Penalaran Matematika — Paket 17

Jawaban: D. 5400 Penyelesaian: Langkah Penyelesaian: 1. Investasi Awal: - Saat investor mulai berinvestasi, dia menginvestasikan $200. Ini adalah jumlah awal atau investasi awal pada tahun ke-0. 2. Peningkatan Investasi Tahunan: - Investasi ini meningkat tiga kali lipat setiap tahun karena kinerja pasar yang luar biasa. Ini berarti pada akhir setiap tahun, jumlah investasi akan menjadi tiga kali jumlah di awal tahun tersebut. 3. Perhitungan Tahun demi Tahun: - Tahun ke-1: - Pada akhir tahun pertama, investasi awal $200 ditingkatkan menjadi tiga kali lipatnya. - Perhitungan: $200\times 3=600$ - Jadi, pada akhir tahun pertama, total investasi adalah $600. - Tahun ke-2: - Pada akhir tahun kedua, jumlah $600 dari tahun pertama ditingkatkan menjadi tiga kali lipatnya. - Perhitungan: $600\times 3=1,800$ - Oleh karena itu, pada akhir tahun kedua, total investasi menjadi $1,800. - Tahun ke-3: - Pada akhir tahun ketiga, jumlah $1,800 dari tahun kedua kembali ditingkatkan menjadi tiga kali lipatnya. - Perhitungan: $1,800\times 3=5,400$ - Sehingga, pada akhir tahun ketiga, total investasi menjadi $5,400.

Jawaban: D. 5400 Penyelesaian: Langkah Penyelesaian: 1. Investasi Awal: - Saat investor mulai berinvestasi, dia menginvestasikan $200. Ini adalah jumlah awal atau investasi awal pada tahun ke-0. 2. Peningkatan Investasi Tahunan: - Investasi ini meningkat tiga kali lipat setiap tahun karena kinerja pasar yang luar biasa. Ini berarti pada akhir setiap tahun, jumlah investasi akan menjadi tiga kali jumlah di awal tahun tersebut. 3. Perhitungan Tahun demi Tahun: - Tahun ke-1: - Pada akhir tahun pertama, investasi awal $200 ditingkatkan menjadi tiga kali lipatnya. - Perhitungan: $200\times 3=600$ - Jadi, pada akhir tahun pertama, total investasi adalah $600. - Tahun ke-2: - Pada akhir tahun kedua, jumlah $600 dari tahun pertama ditingkatkan menjadi tiga kali lipatnya. - Perhitungan: $600\times 3=1,800$ - Oleh karena itu, pada akhir tahun kedua, total investasi menjadi $1,800. - Tahun ke-3: - Pada akhir tahun ketiga, jumlah $1,800 dari tahun kedua kembali ditingkatkan menjadi tiga kali lipatnya. - Perhitungan: $1,800\times 3=5,400$ - Sehingga, pada akhir tahun ketiga, total investasi menjadi $5,400.

Jawaban yang benar: C. 128 Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus memanfaatkan sifat-sifat dari barisan geometri. Informasi yang diberikan adalah: 1. $u_1=y^{-3}$ 2. $u_4=y^3$ 3. $u_5=32$ Langkah Penyelesaian: 1. Menggunakan Sifat Barisan Geometri: Dalam barisan geometri, suku ke-$n$ diberikan oleh $u_n=u_1\cdot r^{(n-1)}$, di mana $r$ adalah rasio umum. 2. Menentukan Rasio ($r$): Karena $u_4=u_1\cdot r^3$ dan $u_4=y^3$, kita bisa mengatur persamaan: $y^3=y^{-3}\cdot r^3$ $r^3=y^6$ Dari sini, kita temukan bahwa $r=y^2$. 3. Menemukan Nilai $y$: Karena $u_5=u_1\cdot r^4$, maka: $u_5=y^{-3}\cdot (y^2{)}^4=y^{-3}\cdot y^8=y^5=32$ Dari persamaan ini, kita tahu: $y^5=32\Rightarrow y=2$ 4. Menghitung $u_6$: Dengan $y=2$ dan $r=y^2=4$, kita hitung $u_6$ sebagai: $u_6=u_1\cdot r^5=y^{-3}\cdot (y^2{)}^5=2^{-3}\cdot 2^{10}=2^7=128$ Jawaban: Nilai dari $u_6$ adalah $128$. Jawaban yang benar adalah C. 128.

