Penalaran Matematika — Paket 27

Jawaban: (E) $x<-1$ atau $x>4$ Penyelesaian: Langkah pertama dalam menyelesaikan pertidaksamaan ini adalah dengan menyederhanakan bentuknya: $36^{x+3}>6^{x^2+2}$ Mengingat bahwa $36=6^2$, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang sebagai: $(6^2{)}^{x+3}>6^{x^2+2}$ $6^{2x+6}>6^{x^2+2}$ Karena basisnya sama, kita dapat membandingkan eksponennya secara langsung: $2x+6>x^2+2$ Menyusun ulang dan mengatur ulang bentuknya menjadi: $0>x^2-2x-4$ Faktorkan persamaan kuadrat: $0>(x-4)(x+1)$ Dari faktorisasi di atas, kita tahu bahwa pertidaksamaan ini bernilai positif di luar interval akar-akarnya, yaitu ketika: $x<-1\text{atau}x>4$

Jawaban: (C) $2<x<3$ Penyelesaian: Langkah pertama dalam menyelesaikan pertidaksamaan ini adalah dengan memfaktorkan persamaan kuadratnya: $x^2-5x+6=0$ Kita faktorkan menjadi: $(x-2)(x-3)=0$ Pertidaksamaan kuadrat $x^2-5x+6<0$ akan bernilai negatif di antara akar-akarnya. Oleh karena itu, kita pertimbangkan tanda dari setiap faktor di interval yang dihasilkan dari akar-akarnya. Pertidaksamaan akan memiliki tanda sebagai berikut: 1. $x<2$ (negatif) 2. $2<x<3$ (positif) 3. $x>3$ (negatif) Maka pertidaksamaan $(x-2)(x-3)<0$ akan benar ketika $x$ berada di antara akar-akarnya, yaitu: $2<x<3$

Jawaban: (C) $2<x<3$ Penyelesaian: Langkah pertama dalam menyelesaikan pertidaksamaan ini adalah dengan memfaktorkan persamaan kuadratnya: $x^2-5x+6=0$ Kita faktorkan menjadi: $(x-2)(x-3)=0$ Pertidaksamaan kuadrat $x^2-5x+6<0$ akan bernilai negatif di antara akar-akarnya. Oleh karena itu, kita pertimbangkan tanda dari setiap faktor di interval yang dihasilkan dari akar-akarnya. Pertidaksamaan akan memiliki tanda sebagai berikut: 1. $x<2$ (negatif) 2. $2<x<3$ (positif) 3. $x>3$ (negatif) Maka pertidaksamaan $(x-2)(x-3)<0$ akan benar ketika $x$ berada di antara akar-akarnya, yaitu: $2<x<3$

Jawaban: A. $(-\infty ,2)\cup (3,\infty )$** Penyelesaian: Pertidaksamaan kuadrat $x^2-5x+6>0$ dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut: 1. Menyelesaikan persamaan kuadrat $x^2-5x+6=0$ untuk menemukan titik-titik kritisnya. $x^2-5x+6=0$ Faktorkan persamaan tersebut: $(x-2)(x-3)=0$ Jadi, solusi dari persamaan tersebut adalah $x=2$ dan $x=3$. 2. Menggunakan garis bilangan untuk menentukan interval dimana pertidaksamaan $x^2-5x+6>0$ berlaku. $x^2-5x+6>0$ Tentukan tanda dari pertidaksamaan pada interval-interval yang dibentuk oleh titik kritis $x=2$ dan $x=3$: - Untuk $x<2$, misalkan $x=1$: $(1-2)(1-3)=(-1)(-2)=2(\text{positif})$ - Untuk $2<x<3$, misalkan $x=2.5$: $(2.5-2)(2.5-3)=(0.5)(-0.5)=-0.25(\text{negatif})$ - Untuk $x>3$, misalkan $x=4$: $(4-2)(4-3)=(2)(1)=2(\text{positif})$ Jadi, pertidaksamaan $x^2-5x+6>0$ bernilai positif pada interval $x<2$ dan $x>3$. Maka, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^2-5x+6>0$ adalah: $(-\infty ,2)\cup (3,\infty )$

Jawaban: (A) $(f-g)(x)=\sqrt{2x^2+3}-x^2-3x-2$ Pembahasan: Untuk menemukan $(f-g)(x)$, kita harus mengurangi $g(x)$ dari $f(x)$: $(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{2x^2+3}-(x^2+3x+2)$ Langkah selanjutnya adalah menyederhanakan ekspresi ini: $(f-g)(x)=\sqrt{2x^2+3}-x^2-3x-2$

