Penalaran Matematika — Paket 29

Jawaban: D. 36 Penyelesaian: • Data dan Persamaan: $x_1+x_2+\cdots +x_{40}=400\text{ (40 siswa × rata-rata 10)}$ $4\times 11=44\text{ (4 siswa × nilai 11)}$ $400-44=356\text{ (total nilai dari siswa lain)}$ • Maksimalkan Siswa dengan Nilai Kurang dari 11: • Maksimum nilai yang bisa diambil oleh siswa lain adalah 10. $36\times 10=360$ • Karena 360 lebih besar dari 356, kita perlu siswa yang memperoleh nilai 8 (genap terdekat di bawah 10) untuk mengisi selisih. $36\times 10-356=4$ • Untuk mengurangi total 4 poin, 2 siswa harus memperoleh nilai 8. $356-2\times 8=340$ $\text{Sisa 34 siswa mendapat nilai 10}$ • Hitung Sisa Siswa: $34+2=36\text{ (siswa dengan nilai kurang dari 11)}$

Jawaban: D. 36 Penyelesaian: 1. Data dan Persamaan: $x_1+x_2+\cdots +x_{40}=400\text{ (40 siswa × rata-rata 10)}$ $4\times 11=44\text{ (4 siswa × nilai 11)}$ $400-44=356\text{ (total nilai dari siswa lain)}$ 2. Maksimalkan Siswa dengan Nilai Kurang dari 11: - Maksimum nilai yang bisa diambil oleh siswa lain adalah 10. $36\times 10=360$ - Karena 360 lebih besar dari 356, kita perlu siswa yang memperoleh nilai 8 (genap terdekat di bawah 10) untuk mengisi selisih. $36\times 10-356=4$ - Untuk mengurangi total 4 poin, 2 siswa harus memperoleh nilai 8. $356-2\times 8=340$ $\text{Sisa 34 siswa mendapat nilai 10}$ 3. Hitung Sisa Siswa: $34+2=36\text{ (siswa dengan nilai kurang dari 11)}$

Jawaban: D. 36 Penyelesaian: 1. Data dan Persamaan: $x_1+x_2+\cdots +x_{40}$ = 400 (40 siswa × rata-rata 10) 4 × 11 = 44 (4 siswa × nilai 11) $400-44=356\text{ (total nilai dari siswa lain)}$ 2. Maksimalkan Siswa dengan Nilai Kurang dari 11: - Maksimum nilai yang bisa diambil oleh siswa lain adalah 10. $36\times 10=360$ - Karena 360 lebih besar dari 356, kita perlu siswa yang memperoleh nilai 8 (genap terdekat di bawah 10) untuk mengisi selisih. $36\times 10-356=4$ - Untuk mengurangi total 4 poin, 2 siswa harus memperoleh nilai 8. $356-2\times 8=340$ $\text{Sisa 34 siswa mendapat nilai 10}$ 3. Hitung Sisa Siswa: $34+2=36\text{ (siswa dengan nilai kurang dari 11)}$

Jawaban: D. 44 Penyelesaian: • Data dan Persamaan: $x_1+x_2+\cdots +x_{50}=600\text{ (50 siswa × rata-rata 12)}$ $6\times 13=78\text{ (6 siswa × nilai 13)}$ $600-78=522\text{ (total nilai dari siswa lain)}$ • Maksimalkan Siswa dengan Nilai Kurang dari 13: • Maksimum nilai yang bisa diambil oleh siswa lain adalah 12. $44\times 12=528$ • Karena 528 lebih besar dari 522, kita perlu siswa yang memperoleh nilai 10 untuk mengisi selisih. $44\times 12-522=6$ • Untuk mengurangi total 6 poin, 3 siswa harus memperoleh nilai 10. $522-3\times 10=492$ $\text{Sisa 41 siswa mendapat nilai 12}$ • Hitung Sisa Siswa: $41+3=44\text{ (siswa dengan nilai kurang dari 13)}$

Jawaban: D. 44 Penyelesaian: 1. Data dan Persamaan: $x_1+x_2+\cdots +x_{50}=600\text{ (50 siswa × rata-rata 12)}$ $6\times 13=78\text{ (6 siswa × nilai 13)}$ $600-78=522\text{ (total nilai dari siswa lain)}$ 2. Maksimalkan Siswa dengan Nilai Kurang dari 13: - Maksimum nilai yang bisa diambil oleh siswa lain adalah 12. $44\times 12=528$ - Karena 528 lebih besar dari 522, kita perlu siswa yang memperoleh nilai 10 untuk mengisi selisih. $44\times 12-522=6$ - Untuk mengurangi total 6 poin, 3 siswa harus memperoleh nilai 10. $522-3\times 10=492$ $\text{Sisa 41 siswa mendapat nilai 12}$ 3. Hitung Sisa Siswa: $41+3=44\text{ (siswa dengan nilai kurang dari 13)}$

