Pemfaktoran

Pemfaktoran adalah proses mengubah suatu bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian dari faktor-faktor penyusunnya. Cara untuk melakukan pemfaktoran adalah dengan membalik proses perkalian, yaitu menggunakan sifat distributif ac + bc = (a + b)c.

Pemfaktoran Suku Empat

Misalkan terdapat bentuk aljabar suku empat.

ac – bc + 2a – 2b

Untuk memfaktorkan bentuk dengan empat suku, kelompokkan tiap dua suku yang memiliki faktor yang sama. Dalam hal ini ac dengan –bc serta 2a dan –2b. Jadi

ac – bc + 2a – 2b = c(a – b) + 2(a – b) = (c + 2)(a – b) = (a – b)(c + 2)

Terdapat pula metode lain, yaitu dengan menyusun ulang menjadi:

ac – bc + 2a – 2b = ac + 2a – bc – 2b = a(c + 2) – b(c + 2) = (a – b)(c + 2)

Kedua pengerjaan tersebut mempunyai hasil yang sama walaupun berbeda cara menyelesaikannya.

Pemfaktoran Suku Tiga

Pemfaktoran bentuk kuadrat suku tiga dapat dipahami melalui proses perkalian dua bentuk binomial. Sebagai contoh:

$(a+2)(a+1) = a^2+a+2a+2$ $= a^2+3a+2$

yang menghasilkan bentuk suku tiga. Koefisien suku a diperoleh dari hasil penjumlahan bilangan di ruas kiri, 2 + 1, dan bilangan terakhir (konstanta) diperoleh dari hasil perkalian bilangan di ruas kiri, 2 ∙ 1.

Jika diketahui $a^2+3a+2$, maka proses pemfaktoran dilakukan dengan mencari dua bilangan bulat c dan d yang memenuhi:

$a^2+3a+2 = (a+c)(a+d)$

sehingga jumlah c dan d adalah 3 dan hasil kali c dan d adalah 2. Pada umumnya, pencarian bilangan ini hanya dilakukan pada bilangan bulat saja.

Karena jumlah bilangan dan hasil kali bernilai positif, maka kedua bilangan tersebut merupakan bilangan positif yang masing-masing harus kurang dari 2. Dalam hal ini, 1 dan 2 adalah pasangan yang sesuai. Sehingga diperoleh hasil pemfaktoran:

$a^2+3a+2 = (a+1)(a+2)$ $= (a+2)(a+1)$

Bilangan tersebut merupakan faktor dari bilangan (konstanta) suku semula.

Pemfaktoran suku tiga untuk koefisien x² bernilai satu

Untuk bentuk aljabar seperti $a^2+a-2$, proses pemfaktoran dilakukan dengan mencari dua bilangan c dan d yang memenuhi:

$a^2+a-2 = (a+c)(a+d)$

sehingga jumlahnya 1 dan hasil kalinya sama dengan –2. Karena hasil kalinya bernilai negatif, maka kedua bilangan berbeda tanda. Diketahui faktor dari 2 adalah 1 dan 2, sehingga kemungkinan pasangan adalah

1 dan –2 atau –1 dan 2

Oleh karena jumlahnya positif, maka dipilih –1 dan 2. Jadi,

$a^2+a-2 = (a-1)(a+2)$

Hasil ini dapat diverifikasi dengan mengalikan kembali kedua faktor.

Pemfaktoran suku tiga untuk koefisien x² bernilai tidak satu

Pada bagian sebelumnya, pemfaktoran suku tiga dibahas untuk bentuk dengan koefisien $x^2 = 1$. Kali ini dibahas bentuk umum:

$ax^2 + bx + c$

koefisien dari $x^2$ tidak harus bernilai 1.

Dalam beberapa kasus dengan memfaktorkan a, cara tersebut dapat digunakan kembali. Sebagai contoh

$3x^2+9x+6 = 3(x^2+3x+2) = 3(x+2)(x+1)$

Untuk bentuk yang lebih umum, sebagai contoh akan diuraikan bentuk aljabar $3x^2+5x+2$. Hasil pemfaktoran yang mungkin adalah:

$3x^2+5x+2 = (3x+c)(x+d)$

Diketahui $(3x+c)(x+d) = 3x^2+(3d+c)x+(cd)$. Jadi hasil kali bilangan c dan d adalah 2. Karena hasil kali dan jumlah koefisien positif, maka bilangan yang dicari keduanya merupakan bilangan positif. Jadi, kemungkinannya adalah 1 dan 2. Akan tetapi, dengan meletakkan bilangan 1 dan 2, diperoleh

$(3x+1)(x+2) = 3x^2+7x+2$

Hasil tersebut tidak sama dengan pemfaktoran yang diinginkan. Selanjutnya, tukar letak bilangan 1 dan 2 sehingga diperoleh

$(3x+2)(x+1) = 3x^2+5x+2$

Hasil tersebut sesuai dengan pemfaktoran yang dicari. Jadi, $3x^2+5x+2 = (3x+2)(x+1)$.

Bentuk aljabar tersebut dapat difaktorkan dengan cara lain, yaitu dengan mengalikan bentuk aljabar $(3x^2+5x+2)$ dengan koefisien $x^2$ (yaitu 3), dan agar tidak mengubah bentuk maka juga dikalikan dengan inversnya, 1/3. Diperoleh

$3x^2+5x+2 = \dfrac{1}{3}(9x^2+15x+6)$ $= \dfrac{1}{3}(3x+c)(3x+d)$

Keuntungan bentuk terakhir adalah perlakuan yang sama antara kedua bilangan. Selanjutnya, harus mencari bilangan c dan d sehingga hasil kalinya sama dengan 6 dan 3 kali jumlahnya adalah 15, atau jumlahnya sama dengan 5.

Seperti kasus sebelumnya, diperoleh angka 2 dan 3. Dengan meletakkan kedua bilangan, sehingga

$3x^2+5x+2 = \dfrac{1}{3}(3x+3)(3x+2)$ $= \dfrac{1}{3} \cdot 3(x+1)(3x+2)$ $= (x+1)(3x+2)$

Hasil yang diperoleh sama dengan cara sebelumnya.

Angka hasil kali bilangan yang dicari, diperoleh dari perkalian antara koefisien $x^2$ dengan konstanta, yaitu 3 ∙ 2 = 6, sedangkan jumlah bilangan yang dicari diperoleh dari koefisien x seperti hasil awal, yaitu 5.