Segi Empat : - Limas segi empat juga memiliki bidang diagonal yang dibentuk oleh sisi-sisi tegak dan alas segi empatnya. - Limas segi empat memiliki bidang diagonal. • Kerucut : - Kerucut tidak memiliki bidang diagonal karena bentuknya adalah lingkaran dengan satu titik puncak. - Kerucut tidak memiliki bidang diagonal. • Dari analisis di atas, bangun ruang yang memiliki bidang diagonal adalah Kubus, Balok, dan Limas Segi Empat (jawaban 1, 2, dan 3) • Jawaban yang benar adalah A. Jika jawaban (1), (2), dan (3) benar.

Penyelesaian: • Menentukan jari-jari lingkaran: - Jari-jari lingkaran pertama (diameter 12 cm) adalah: $r_1=\frac{12}{2}=6\text{cm}$ • Jari-jari lingkaran kedua (diameter 4 cm) adalah: $r_2=\frac{4}{2}=2\text{cm}$ • Menentukan luas masing-masing lingkaran: - Luas lingkaran pertama: $L_1=\pi r_1^2=\pi (6{)}^2=36\pi$ • Luas lingkaran kedua: $L_2=\pi r_2^2=\pi (2{)}^2=4\pi$ • Menentukan perbandingan luas: - Perbandingan luas lingkaran pertama dengan luas lingkaran kedua: • $\frac{L_1}{L_2}=\frac{36\pi }{4\pi }=\frac{36}{4}=9$ • Jadi, perbandingan luas lingkaran pertama dengan lingkaran kedua adalah $9:1$. • Jawaban yang benar adalah C. 9 : 1.