Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

Barisan geometri adalah suatu urutan bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap. Sebagai contoh, perhatikan barisan berikut.

2, 6, 18, 54, …

Pada barisan ini, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 3. Hasil pembagian antara dua suku yang berurutan selalu sama ($\frac{6}{2} = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = 3$), maka barisan ini disebut barisan geometri.

Secara umum, dapat dikatakan bahwa $U_1, U_2, U_3, U_4, \dots, U_n$ merupakan barisan geometri jika $\frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = \frac{U_4}{U_3} = \dots = \frac{U_n}{U_{n-1}} = $ konstanta. Konstanta dalam hal ini didefinisikan sebagai rasio (r).

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r dapat diturunkan sebagai berikut.

$U_1 = a$ $U_2 = ar$ $U_3 = ar^2$ $U_4 = ar^3$ … $U_n = ar^{n-1}$

Rumus untuk menentukan suku ke-n dalam barisan geometri yaitu:

$$U_n = ar^{n-1}$$

dengan a adalah suku pertama dan r adalah rasio.

Sisipan

Apabila di antara dua suku barisan geometri disisipkan tiga suku sehingga akan membentuk barisan geometri yang baru. Secara umum, jika disisipkan k bilangan di antara dua suku yang berurutan maka rasio barisan geometri baru yaitu:

$$r' = \sqrt[k+1]{r}$$

dengan $r'$ adalah rasio barisan geometri yang baru.

Untuk menentukan banyak suku dalam barisan geometri, digunakan rumus:

$$n' = a + (n-1)k$$

Kuadrat setiap suku dalam barisan geometri sama dengan hasil kali suku sebelum dan sesudah suku tersebut, kecuali suku pertama dan suku terakhir.

$$U_k^{2} = \left(\frac{U_k}{r}\right) \cdot (U_k \cdot r)$$

Misalnya: $(U_7)^2 = (U_6)(U_8)$ $(ar^6)^2 = ar^5 \cdot ar^7 = (ar^6)^2$

Deret Geometri

Seperti dalam deret aritmetika, jumlah dari suku-suku dalam barisan geometri dapat membentuk suatu deret yang disebut deret geometri. Jika suatu barisan geometri memiliki suku-suku $U_1, U_2, U_3, \dots, U_n$, deret geometri diartikan sebagai $U_1 + U_2 + U_3 + \dots + U_n$ dengan $U_n = ar^{n-1}$.

Apabila $S_n$ adalah jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri, rumus umum untuk $S_n$ adalah

$$S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}; \quad \text{untuk } r < 1$$

atau

$$S_n = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}; \quad \text{untuk } r > 1$$

Deret Geometri Tak Hingga

Dalam interval $-1 < r < 1$, jumlah n suku pertama suatu deret geometri adalah

$$S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$$

$$S_n = \frac{a}{1-r} - \frac{ar^{n}}{1-r}$$

Apabila n mendekati "tak hingga", yaitu $n \to \infty$ maka $r^{n} \to 0$ sehingga

$$S_{\infty} = \frac{a}{1-r}; \quad \text{untuk } -1 < r < 1$$

$S_{\infty}$ disebut "jumlah sampai tak hingga suku".

Jika suatu deret geometri tak hingga dapat ditentukan pendekatan jumlahnya, deret tersebut didefinisikan sebagai deret yang konvergen. Jika suatu deret geometri tidak dapat ditentukan jumlahnya karena nilai suku semakin besar, dinamakan deret yang divergen.

Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah tertentu (konvergen) jika rasio deret tersebut terletak pada interval $-1 < r < 1$ atau $|r| < 1$.