Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Diketahui dua persamaan linear:

ax + by = p ... (1) cx + dy = q ... (2)

Untuk menyelesaikan (mencari jawaban) sistem persamaan linear di atas terdapat beberapa cara yang sistematis. Berikut akan dibahas cara penyelesaian sistem persamaan di atas, yaitu:

• metode grafik,
• metode substitusi,
• metode eliminasi.

Metode Grafik

Titik-titik yang memenuhi setiap persamaan linear merupakan sebuah garis lurus. Maka dari itu, jawaban dari sistem tersebut adalah titik potong antara kedua garis. Sebagai contoh, perhatikan sistem persamaan linear berikut.

2x – y = 6 3x + y = 4

Untuk mendapatkan jawaban sistem persamaan linear tersebut, dapat dibuat tabel berikut.

2x – y = 6

3x + y = 4

Dari gambar di atas, terlihat bahwa titik potong kedua garis adalah pasangan bilangan yang secara serentak memenuhi kedua persamaan linear, yaitu titik (2, −2). Titik potong kedua garis merupakan penyelesaian sistem persamaan tersebut. Himpunan penyelesaiannya adalah {(2, −2)}.

Metode Substitusi

Kata substitusi berarti mengganti, dan dalam konteks ini, mengganti salah satu variabel di dalam suatu persamaan dengan ekspresi yang setara dari variabel tersebut, yang diperoleh dari persamaan lain.

Misalkan diketahui sistem persamaan:

x + y = 4 ... (1) 4x – y = 1 ... (2)

Salah satu persamaan diubah ke salah satu variabel, maka diperoleh x + y = 4 → x = 4 – y.

Jika dituliskan dalam bentuk persamaan adalah: 4x – y = 1 4(4 – y) – y = 1 16 – 4y – y = 1 16 – 5y = 1 –5y = 1 – 16 –5y = –15 y = 3

Sekarang, telah diperoleh persamaan dengan satu variabel. Penyelesaian persamaan ini adalah y = 3. Selanjutnya, substitusi nilai y ke persamaan (1) sehingga diperoleh nilai x = 1.

Metode Eliminasi

Metode ketiga yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode eliminasi. Kata eliminasi mempunyai arti menghilangkan. Sistem persamaan linear diselesaikan dengan cara menghilangkan salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan.

Misalkan diketahui sistem persamaan berikut.

2x + y = 7 ... (1) 3x – y = 8 ... (2)

maka diketahui bahwa persamaan: 2x + y – 7 + k(3x – y – 8) = 0 dengan k merupakan suatu bilangan real, merupakan persamaan garis yang melalui titik potong dua garis pertama. Persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut. 2x + y – 7 + 3kx – ky – 8k = 0 (2 + 3k)x + (1 – k)y – 7 – 8k = 0 ... (3)

Dengan memilih koefisien x sama dengan nol, yaitu: 2 + 3k = 0 atau k = −2/3 Jadi, persamaan (3) adalah sebagai berikut. (1 − (−2/3))y – 7 – 8(−2/3) = 0 Kalikan persamaan dengan 3, maka: (3 + 2)y – 21 + 16 = 0 5y – 5 = 0 Persamaan terakhir memberikan jawaban y = 1. Gantikan nilai y ke salah satu persamaan, misalkan pada persamaan pertama, maka: 2x + 1 = 7 2x = 6 yang memberikan jawaban x = 3.

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan cara lain sebagai berikut. 2x + y = 7 3x – y = 8 + 5x = 15 x = 3 Gantikan nilai x ke salah satu persamaan. Misalkan pada persamaan pertama, maka: 2 ∙ 3 + y = 7 6 + y = 7 y = 1 Penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah x = 3 dan y = 1.