Jawaban: D. 44 Penyelesaian: 1. Data dan Persamaan: $x_1+x_2+\cdots +x_{50}$ = 600 (50 siswa × rata-rata 12) 6 × 13 = 78 (6 siswa × nilai 13) $600-78=522\text{ (total nilai dari siswa lain)}$ 2. Maksimalkan Siswa dengan Nilai Kurang dari 13: - Maksimum nilai yang bisa diambil oleh siswa lain adalah 12. $44\times 12=528$ - Karena 528 lebih besar dari 522, kita perlu siswa yang memperoleh nilai 10 untuk mengisi selisih. $44\times 12-522=6$ - Untuk mengurangi total 6 poin, 3 siswa harus memperoleh nilai 10. $522-3\times 10=492$ $\text{Sisa 41 siswa mendapat nilai 12}$ 3. Hitung Sisa Siswa: $41+3=44\text{ (siswa dengan nilai kurang dari 13)}$

Jawaban: C. 25 Penyelesaian: • Data dan Persamaan: $x_1+x_2+\cdots +x_{30}=180\text{ (30 siswa × rata-rata 6)}$ $5\times 9=45\text{ (5 siswa × nilai 9)}$ $180-45=135\text{ (total nilai dari siswa lain)}$ • Maksimalkan Siswa dengan Nilai Kurang dari 9: • Maksimum nilai yang bisa diambil oleh siswa lain adalah 8. $25\times 8=200$ • Karena 200 lebih besar dari 135, kita perlu siswa yang memperoleh nilai 4 (nilai genap terendah). $25\times 8-135=65$ • Untuk mengurangi total 65 poin, 16 siswa harus memperoleh nilai 4. $135-16\times 4=71$ $\text{Sisa 9 siswa mendapat nilai 8}$ • Hitung Sisa Siswa: $9+16=25\text{ (siswa dengan nilai kurang dari 9)}$

Jawaban: C. 25 Penyelesaian: 1. Data dan Persamaan: $x_1+x_2+\cdots +x_{30}=180\text{ (30 siswa × rata-rata 6)}$ $5\times 9=45\text{ (5 siswa × nilai 9)}$ $180-45=135\text{ (total nilai dari siswa lain)}$ 2. Maksimalkan Siswa dengan Nilai Kurang dari 9: - Maksimum nilai yang bisa diambil oleh siswa lain adalah 8. $25\times 8=200$ - Karena 200 lebih besar dari 135, kita perlu siswa yang memperoleh nilai 4 (nilai genap terendah). $25\times 8-135=65$ - Untuk mengurangi total 65 poin, 16 siswa harus memperoleh nilai 4. $135-16\times 4=71$ $\text{Sisa 9 siswa mendapat nilai 8}$ 3. Hitung Sisa Siswa: $9+16=25\text{ (siswa dengan nilai kurang dari 9)}$

Jawaban: C. 25 Penyelesaian: 1. Data dan Persamaan: $x_1+x_2+\cdots +x_{30}$ = 180 (30 siswa × rata-rata 6) 5 × 9 = 45 (5 siswa × nilai 9) $180-45=135\text{ (total nilai dari siswa lain)}$ 2. Maksimalkan Siswa dengan Nilai Kurang dari 9: - Maksimum nilai yang bisa diambil oleh siswa lain adalah 8. $25\times 8=200$ - Karena 200 lebih besar dari 135, kita perlu siswa yang memperoleh nilai 4 (nilai genap terendah). $25\times 8-135=65$ - Untuk mengurangi total 65 poin, 16 siswa harus memperoleh nilai 4. $135-16\times 4=71$ $\text{Sisa 9 siswa mendapat nilai 8}$ 3. Hitung Sisa Siswa: $9+16=25\text{ (siswa dengan nilai kurang dari 9)}$

Jawaban: D. 4 Penyelesaian: • Menyusun data: Susun nilai-nilai yang ada dari yang terkecil hingga terbesar: 5, 7, 8, 9, 10. • Menentukan Median: Dengan nilai keenam, $x$, kita harus menentukan median dari urutan nilai tergantung nilai $x$. • Jika $x\le 5$, median = 7. • Jika $5<x\le 7$, median = 8. • Jika $7<x\le 8$, median = $x$. • Jika $8<x\le 9$, median = 9. • Jika $9<x\le 10$, median = 9. • Jika $x>10$, median = 9. • Mencari Rata-rata: Rata-rata 6 nilai ujian harus kurang dari median. Total nilai awal adalah $5+7+8+9+10=39$. • Rata-rata: $\frac{39+x}{6}$ • Mengkondisikan Rata-rata dan Median: • $\frac{39+x}{6}<\text{Median}$ • Kita substitusi berbagai nilai $x$ yang memenuhi kondisi nilai asli ≤ 12 dan rata-rata < median untuk menemukan semua kemungkinan nilai $x$. • Evaluasi Kemungkinan Nilai $x$: • Untuk $x=4$, rata-rata menjadi $\frac{43}{6}\approx 7.17$, median = 7. • Untuk $x=6$, rata-rata menjadi $\frac{45}{6}=7.5$, median = 8. • Untuk $x=11$, rata-rata menjadi $\frac{50}{6}\approx 8.33$, median = 9. • Untuk $x=12$, rata-rata menjadi $\frac{51}{6}=8.5$, median = Jawaban: Ada 4 nilai yang memungkinkan untuk $x$ (4, 6, 11, dan 12), sehingga pilihan yang benar adalah D. 4.