Jawaban yang benar: C. 128 Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, kita harus memanfaatkan sifat-sifat dari barisan geometri. Informasi yang diberikan adalah: 1. $u_1=y^{-3}$ 2. $u_4=y^3$ 3. $u_5=32$ Langkah Penyelesaian: 1. Menggunakan Sifat Barisan Geometri: Dalam barisan geometri, suku ke-$n$ diberikan oleh $u_n=u_1\cdot r^{(n-1)}$, di mana $r$ adalah rasio umum. 2. Menentukan Rasio ($r$): Karena $u_4=u_1\cdot r^3$ dan $u_4=y^3$, kita bisa mengatur persamaan: $y^3=y^{-3}\cdot r^3$ $r^3=y^6$ Dari sini, kita temukan bahwa $r=y^2$. 3. Menemukan Nilai $y$: Karena $u_5=u_1\cdot r^4$, maka: $u_5=y^{-3}\cdot (y^2{)}^4=y^{-3}\cdot y^8=y^5=32$ Dari persamaan ini, kita tahu: $y^5=32\Rightarrow y=2$ 4. Menghitung $u_6$: Dengan $y=2$ dan $r=y^2=4$, kita hitung $u_6$ sebagai: $u_6=u_1\cdot r^5=y^{-3}\cdot (y^2{)}^5=2^{-3}\cdot 2^{10}=2^7=128$ Jawaban: Nilai dari $u_6$ adalah $128$. Jawaban yang benar adalah C. 128.

Jawaban yang benar: A. 32 Penyelesaian: 1. Menemukan Rasio ($r$): $u_4=u_2\cdot r^2$ $16=4\cdot r^2$ $r^2=4$ $r=2$ 2. Menggunakan $r$ untuk menghitung $u_5$: $u_5=u_4\cdot r$ $u_5=16\cdot 2=32$

Jawaban yang benar: A. 32 Penyelesaian: 1. Menemukan Rasio ($r$): $u_4=u_2\cdot r^2$ $16=4\cdot r^2$ $r^2=4$ $r=2$ 2. Menggunakan $r$ untuk menghitung $u_5$: $u_5=u_4\cdot r$ $u_5=16\cdot 2=32$

Jawaban yang benar: G. 729 Penyelesaian: 1. Menghitung Rasio ($r$): $u_3=u_1\cdot r^2$ $27=3\cdot r^2$ $r^2=9$ $r=3$ 2. Menghitung $u_6$: $u_6=u_3\cdot r^3$ $u_6=27\cdot 3^3$ $u_6=27\cdot 27=729$

Jawaban yang benar: E. 729 Penyelesaian: 1. Menghitung Rasio ($r$): $u_3=u_1\cdot r^2$ $27=3\cdot r^2$ $r^2=9$ $r=3$ 2. Menghitung $u_6$: $u_6=u_3\cdot r^3$ $u_6=27\cdot 3^3$ $u_6=27\cdot 27=729$

Jawaban: D. 3 Penyelesaian: 1. Menentukan Relasi Antara Suku-suku: Dalam barisan geometri dengan rasio $r$, suku-suku dapat diungkapkan sebagai: - $a=ar$ - $b=a{r}^2$ - $c=a{r}^3$ 2. Substitusi dan Penyederhanaan Persamaan: Mengganti $a$, $b$, dan $c$ ke dalam persamaan yang diberikan: $\frac{(ar)\cdot (a{r}^3)}{2(a{r}^2)+3}=1$ $\frac{a{r}^4}{2a{r}^2+3}=1$ $a{r}^4=2a{r}^2+3$ $a{r}^4-2a{r}^2-3=0$ 3. Menggunakan Substitusi untuk Menyelesaikan Persamaan: Misalkan $a{r}^2=x$, sehingga persamaannya menjadi: $x^2-2x-3=0$ Memfaktorkan persamaan kuadrat: $(x-3)(x+1)=0$ Solusi: - $x-3=0\Rightarrow x=3$ - $x+1=0\Rightarrow x=-1$ (tidak valid karena $b>0$) 4. Menentukan Nilai $b$: Karena $b=a{r}^2$ dan $a{r}^2=3$, maka: $b=3$

