Translasi (Pergeseran)

Translasi merupakan salah satu jenis transformasi geometri yang menggeser seluruh titik dalam suatu objek (misalnya bangun datar atau grafik fungsi) sejauh jarak tertentu dalam arah tertentu. Translasi tidak mengubah bentuk atau ukuran objek, hanya posisinya saja yang berubah. Dalam konteks matematika, translasi sering diterapkan pada grafik fungsi seperti fungsi linear, kuadrat, atau absolut. Pergeseran ini bisa terjadi ke atas, ke bawah, ke kanan, atau ke kiri.

Secara umum, jika titik $(x, y)$ ditranslasi oleh $T = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, dengan a = nilai pergeseran ke kanan (+) atau ke kiri (−) dan b = nilai pergeseran ke atas (+) atau ke bawah (−), maka hasilnya disebut sebagai bayangan $(x', y')$, yaitu sebagai berikut.

$$(x,\, y) \xrightarrow{\;T = \left(\begin{smallmatrix} a \\ b \end{smallmatrix}\right)\;} (x',\, y') = (x + a,\; y + b)$$

Persamaan $x' = x + a$ dan $y' = y + b$ dapat ditulis dalam bentuk $x = x' - a$ dan $y = y' - b$. Bentuk tersebut kemudian disubstitusikan ke persamaan fungsi $y = f(x)$, sehingga jika hasil translasi adalah $y' = g(x)$, maka diperoleh sebagai berikut.

$$y' - b = f(x' - a) \quad \text{atau} \quad y' = f(x' - a) + b \quad \text{atau} \quad g(x) = f(x - a) + b$$

Dengan demikian, apabila fungsi $f(x)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, maka bayangannya dapat dinyatakan dengan persamaan:

$$g(x) = f(x - a) + b$$

Dalam fungsi awal $y = f(x)$, jika $a > 0$ dan $b > 0$ maka:

• $y = f(x - a)$, menggeser $y = f(x)$ sejauh a ke kanan,
• $y = f(x + a)$, menggeser $y = f(x)$ sejauh a ke kiri,
• $y = f(x) + b$, menggeser $y = f(x)$ sejauh b ke atas,
• $y = f(x) - b$, menggeser $y = f(x)$ sejauh b ke bawah.