Jawaban: D. 4 Penyelesaian: 1. Menyusun data: Susun nilai-nilai yang ada dari yang terkecil hingga terbesar: 5, 7, 8, 9, 10. 2. Menentukan Median: Dengan nilai keenam, $x$, kita harus menentukan median dari urutan nilai tergantung nilai $x$. - Jika $x\le 5$, median = 7. - Jika $5<x\le 7$, median = 8. - Jika $7<x\le 8$, median = $x$. - Jika $8<x\le 9$, median = 9. - Jika $9<x\le 10$, median = 9. - Jika $x>10$, median = 9. 3. Mencari Rata-rata: Rata-rata 6 nilai ujian harus kurang dari median. Total nilai awal adalah $5+7+8+9+10=39$. - Rata-rata: $\frac{39+x}{6}$ 4. Mengkondisikan Rata-rata dan Median: - $\frac{39+x}{6}<\text{Median}$ - Kita substitusi berbagai nilai $x$ yang memenuhi kondisi nilai asli ≤ 12 dan rata-rata < median untuk menemukan semua kemungkinan nilai $x$. 5. Evaluasi Kemungkinan Nilai $x$: - Untuk $x=4$, rata-rata menjadi $\frac{43}{6}\approx 7.17$, median = 7. - Untuk $x=6$, rata-rata menjadi $\frac{45}{6}=7.5$, median = 8. - Untuk $x=11$, rata-rata menjadi $\frac{50}{6}\approx 8.33$, median = 9. - Untuk $x=12$, rata-rata menjadi $\frac{51}{6}=8.5$, median = Jawaban: Ada 4 nilai yang memungkinkan untuk $x$ (4, 6, 11, dan 12), sehingga pilihan yang benar adalah D. 4.

Jawaban: A. 2 Penyelesaian: • Urutkan Nilai Ujian yang Ada: $4,6,8,10$ • Hitung Median Saat Ini: Median dari empat nilai ini adalah: $\text{Median}=\frac{6+8}{2}=7$ • Menentukan Nilai Ujian Terakhir: Misalkan nilai ujian terakhir adalah $x$. Nilai ini harus menurunkan rata-rata dan tidak boleh meningkatkan median menjadi lebih dari 7. • Hitung Rata-Rata dan Median dengan $x$: Untuk menjaga rata-rata di bawah 7, dan $x$ juga harus genap (tidak lebih dari 12): $\text{Total nilai}=4+6+8+10+x=28+x$ $\text{Rata-rata}=\frac{28+x}{5}$ $\frac{28+x}{5}<7$ $28+x<35$ $x<7$ Pilihan untuk $x$ adalah 2, 4, atau 6. • Cek Pilihan untuk $x$ dan Median Baru: • $x=2$ dan $x=4$ akan menjaga median di 6 (jika $x$ lebih kecil dari 6). • $x=6$ akan mengubah median menjadi 6 (nilai tengah dari 4, 6, 6, 8, 10). • Jawaban: Pilihan nilai $x=2$ memberikan kondisi yang paling menguntungkan dengan rata-rata yang paling rendah dan median yang tidak berubah.

Jawaban: A. 2 Penyelesaian: 1. Urutkan Nilai Ujian yang Ada: $4,6,8,10$ 2. Hitung Median Saat Ini: Median dari empat nilai ini adalah: $\text{Median}=\frac{6+8}{2}=7$ 3. Menentukan Nilai Ujian Terakhir: Misalkan nilai ujian terakhir adalah $x$. Nilai ini harus menurunkan rata-rata dan tidak boleh meningkatkan median menjadi lebih dari 7. 4. Hitung Rata-Rata dan Median dengan $x$: Untuk menjaga rata-rata di bawah 7, dan $x$ juga harus genap (tidak lebih dari 12): $\text{Total nilai}=4+6+8+10+x=28+x$ $\text{Rata-rata}=\frac{28+x}{5}$ $\frac{28+x}{5}<7$ $28+x<35$ $x<7$ Pilihan untuk $x$ adalah 2, 4, atau 6. 5. Cek Pilihan untuk $x$ dan Median Baru: - $x=2$ dan $x=4$ akan menjaga median di 6 (jika $x$ lebih kecil dari 6). - $x=6$ akan mengubah median menjadi 6 (nilai tengah dari 4, 6, 6, 8, 10). 6. Jawaban: Pilihan nilai $x=2$ memberikan kondisi yang paling menguntungkan dengan rata-rata yang paling rendah dan median yang tidak berubah.