Jawaban: D. 3 Penyelesaian: 1. Menentukan Relasi Antara Suku-suku: Dalam barisan geometri dengan rasio $r$, suku-suku dapat diungkapkan sebagai: - $a=ar$ - $b=a{r}^2$ - $c=a{r}^3$ 2. Substitusi dan Penyederhanaan Persamaan: Mengganti $a$, $b$, dan $c$ ke dalam persamaan yang diberikan: $\frac{(ar)\cdot (a{r}^3)}{2(a{r}^2)+3}=1$ $\frac{a{r}^4}{2a{r}^2+3}=1$ $a{r}^4=2a{r}^2+3$ $a{r}^4-2a{r}^2-3=0$ 3. Menggunakan Substitusi untuk Menyelesaikan Persamaan: Misalkan $a{r}^2=x$, sehingga persamaannya menjadi: $x^2-2x-3=0$ Memfaktorkan persamaan kuadrat: $(x-3)(x+1)=0$ Solusi: - $x-3=0\Rightarrow x=3$ - $x+1=0\Rightarrow x=-1$ (tidak valid karena $b>0$) 4. Menentukan Nilai $b$: Karena $b=a{r}^2$ dan $a{r}^2=3$, maka: $b=3$

Jawaban yang benar: D. 8 Penyelesaian: 1. Menentukan Relasi Antara Suku-suku: Karena ini adalah barisan geometri dengan rasio $s$, maka: - $d=dr$ - $e=d{r}^2$ - $f=d{r}^3$ 2. Substitusi dan Penyederhanaan Persamaan: $\frac{(dr)\cdot (d{r}^3)}{3(d{r}^2)+4}=2$ $\frac{d{r}^4}{3d{r}^2+4}=2$ $d{r}^4=2(3d{r}^2+4)$ $d{r}^4=6d{r}^2+8$ $d{r}^4-6d{r}^2-8=0$ Misalkan $d{r}^2=y$, sehingga persamaannya menjadi: $y^2-6y-8=0$ Memfaktorkan persamaan kuadrat: $(y-8)(y+1)=0$ Solusi: - $y-8=0\Rightarrow y=8$ - $y+1=0\Rightarrow y=-1$ (tidak valid karena $e>0$) 3. Menentukan Nilai $e$: Karena $e=d{r}^2$ dan $d{r}^2=8$, maka: $e=8$

Jawaban yang benar: D. 8 Penyelesaian: 1. Menentukan Relasi Antara Suku-suku: Karena ini adalah barisan geometri dengan rasio $s$, maka: - $d=dr$ - $e=d{r}^2$ - $f=d{r}^3$ 2. Substitusi dan Penyederhanaan Persamaan: $\frac{(dr)\cdot (d{r}^3)}{3(d{r}^2)+4}=2$ $\frac{d{r}^4}{3d{r}^2+4}=2$ $d{r}^4=2(3d{r}^2+4)$ $d{r}^4=6d{r}^2+8$ $d{r}^4-6d{r}^2-8=0$ Misalkan $d{r}^2=y$, sehingga persamaannya menjadi: $y^2-6y-8=0$ Memfaktorkan persamaan kuadrat: $(y-8)(y+1)=0$ Solusi: - $y-8=0\Rightarrow y=8$ - $y+1=0\Rightarrow y=-1$ (tidak valid karena $e>0$) 3. Menentukan Nilai $e$: Karena $e=d{r}^2$ dan $d{r}^2=8$, maka: $e=8$

