Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data digunakan untuk mengetahui seberapa jauh data tersebar dari nilai pusatnya (mean, median, atau modus). Jika penyebarannya besar, maka datanya lebih bervariasi; jika kecil, maka datanya lebih terpusat.

Jika $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ merupakan suatu kumpulan data, dan $x_1$ = data terkecil, $x_n$ = data terbesar, $Q_1$ = kuartil bawah, $Q_2 = \bar{x}$ = median, dan $Q_3$ = kuartil atas, maka $x_1, x_n, Q_1, Q_2, Q_3$ disebut statistik lima serangkai.

Jangkauan Data

Untuk memahami data, tidak cukup hanya mengetahui nilai-nilai statistik lima serangkai saja, diperlukan juga mengetahui penyebaran dari data tersebut, yaitu melalui ukuran-ukuran berikut ini.

Jangkauan

Jangkauan (J) merupakan selisih dari statistik maksimum dan statistik minimum.

$$J = x_n - x_1$$

Sifat jangkauan:

• mudah ditentukan,
• hanya melibatkan nilai terbesar dan terkecil,
• peka terhadap satu nilai data ekstrem.

Jangkauan Antarkuartil atau Hamparan

Jangkauan antarkuartil atau hamparan merupakan selisih antara kuartil atas dengan kuartil bawah.

$$H = Q_3 - Q_1$$

Sifat jangkauan antarkuartil:

• tidak peka terhadap nilai data yang ekstrem,
• hanya melibatkan dua kuartil saja.

Simpangan Kuartil

Simpangan kuartil ($Q_d$) merupakan hasil hitung setengah dari selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah.

$$Q_d = \tfrac{1}{2}(Q_3 - Q_1)$$

Simpangan

Simpangan Rata-Rata

Simpangan rata-rata dari data $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ didefinisikan sebagai:

$$S_r = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n}$$

• $x_i$ = data ke-i
• $n$ = ukuran data
• $\bar{x}$ = rataan (mean)

Apabila datanya merupakan data berkelompok, maka simpangan rata-ratanya dapat dihitung dengan rumus:

$$S_r = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

• $x_i$ = nilai tengah interval ke-i
• $f_i$ = frekuensi kelas ke-i
• $\bar{x}$ = rataan (mean)

Ragam (variansi)

Ragam ($\sigma^{2}$) dari data $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ didefinisikan sebagai:

$$\sigma^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}}{n} \quad \text{atau} \quad \sigma^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}}{n} - \left(\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\right)^{2}$$

• $x_i$ = data ke-i
• $n$ = ukuran data
• $\bar{x}$ = rataan (mean)

Apabila datanya merupakan data berkelompok, maka ragam dapat dihitung dengan rumus:

$$\sigma^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^{2}}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$$

• $x_i$ = nilai tengah kelas ke-i
• $f_i$ = frekuensi kelas ke-i
• $\bar{x}$ = rataan (mean)
• $\sum f_i$ = jumlah frekuensi

Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Jika diketahui data $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$, maka simpangan baku ($\sigma$) didefinisikan sebagai:

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}}{n}} \quad \text{atau} \quad \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}}{n} - \left(\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\right)^{2}}$$

• $x_i$ = data ke-i
• $n$ = ukuran data
• $\bar{x}$ = rataan (mean)

Berdasarkan bentuk rumus tersebut, terlihat bahwa simpangan baku ($\sigma$) merupakan akar kuadrat dari ragam ($\sigma^{2}$).

Apabila datanya merupakan data berkelompok, maka simpangan baku dinyatakan dengan rumus berikut.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^{2}}{\sum_{i=1}^{n} f_i}}$$

• $x_i$ = nilai tengah interval ke-i
• $f_i$ = frekuensi kelas ke-i
• $\bar{x}$ = rataan (mean)
• $\sum f_i$ = jumlah frekuensi