Jawaban: A. 13 Penyelesaian: Untuk fungsi $f(x)=ax+3$, kita dapat menentukan $f(f(x))$ sebagai berikut: $f(f(x))=f(ax+3)$ $f(f(x))=a(ax+3)+3$ $f(f(x))=a^{2}x+3a+3$ Diketahui bahwa $f(f(x))=4x+9$, sehingga: $a^{2}x+3a+3=4x+9$ Dari bentuk di atas, kita dapat menyamakan koefisien dari $x$ dan suku konstan: - Dari koefisien $x$: $a^2=4$ - Dari suku konstan: $3a+3=9$ Maka, $a^2=4$ memberikan $a=2$ atau $a=-2$. Selanjutnya, kita substitusi $a$ ke dalam persamaan suku konstan: $3a+3=9$ $3a=6$ $a=2$ Karena $a=2$ memenuhi kedua persamaan, kita gunakan nilai ini untuk menemukan $a^2+3a+3$: $a^2+3a+3=2^2+3(2)+3$ $=4+6+3$ $=13$

Jawaban: (D) 30 Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menentukan nilai $b$ dari fungsi $f(x)=bx+5$ yang diberikan dan kemudian substitusi nilai tersebut ke dalam ekspresi $b^2+5b+6$. Langkah-langkah Penyelesaian: 1. Mencari $f(f(x))$: Diketahui: $f(x)=bx+5$ Maka: $f(f(x))=f(bx+5)$ Substitusi $x$ pada $f(x)$ dengan $bx+5$: $f(bx+5)=b(bx+5)+5$ $=b^{2}x+5b+5$ Diketahui bahwa: $f(f(x))=5x+20$ Jadi, kita punya persamaan: $b^{2}x+5b+5=5x+20$ 2. Menentukan Nilai $b$: Dari persamaan di atas, kita dapat menyamakan koefisien $x$ dan konstanta: - Koefisien $x$: $b^2=5$ - Konstanta: $5b+5=20$ Menyelesaikan persamaan konstan: $5b+5=20$ $5b=15$ $b=3$ 3. Menghitung Ekspresi $b^2+5b+6$: Substitusi nilai $b=3$: $b^2+5b+6=3^2+5(3)+6$ $=9+15+6$ $=30$ Jawaban: Jadi, nilai $b^2+5b+6$ adalah 30. Jawaban yang benar adalah D. 30.

Jawaban: (E) 16 Penyelesaian: Untuk fungsi $f(x)=cx-2$, menentukan $f(f(x))$: $f(f(x))=f(cx-2)$ $f(f(x))=c(cx-2)-2$ $f(f(x))=c^{2}x-2c-2$ Diketahui $f(f(x))=10x-12$: $c^{2}x-2c-2=10x-12$ Dari sini, kita mendapatkan: - Koefisien $x$: $c^2=10$ - Suku konstan: $-2c-2=-12$ Menyelesaikan untuk $c$: $-2c=-10$ $c=5$ Menghitung $c^2-2c+1$: $c^2-2c+1=5^2-2\times 5+1$ $=25-10+1$ $=16$

Jawaban: D. 13 Penyelesaian: Untuk fungsi $f(x)=dx+1$, menentukan $f(f(x))$: $f(f(x))=f(dx+1)$ $f(f(x))=d(dx+1)+1$ $f(f(x))=d^{2}x+d+1$ Diketahui $f(f(x))=3x+4$: $d^{2}x+d+1=3x+4$ Dari sini, kita mendapatkan: - Koefisien $x$: $d^2=3$ - Suku konstan: $d+1=4$ Menyelesaikan untuk $d$: $d=3$ Menghitung $d^2+d+1$: $d^2+d+1=3^2+3+1$ $=9+3+1$ $=13$

Jawaban: (E) 52 Penyelesaian: Untuk menentukan $f(f(x))$, kita menghitung $f$ dari $f(x)$: $f(f(x))=f(ex+2)$ $f(f(x))=e(ex+2)+2$ $f(f(x))=e^{2}x+2e+2$ Diketahui bahwa $f(f(x))=6x+14$, sehingga: $e^{2}x+2e+2=6x+14$ Dari persamaan ini, kita mendapatkan: - Koefisien $x$: $e^2=6$ - Suku konstan: $2e+2=14$ Menyelesaikan untuk $e$ dari persamaan suku konstan: $2e+2=14$ $2e=12$ $e=6$ Menghitung $e^2+2e+4$ dengan nilai $e=6$: $e^2+2e+4=6^2+2\times 6+4$ $=36+12+4$ $=52$