Jawaban yang benar: C. 6 Penyelesaian: 1.Menentukan Relasi Antara Suku-suku: Karena ini adalah barisan geometri dengan rasio $t$, maka: - $g=gt$ - $h=g{t}^2$ - $i=g{t}^3$ 2. Substitusi dan Penyederhanaan Persamaan: $\frac{(gt)\cdot (g{t}^3)}{5(g{t}^2)+6}=1$ $\frac{g{t}^4}{5g{t}^2+6}=1$ $g{t}^4=5g{t}^2+6$ $g{t}^4-5g{t}^2-6=0$ Misalkan $g{t}^2=z$, sehingga persamaannya menjadi: $z^2-5z-6=0$ Memfaktorkan persamaan kuadrat: $(z-6)(z+1)=0$ Solusi: - $z-6=0\Rightarrow z=6$ - $z+1=0\Rightarrow z=-1$ (tidak valid karena $h>0$) 3.Menentukan Nilai $h$: Karena $h=g{t}^2$ dan $g{t}^2=6$, maka: $h=6$

Jawaban yang benar: C. 6 Penyelesaian: 1.Menentukan Relasi Antara Suku-suku: Karena ini adalah barisan geometri dengan rasio $t$, maka: - $g=gt$ - $h=g{t}^2$ - $i=g{t}^3$ 2. Substitusi dan Penyederhanaan Persamaan: $\frac{(gt)\cdot (g{t}^3)}{5(g{t}^2)+6}=1$ $\frac{g{t}^4}{5g{t}^2+6}=1$ $g{t}^4=5g{t}^2+6$ $g{t}^4-5g{t}^2-6=0$ Misalkan $g{t}^2=z$, sehingga persamaannya menjadi: $z^2-5z-6=0$ Memfaktorkan persamaan kuadrat: $(z-6)(z+1)=0$ Solusi: - $z-6=0\Rightarrow z=6$ - $z+1=0\Rightarrow z=-1$ (tidak valid karena $h>0$) 3.Menentukan Nilai $h$: Karena $h=g{t}^2$ dan $g{t}^2=6$, maka: $h=6$

Jawaban yang benar: B. 5 Penyelesaian: 1. Menentukan Relasi Antara Suku-suku: Dalam barisan geometri dengan rasio $u$, suku-suku adalah: - $j=ju$ - $k=j{u}^2$ - $l=j{u}^3$ 2. Substitusi dan Penyederhanaan Persamaan: $\frac{(ju)\cdot (j{u}^3)}{4(j{u}^2)+5}=1$ $\frac{j{u}^4}{4j{u}^2+5}=1$ $j{u}^4=4j{u}^2+5$ $j{u}^4-4j{u}^2-5=0$ Misalkan $j{u}^2=m$, sehingga persamaannya menjadi: $m^2-4m-5=0$ Memfaktorkan persamaan kuadrat: $(m-5)(m+1)=0$ Solusi: - $m-5=0\Rightarrow m=5$ - $m+1=0\Rightarrow m=-1$ (tidak valid karena $k>0$) 3. Menentukan Nilai $k$: Karena $k=j{u}^2$ dan $j{u}^2=5$, maka: $k=5$

Jawaban yang benar: B. 5 Penyelesaian: 1. Menentukan Relasi Antara Suku-suku: Dalam barisan geometri dengan rasio $u$, suku-suku adalah: - $j=ju$ - $k=j{u}^2$ - $l=j{u}^3$ 2. Substitusi dan Penyederhanaan Persamaan: $\frac{(ju)\cdot (j{u}^3)}{4(j{u}^2)+5}=1$ $\frac{j{u}^4}{4j{u}^2+5}=1$ $j{u}^4=4j{u}^2+5$ $j{u}^4-4j{u}^2-5=0$ Misalkan $j{u}^2=m$, sehingga persamaannya menjadi: $m^2-4m-5=0$ Memfaktorkan persamaan kuadrat: $(m-5)(m+1)=0$ Solusi: - $m-5=0\Rightarrow m=5$ - $m+1=0\Rightarrow m=-1$ (tidak valid karena $k>0$) 3. Menentukan Nilai $k$: Karena $k=j{u}^2$ dan $j{u}^2=5$, maka: $k=5$

