Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika merupakan suatu urutan bilangan yang memiliki pola tetap, yaitu selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu sama. Nilai-nilai dalam barisan tersebut dinamakan suku.

Sebagai contoh, perhatikan barisan bilangan berikut.

2, 5, 8, 11, …

Setiap suku pada barisan di atas bertambah 3 dari suku sebelumnya. Karena selisih antar suku selalu sama, maka barisan tersebut merupakan contoh barisan aritmetika.

Secara umum, dapat dikatakan bahwa $U_1, U_2, U_3, U_4, \dots, U_n$ adalah barisan aritmetika jika $U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = \dots = U_n - U_{n-1} = $ konstanta. Konstanta dalam hal ini didefinisikan sebagai beda (b).

$$b = U_n - U_{n-1}$$

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b dapat digambarkan sebagai berikut.

$U_1 = a$ $U_2 = a + b$ $U_3 = a + 2b$ $U_4 = a + 3b$ … $U_n = a + (n-1)b$

Rumus untuk menentukan suku ke-n dalam barisan aritmetika yaitu:

$$U_n = a + (n-1)b$$

dengan a adalah suku pertama dan b adalah beda.

Sisipan

Apabila di antara dua suku yang berurutan dalam suatu barisan aritmetika terdapat penambahan satu atau lebih suku (bilangan) yang lain sehingga menjadi barisan aritmetika yang baru, proses ini dinamakan menyisipkan atau interpolasi. Misalkan, terdapat dua suku (dua bilangan) $U_1$ dan $U_2$ disisipkan k bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru, maka:

Barisan pertama: $U_1$, $U_2$, di mana beda $b = U_2 - U_1$.

Jarak antar suku (beda) dalam barisan baru dapat dihitung dengan rumus:

$$b' = \frac{U_2 - U_1}{k+1} = \frac{b}{k+1}$$

dengan $b'$ adalah beda barisan aritmetika yang baru.

Suku Tengah $U_t$

Jika jumlah suku dalam barisan aritmetika ganjil, terdapat sebuah suku tengah yang disebut $U_t$.

$a, \dots, U_t, U_n \to$ untuk n ganjil, maka:

$$2U_t = a + U_n \quad \text{atau} \quad U_t = \tfrac{1}{2}(a + U_n)$$

Setiap suku dalam barisan aritmetika sama dengan setengah jumlah suku yang mengikutinya, kecuali suku pertama dan suku terakhir.

$U_k - b$, $U_k$, $U_k + b$

$$U_k = \tfrac{1}{2}\{(U_k - b) + (U_k + b)\}$$

Deret Aritmetika

Jumlah dari suku-suku dalam barisan aritmetika disebut deret aritmetika. Jika suatu barisan aritmetika memiliki suku-suku $U_1, U_2, U_3, \dots, U_n$, deret aritmetika diartikan sebagai $U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_n$ dengan $U_n = a + (n-1)b$.

Apabila $S_n$ adalah jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika, rumus umum untuk $S_n$ adalah

$$S_n = \tfrac{1}{2}n\left(2a + (n-1)b\right)$$

Rumus jumlah deret aritmetika dapat diuraikan sebagai berikut.

$S_n = \tfrac{1}{2}n(2a + (n-1)b) = \tfrac{1}{2}n(a + (a + (n-1)b))$

Jadi, $S_n = \tfrac{1}{2}n(a + U_n)$

$S_n = \tfrac{1}{2}n(2a + (n-1)b) = an + \tfrac{1}{2}bn^2 - \tfrac{1}{2}bn$

$S_n = \tfrac{1}{2}bn^2 + \left(a - \tfrac{1}{2}b\right)n$, atau

$S_n = pn^2 + qn$, merupakan suatu fungsi kuadrat tanpa konstanta, untuk $p = \tfrac{1}{2}b$ dan $q = a - \tfrac{1}{2}b$