Jawaban: (E) $f^{-1}(x)-4$ Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, kita memulai dengan persamaan yang diberikan: $g(x-2)=f(x+2)$ Dengan menetapkan $a=g(x-2)$, yang juga sama dengan $f(x+2)$, kita dapat menuliskan: $g(x-2)=a$ $f(x+2)=a$ Menerapkan invers pada kedua fungsi memberikan: $g^{-1}(a)=x-2$ $f^{-1}(a)=x+2$ Untuk mencari $g^{-1}(x)$, kita substitusi $a=x$ ke dalam persamaan $g^{-1}$: $g^{-1}(x)=x-2$ Sekarang, menggunakan $f^{-1}(a)=x+2$, kita substitusi kembali ke dalam $g^{-1}$: $f^{-1}(x)=x+2$ $f^{-1}(x)-4=x+2-4=x-2$ $f^{-1}(x)-4=g^{-1}(x)$ Jadi, kita mendapatkan bahwa $g^{-1}(x)=f^{-1}(x)-4$.

Jawaban: (E) $h^{-1}(x)-6$ Penyelesaian: Diberikan bahwa: $k(x-3)=h(x+3)$ Kita misalkan $a=k(x-3)$ dan $a=h(x+3)$, maka: $k^{-1}(a)=x-3$ $h^{-1}(a)=x+3$ Dengan substitusi $a=x$ ke dalam $k^{-1}$: $k^{-1}(x)=x-3$ Dengan menggunakan invers dari $h$: $h^{-1}(x)=x+3$ $h^{-1}(x)-6=x+3-6=x-3$ $k^{-1}(x)=h^{-1}(x)-6$

Jawaban: (C) $p^{-1}(x)-8$ Penyelesaian: Diketahui: $q(x-4)=p(x+4)$ Kita misalkan $b=q(x-4)$ dan $b=p(x+4)$, maka: $q^{-1}(b)=x-4$ $p^{-1}(b)=x+4$ Substitusi $b=x$ ke dalam $q^{-1}$: $q^{-1}(x)=x-4$ Menggunakan invers dari $p$: $p^{-1}(x)=x+4$ $p^{-1}(x)-8=x+4-8=x-4$ $q^{-1}(x)=p^{-1}(x)-8$

Jawaban: (A) $m^{-1}(x)-10$ Penyelesaian: Diketahui: $n(x-5)=m(x+5)$ Kita misalkan $c=n(x-5)$ dan $c=m(x+5)$, maka: $n^{-1}(c)=x-5$ $m^{-1}(c)=x+5$ Substitusi $c=x$ ke dalam $n^{-1}$: $n^{-1}(x)=x-5$ Menggunakan invers dari $m$: $m^{-1}(x)=x+5$ $m^{-1}(x)-10=x+5-10=x-5$ $n^{-1}(x)=m^{-1}(x)-10$

Jawaban: (B) 0 Penyelesaian: $f(x)=(x-3)(x+4)=x^2+4x-3x-12=x^2+x-12$ $g(x)=x^2+x-12$ $(f+g)(x)=(x^2+x-12)+(x^2+x-12)=2x^2+2x-24$ $(f+g)(3)=2(3{)}^2+2(3)-24=18+6-24=0$

Jawaban: (B) -6 Penyelesaian: $f(x)=(x-2)(x+3)=x^2+x-6$ $g(x)=x^2+2x+1$ $(f+g)(x)=(x^2+x-6)+(x^2+2x+1)=2x^2+3x-5$ $(f+g)(-1)=2(-1{)}^2+3(-1)-5=2-3-5=-6$

Jawaban: (C) 7 Penyelesaian: $f(x)=(x+5)(x-1)=x^2+4x-5$ $g(x)=x^2-5x+6$ $(f+g)(x)=(x^2+4x-5)+(x^2-5x+6)=2x^2-x+1$ $(f+g)(2)=2(2{)}^2-2+1=8-2+1=7$

Jawaban: (B) $2x^2+4x+3$ Penyelesaian: $f(g(x))=f(x^2+2x+1)$ $f(g(x))=2(x^2+2x+1)+1$ $f(g(x))=2x^2+4x+2+1$ $f(g(x))=2x^2+4x+3$

Jawaban yang Benar: (A) $4x^2-8x-1$ Penyelesaian: $f(g(x))=f(x^2-2x)$ $f(g(x))=4(x^2-2x)-1$ $f(g(x))=4x^2-8x-1$

Jawaban yang Benar: (A) $5x^2+15x+14$ Penyelesaian: $f(g(x))=f(x^2+3x+2)$ $f(g(x))=5(x^2+3x+2)+4$ $f(g(x))=5x^2+15x+10+4$ $f(g(x))=5x^2+15x+14$