Jawaban: C. 416,25 km Pembahasan: Kecepatan kereta setiap jam menurun dengan rasio $r=\frac{3}{4}$. Kita gunakan barisan geometri untuk menghitung kecepatan setiap jam: - Jam Pertama: 180 km/jam - Jam Kedua: $180\times \frac{3}{4}=135$ km/jam - Jam Ketiga: $135\times \frac{3}{4}=101.25$ km/jam Total jarak: $Jara{k}_{total}=180+135+101.25=416.25\text{ km}$

Jawaban: C. 416,25 km Pembahasan: Kecepatan kereta setiap jam menurun dengan rasio $r=\frac{3}{4}$. Kita gunakan barisan geometri untuk menghitung kecepatan setiap jam: - Jam Pertama: 180 km/jam - Jam Kedua: $180\times \frac{3}{4}=135$ km/jam - Jam Ketiga: $135\times \frac{3}{4}=101.25$ km/jam Total jarak: $Jara{k}_{total}=180+135+101.25=416.25\text{ km}$

Jawaban: D. 50,28 m Pembahasan: Langkah Penyelesaian: 1. Ketinggian Awal (Jatuh Pertama kali): - Bola dijatuhkan dari ketinggian 15 meter. 2. Pantulan Pertama: - Bola memantul kembali ke tiga perlima dari ketinggian sebelumnya. $\text{Ketinggian pantulan 1}=15\times \frac{3}{5}=9\text{ meter}$ 3. Pantulan Kedua: - Bola memantul kembali ke tiga perlima dari ketinggian pantulan pertama. $\text{Ketinggian pantulan 2}=9\times \frac{3}{5}=5.4\text{ meter}$ 4. Pantulan Ketiga: - Bola memantul kembali ke tiga perlima dari ketinggian pantulan kedua. $\text{Ketinggian pantulan 3}=5.4\times \frac{3}{5}=3.24\text{ meter}$ Menghitung Total Jarak: - Turun pertama kali: 15 meter - Naik dan turun pantulan pertama: $9+9=18$ meter - Naik dan turun pantulan kedua: $5.4+5.4=10.8$ meter - Naik dan turun pantulan ketiga: $3.24+3.24=6.48$ meter $\text{Total Jarak}=15+18+10.8+6.48=50.28\text{ meter}$ Jawaban: Jadi, total jarak yang ditempuh bola hingga pantulan ketiga adalah 50.28 meter. Jawaban yang benar, berdasarkan perhitungan dan pilihan yang tersedia adalah D. 50,28 m.

Jawaban: D. 50,28 m Pembahasan: Langkah Penyelesaian: 1. Ketinggian Awal (Jatuh Pertama kali): - Bola dijatuhkan dari ketinggian 15 meter. 2. Pantulan Pertama: - Bola memantul kembali ke tiga perlima dari ketinggian sebelumnya. $\text{Ketinggian pantulan 1}=15\times \frac{3}{5}=9\text{ meter}$ 3. Pantulan Kedua: - Bola memantul kembali ke tiga perlima dari ketinggian pantulan pertama. $\text{Ketinggian pantulan 2}=9\times \frac{3}{5}=5.4\text{ meter}$ 4. Pantulan Ketiga: - Bola memantul kembali ke tiga perlima dari ketinggian pantulan kedua. $\text{Ketinggian pantulan 3}=5.4\times \frac{3}{5}=3.24\text{ meter}$ Menghitung Total Jarak: - Turun pertama kali: 15 meter - Naik dan turun pantulan pertama: $9+9=18$ meter - Naik dan turun pantulan kedua: $5.4+5.4=10.8$ meter - Naik dan turun pantulan ketiga: $3.24+3.24=6.48$ meter $\text{Total Jarak}=15+18+10.8+6.48=50.28\text{ meter}$ Jawaban: Jadi, total jarak yang ditempuh bola hingga pantulan ketiga adalah 50.28 meter. Jawaban yang benar, berdasarkan perhitungan dan pilihan yang tersedia adalah D. 50,28 m.