Matriks Kolom dan Matriks Baris
$$A = \begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$$
Matriks A di atas memiliki 1 kolom dan 4 baris. Matriks yang memiliki 1 kolom disebut matriks kolom. Ordo dari matriks A tersebut adalah $4 \times 1$.
Suatu matriks A dinamakan matriks kolom apabila memiliki ordo $m \times 1$. Contoh matriks kolom dapat dilihat pada matriks B dan C berikut.
- $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}$ Ordo $B = 5 \times 1$
- $C = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix}$ Ordo $C = 2 \times 1$
Matriks P berikut memiliki 1 baris dan 5 kolom. Matriks yang hanya memiliki 1 baris dinamkan matriks baris. Ordo dari matriks P adalah $1 \times 5$.
$$P = \begin{pmatrix} -5 & 3 & 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}$$
Suatu matriks A dinamakan matriks baris apabila memiliki ordo $1 \times n$. Contoh matriks baris dapat dilihan pada matriks X dan Y berikut.
- $X = \begin{pmatrix} 4 & -\frac{1}{4} & 2 \end{pmatrix}$ Ordo $X = 1 \times 3$
- $Y = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$ Ordo $Y = 1 \times 4$
Matriks Nol
Suatu matriks dinamakan matriks nol apabila anggota matriks tersebut merupakan angka nol. Matriks nol biasanya diwakili dengan $0_{m \times n}$. Berikut merupakan contoh-contoh dari matriks $0_{m \times n}$.
$$0_{3 \times 2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad 0_{2 \times 3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$0_{3 \times 3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Matriks Persegi
Suatu matriks dinamakan matriks persegi apabila matriks tersebut memiliki ordo $(m \times m)$. Berikut merupakan contoh matriks persegi.
$$P = \begin{pmatrix} 2 & \frac{1}{4} \\ 3 & 8 \end{pmatrix}$$ $$Q = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 5 & -2 \\ -\frac{1}{3} & 0 & -3 & 2 \\ 4 & 1 & \frac{1}{2} & -4 \\ 3 & 8 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Ordo $P = 2 \times 2$ dan Ordo $Q = 4 \times 4$.
Matriks Diagonal
Suatu matriks dinamakan matriks diagonal apabila matriks tersebut adalah matriks persegi dengan anggota diagonal utama sekurang-kurangnya satu bilangan bukan nol, dan anggota yang lain nol. Matriks-matriks berikut merupakan contoh matriks diagonal.
$$P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} \qquad R = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}$$ $$Q = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Ordo $P = 2 \times 2$, Ordo $Q = 4 \times 4$, dan Ordo $R = 3 \times 3$.
Matriks Skalar
$$G = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}$$
Matriks G di atas merupakan matriks diagonal.
Apabila anggota $a_{11} = a_{22} = a_{33} = k$, di mana k suatu bilangan bukan nol, maka matriks G dinamakan matriks skalar. Matriks-matriks berikut merupakan contoh matriks skalar.
$$X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad Y = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ $$Z = \begin{pmatrix} -5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \end{pmatrix}$$
Apabila pada matriks skalar nilai $k = 1$, maka matriks itu dinamakan matriks identitas.
Matriks Identitas
$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Matriks I di atas merupakan matriks persegi dengan anggota pada diagonal utama adalah satu, dan anggota lainnya adalah nol.
Matriks persegi yang seperti matriks I dinamakan matriks identitas. Matriks identitas berfungsi sebagai elemen netral dalam operasi perkalian matriks.
Ordo matriks I adalah $3 \times 3$ dan pada umumnya ditulis $I_3$.
Matriks-matriks berikut merupakan contoh matriks identitas.
$$I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$I_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Matriks Segitiga
Misalkan suatu matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah diagonal utama atau di atas diagonal utama semuanya nol. Matriks dengan karakteristik demikian dinamakan matriks segitiga. Terdapat dua macam matriks segitiga, yaitu:
Matriks segitiga atas, yaitu matriks segitiga dengan elemen-elemen di bawah diagonal utama semuanya nol.
