Faktorial
Faktorial adalah suatu operasi matematika yang melibatkan perkalian bilangan bulat positif berturut-turut mulai dari angka tersebut hingga angka 1. Notasi faktorial ditulis dengan tanda seru (!), di mana $n!$ (dibaca "n faktorial") adalah hasil perkalian semua angka dari n sampai 1. Faktorial dapat didefinisikan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} 0! &= 1 \\ 1! &= 1 \\ 2! &= 2 \cdot 1 = 2 \\ 3! &= 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \\ 4! &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 12,\ \text{dan seterusnya} \end{aligned}$$
secara umum
$$n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$
perhatikan juga bahwa
$$n! = n \cdot (n - 1)!$$
$$n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!,\ \text{dan seterusnya}$$
Permutasi Semua Unsur Berbeda
Permutasi merupakan cara untuk menyusun objek-objek yang dibentuk dari n unsur, yang diperoleh dari n unsur atau sebagian unsur.
Apabila terdapat n unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyak susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah $P(n, n) = n!$. Dalam permutasi ini, setiap susunan atau urutan objek dihitung sebagai hasil yang unik.
- $P(n, n) = {}_{n}P_{n}$ dibaca permutasi tingkat n dari n unsur.
- $P(n, n) = n!$
Permutasi Sebagian Unsur Berbeda
Permutasi $P(n, n)$ menjelaskan bahwa dari n unsur yang tersedia diambil seluruhnya untuk disusun. Dari n unsur dapat pula dibuat susunan yang hanya berunsur r, untuk $r < n$ dengan memperhatikan urutannya.
Jumlah permutasi r unsur yang diambil dari n buah unsur yang berbeda adalah $P(n, r) = \dfrac{n!}{(n - r)!}$ untuk $r < n$. $P(n, r)$ dibaca permutasi tingkat r dari n. Dengan n adalah jumlah total objek yang tersedia dan r adalah jumlah objek yang dipilih atau disusun.
Permutasi Beberapa Unsur Sama
Permutasi beberapa unsur sama adalah cara untuk menyusun objek-objek yang tidak semuanya berbeda. Dalam hal ini, terdapat beberapa objek yang identik atau memiliki nilai yang sama. Secara umum, permutasi dengan unsur-unsur yang sama dapat dijelaskan sebagai berikut.
Jumlah cara membagi n buah unsur ke dalam k sel yang masing-masing terdiri dari $n_1$ unsur pada sel pertama, $n_2$ unsur pada sel kedua, dan seterusnya sampai $n_k$ unsur pada sel ke-k adalah
$$(n_1, n_2, n_3, \ldots, n_k) = \frac{n!}{n_1!\, n_2!\, n_3! \ldots n_k!}$$
Permutasi Siklis (Permutasi Melingkar)
Permutasi siklis (melingkar) adalah cara untuk menyusun objek-objek dalam bentuk lingkaran. Dalam permutasi ini, posisi objek yang sama akan terhitung sama meskipun objek tersebut diputar (rotasi). Artinya, hanya susunan yang berbeda dalam posisi relatif antar objek yang dihitung sebagai permutasi yang unik.
Secara umum, banyaknya permutasi siklis dari n objek adalah $(n - 1)!$
Sudoku terdiri dari sebuah grid 9×9 yang dibagi menjadi 9 kotak 3×3. Tujuannya adalah mengisi seluruh kotak dengan angka 1 sampai 9, sedemikian rupa sehingga setiap angka muncul tepat satu kali di setiap baris, kolom, dan blok 3×3. Ini adalah contoh nyata dari penerapan permutasi, karena dalam satu baris atau kolom, harus menyusun sembilan angka berbeda tanpa pengulangan. Secara teoritis, jika hanya melihat satu baris dan ingin menyusun angka 1 sampai 9 secara unik, maka ada 9! (9 faktorial) atau 362.880 kemungkinan susunan. Namun, ketika mempertimbangkan aturan Sudoku secara keseluruhan — yaitu, tidak boleh ada pengulangan angka dalam baris, kolom, dan kotak kecil 3×3 — maka jumlah total susunan yang valid menjadi jauh lebih kompleks. Setelah dihitung secara komputasional, jumlah total grid Sudoku yang valid adalah sekitar 6.670.903.752.021.072.936.960, atau lebih dari 6,67 sekstiliun kemungkinan. Angka tersebut menunjukkan betapa luasnya ruang solusi dalam Sudoku, dan betapa pentingnya konsep permutasi dalam memahami dan bahkan merancang teka-teki ini. Para pembuat Sudoku menggunakan prinsip-prinsip kombinatorika untuk memastikan teka-teki mereka memiliki solusi unik. Jadi, setiap kali menyelesaikan sebuah Sudoku, sebenarnya sedang bermain-main dengan konsep permutasi tingkat tinggi tanpa perlu sadar bahwa sedang menggunakan matematika.
Gratis — tolong sebarkan
Materi dan latihan di sini bisa dipakai siapa saja tanpa membayar dan tanpa mendaftar. Aplikasi Fitri Learning membawa semuanya ke HP, lengkap dengan nilai dan pembahasan, dan jalan tanpa internet setelah diunduh sekali.
Gratis, tanpa akunUnduh aplikasinya → Ilmu yang bermanfaatBagikan ke WhatsApp