Fungsi Kuadrat

Pengertian Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang memiliki bentuk umum:

$$f(x) = ax^{2} + bx + c;$$

di mana a, b, dan c adalah konstanta dan $a \neq 0$. Misalkan $g(x) = x^2 - 3x + 1$ adalah fungsi kuadrat dengan $a = 1$, $b = -3$, dan $c = 1$. Jika domain g ialah $\{x \mid -1 \le x \le 5, x \in R\}$, tunjukkan dengan diagram panah bahwa fungsi kuadrat g merupakan fungsi.

$g(x) = x^2 - 3x + 1$

Domain (x)	−1	0	1	2	3	4	5
Range ($x^2-3x+1$)	5	1	−1	−1	1	5	11

Setiap unsur domain dipasangkan dengan tepat satu unsur pada daerah hasil (range), maka $g(x) = x^2 - 3x + 1$ merupakan sebuah fungsi.

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat memiliki bentuk parabola, yang memiliki karakteristik khas:

• kurva mulus,
• mempunyai sumbu simetri,
• mempunyai titik balik, yaitu titik balik minimum atau titik balik maksimum

Grafik Fungsi Kuadrat $y = ax^2$ dan $y \pm k = ax^2$

Berdasarkan contoh di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa:

• Jika $y = x^2$ ditranslasikan vertikal sejauh k ke atas menjadi $y - k = x^2$, maka koordinat titik balik $(0,0)$ untuk $y = x^2$ ditranslasikan ke titik $(0, k)$ yang dinotasikan dengan $\begin{pmatrix} 0 \\ k \end{pmatrix}$: $y = x^2 \longrightarrow y - k = x^2$
• Jika $y = x^2$ ditranslasikan horizontal sejauh h ke kanan menjadi $y = (x - h)^2$, maka koordinat titik balik $(0,0)$ untuk $y = x^2$ ditranslasikan ke titik $(h, 0)$ yang dinotasikan dengan $\begin{pmatrix} h \\ 0 \end{pmatrix}$: $y = x^2 \longrightarrow y = (x - h)^2$

Memahami Fungsi Kuadrat $ax^2 + bx + c$ dalam Bentuk $p(x + h)^2 + k$

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$

Dalam membuat sketsa grafik $f(x) = ax^2 + bx + c$ perlu memperhatikan hal-hal berikut.

• Titik potong parabola dengan sumbu Y diperoleh jika $x = 0$; $y = a(0)^2 + b(0) + c = c$. Titik potong dengan sumbu Y = $(0, c)$
• Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika $y = 0$; $ax^2 + bx + c = 0$

• Apabila $ax^2 + bx + c$ dapat difaktorkan, $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ dinyatakan dengan $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut.
• Apabila $ax^2 + bx + c$ tidak dapat difaktorkan, gunakan metode melengkapkan kuadrat atau rumus kuadrat.

Diskriminan persamaan kuadrat tersebut dapat memberikan penjelasan mengenai titik potong-titik potong grafik dengan sumbu X.

• $b^2 - 4ac > 0 \to$ dua titik potong berlainan
• $b^2 - 4ac = 0 \to$ grafik menyinggung sumbu X
• $b^2 - 4ac < 0 \to$ tidak ada titik potong

Koordinat titik balik, gunakan hubungan:

$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$ $ax^2 + bx + c = ax^2 - 2ahx + (ah^2 + k)$

Kemudian selanjutnya diperoleh: $b = -2ah$ atau $h = -\dfrac{b}{2a}$ $c = ah^2 + k \to k = c - ah^2$ atau $k = -\dfrac{b^{2} - 4ac}{4a} = -\dfrac{D}{4a}$

Jadi, sumbu simetrinya $x = -\dfrac{b}{2a}$

Titik balik $= \left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{D}{4a}\right)$

Sumbu simetri fungsi $f(x) = ax^2 + bx + c$ akan berimpit atau sejajar dengan sumbu Y.

Ringkasan untuk sketsa grafik fungsi kuadrat sebagai berikut.

Tabel Bentuk Persamaan Kurva dan Koordinat Titik Balik

Bentuk Persamaan Kurva	Koordinat Titik Balik
$y = ax^2$	$(0, 0)$
$y - k = ax^2$	$(0, k)$
$y + k = ax^2$	$(0, -k)$
$y = a(x - h)^2$	$(h, 0)$
$y = a(x + h)^2$	$(-h, 0)$
$y - k = a(x - h)^2$	$(h, k)$
$y + k = a(x + h)^2$	$(-h, -k)$
$y - k = a(x + h)^2$	$(-h, k)$
$y + k = a(x - h)^2$	$(h, -k)$

Tabel Hubungan Tanda a dan Jenis Titik Balik

Tanda a dalam $ax^2+bx+c$	Bentuk Kurva $y = ax^2+bx+c$	Jenis Titik Balik
$a > 0$ (positif)	$\cup$	Minimum
$a < 0$ (negatif)	$\cap$	Maksimum

Tabel Titik Potong dan Sumbu Koordinat

Kurva $y = ax^2+bx+c$	Sumbu Koordinat
Untuk $y = 0$	Memotong sumbu X jika $D \ge 0$ Tidak memotong sumbu X jika $D < 0$ (definit positif atau negatif)
Untuk $x = 0$	Memotong sumbu Y di $(0, c)$

Menyusun Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi kuadrat dapat disusun apabila diketahui hal-hal berikut.

• Koordinat titik balik $(h, k)$. Bentuk persamaannya $y - k = a(x - h)^2$.
• Titik potong dengan sumbu X di titik $(p, 0)$ dan $(q, 0)$. Bentuk persamaannya $y = a(x - p)(x - q)$.
• Kurva parabola melalui tiga titik sebarang. Bentuk persamaannya $y = ax^2 + bx + c$.

Masalah yang Berkaitan dengan Fungsi Kuadrat

Terdapat beberapa hal yang perlu diingat pada grafik fungsi:

$y = ax^2 + bx + c$; $a$, $b$, $c \in R$ dan $a \neq 0$

Titik stasioner

$y_{\text{ekstrim}} = -\dfrac{D}{4a} \to \begin{cases} y_{\text{minimum}}, & \text{jika } a > 0 \\ y_{\text{maksimum}}, & \text{jika } a < 0 \end{cases}$

$y_{\text{ekstrim}}$ tercapai apabila $x = -\dfrac{b}{2a}$

Jadi, titik stasioner $= \left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{D}{4a}\right)$

Definit positif atau negatif

Jika $D < 0$ dan $a > 0 \to$ y selalu positif untuk setiap x (definit positif); jika $D < 0$ dan $a < 0 \to$ y selalu negatif untuk setiap x (definit negatif).