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 5 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -6 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Matriks segitiga bawah, yaitu matriks segitiga dengan elemen-elemen di atas diagonal utama semuanya nol.
$$A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$
Transpos Matriks
Misalkan diketahui ordo matriks A adalah $m \times n$. Matriks A transpos ditulis $A^{T}$ atau $A^{t}$ berordo $n \times m$ dibentuk dengan menulis baris pertama matriks A sebagai kolom pertama untuk matriks $A^{T}$, baris kedua dari A sebagai kolom kedua untuk $A^{T}$, dan baris ketiga dari A sebagai kolom ketiga untuk matriks $A^{T}$, dan seterusnya baris ke-m matriks A sebagai kolom ke-m untuk matriks $A^{T}$.
Matriks $A^{T}$ yang dibentuk dengan menulis setiap baris dari A sebagai kolom yang bersesuaian untuk $A^{T}$ dinamakan matriks A transpos.
Berikut merupakan dua contoh matriks transpos dari matriks C dan D.
$$\text{Jika } C = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \end{pmatrix}, \text{ maka } C^{T} = \begin{pmatrix} a & e \\ b & f \\ c & g \\ d & h \end{pmatrix}$$
$$\text{Jika } D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 5 & -2 & 8 \\ -6 & 7 & 2 \end{pmatrix}, \text{ maka } D^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -6 \\ 0 & -2 & 7 \\ 3 & 8 & 2 \end{pmatrix}$$
Matriks Hilbert adalah salah satu jenis matriks persegi yang terkenal dalam matematika, terutama dalam aljabar linear dan analisis numerik. Matriks ini dinamai berdasarkan matematikawan Jerman, David Hilbert, yang berkontribusi besar pada teori ruang vektor dan analisis fungsional. Matriks Hilbert memiliki elemen-elemen yang didefinisikan sebagai $H_{ij} = \dfrac{1}{i + j - 1}$ di mana i dan j adalah indeks baris dan kolom masing-masing. Dengan kata lain, elemen pada posisi (i, j) dalam matriks Hilbert adalah kebalikan dari jumlah baris dan kolom dikurangi satu. Bentuk ini menghasilkan matriks yang simetris dan positif definit, tetapi juga sangat kondisional dalam konteks perhitungan numerik.
Keistimewaan dari matriks Hilbert terletak pada sifatnya yang ill-conditioned, artinya matriks ini sangat sensitif terhadap perubahan kecil pada data masukan. Hal ini disebabkan oleh nilai determinan yang sangat kecil ketika ukuran matriks bertambah, sehingga solusi dari sistem persamaan linear yang melibatkan matriks Hilbert dapat mengalami error besar jika menggunakan metode numerik standar. Matriks ini sering digunakan dalam analisis kesalahan numerik untuk menguji kestabilan algoritma penyelesaian persamaan linear. Pada ukuran matriks yang lebih besar (misalnya, matriks Hilbert berukuran $10 \times 10$), metode inversi langsung dapat menghasilkan nilai yang tidak akurat karena pengaruh round-off error.
Walaupun sulit ditangani dalam komputasi, matriks Hilbert tetap menjadi objek studi yang penting dalam matematika karena sifat analitisnya yang menarik. Matriks ini merupakan contoh dari matriks simetris positif definit, yang berarti semua nilai eigen dari matriks Hilbert adalah positif. Namun, nilai eigen tersebut juga menunjukkan penurunan yang cepat, sehingga semakin besar ukurannya, semakin kecil nilai eigen berikutnya. Studi mengenai matriks Hilbert tidak hanya menarik secara teoritis, tetapi juga memberikan wawasan mendalam mengenai batasan metode numerik dalam menangani sistem linear yang sangat sensitif. Karena karakteristiknya yang menantang, matriks Hilbert sering digunakan sebagai contoh ekstrem dalam kursus aljabar linear dan analisis numerik.
Gratis — tolong sebarkan
Materi dan latihan di sini bisa dipakai siapa saja tanpa membayar dan tanpa mendaftar. Aplikasi Fitri Learning membawa semuanya ke HP, lengkap dengan nilai dan pembahasan, dan jalan tanpa internet setelah diunduh sekali.
Gratis, tanpa akunUnduh aplikasinya → Ilmu yang bermanfaatBagikan ke WhatsApp