Jawaban: $B.\frac{29}{3}$ Penyelesaian: • Penentuan Rata-Rata untuk Semua Siswa: $\frac{a+b+c+6+d+d+10}{7}=7$ $a+b+c+6+2d+10=49$ $a+b+c+2d=33$ • Penentuan Nilai dari Rata-rata Tiga Nilai Terendah: $\frac{a+b+c}{3}=\frac{14}{3}$ $a+b+c=14$ • Substitusi dan Penyelesaian untuk $d$: $14+2d=33$ $2d=19$ $d=9.5$ • Penentuan Rata-Rata Tiga Nilai Terbaik: Nilai tiga terbaik adalah $d,d,10$. $\frac{d+d+10}{3}=\frac{9.5+9.5+10}{3}=\frac{29}{3}$

Jawaban: $B.\frac{29}{3}$ Penyelesaian: 1. Penentuan Rata-Rata untuk Semua Siswa: $\frac{a+b+c+6+d+d+10}{7}=7$ $a+b+c+6+2d+10=49$ $a+b+c+2d=33$ 2. Penentuan Nilai dari Rata-rata Tiga Nilai Terendah: $\frac{a+b+c}{3}=\frac{14}{3}$ $a+b+c=14$ 3. Substitusi dan Penyelesaian untuk $d$: $14+2d=33$ $2d=19$ $d=9.5$ 4. Penentuan Rata-Rata Tiga Nilai Terbaik: Nilai tiga terbaik adalah $d,d,10$. $\frac{d+d+10}{3}=\frac{9.5+9.5+10}{3}=\frac{29}{3}$

Jawaban: $C.\frac{37}{3}$. Penyelesaian: • Penentuan Rata-Rata untuk Semua Siswa: $\frac{a+b+c+8+e+e+12}{7}=9$ $a+b+c+8+2e+12=63$ $a+b+c+2e=43$ • Penentuan Nilai dari Rata-rata Tiga Nilai Terendah: $\frac{a+b+c}{3}=\frac{18}{3}$ $a+b+c=18$ • Substitusi dan Penyelesaian untuk $e$: $18+2e=43$ $2e=25$ $e=12.5$ • Penentuan Rata-Rata Tiga Nilai Terbaik: Nilai tiga terbaik adalah $e,e,12$. $\frac{e+e+12}{3}=\frac{12.5+12.5+12}{3}=\frac{37}{3}$

Jawaban: $C.\frac{37}{3}$. Penyelesaian: 1. Penentuan Rata-Rata untuk Semua Siswa: $\frac{a+b+c+8+e+e+12}{7}=9$ $a+b+c+8+2e+12=63$ $a+b+c+2e=43$ 2. Penentuan Nilai dari Rata-rata Tiga Nilai Terendah: $\frac{a+b+c}{3}=\frac{18}{3}$ $a+b+c=18$ 3. Substitusi dan Penyelesaian untuk $e$: $18+2e=43$ $2e=25$ $e=12.5$ 4. Penentuan Rata-Rata Tiga Nilai Terbaik: Nilai tiga terbaik adalah $e,e,12$. $\frac{e+e+12}{3}=\frac{12.5+12.5+12}{3}=\frac{37}{3}$

Jawaban: $D.8$ Penyelesaian: • Penentuan Rata-Rata untuk Semua Siswa: $\frac{a+b+c+5+d+d+8}{7}=6$ $a+b+c+5+2d+8=42$ $a+b+c+2d=29$ • Penentuan Nilai dari Rata-rata Tiga Nilai Terendah: $\frac{a+b+c}{3}=\frac{13}{3}$ $a+b+c=13$ • Substitusi dan Penyelesaian untuk $d$: $13+2d=29$ $2d=16$ $d=8$ • Penentuan Rata-Rata Tiga Nilai Terbaik: Nilai tiga terbaik adalah $d,d,8$. $\frac{d+d+8}{3}=\frac{8+8+8}{3}=\frac{24}{3}=8$

Jawaban: $D.8$ Penyelesaian: 1. Penentuan Rata-Rata untuk Semua Siswa: $\frac{a+b+c+5+d+d+8}{7}=6$ $a+b+c+5+2d+8=42$ $a+b+c+2d=29$ 2. Penentuan Nilai dari Rata-rata Tiga Nilai Terendah: $\frac{a+b+c}{3}=\frac{13}{3}$ $a+b+c=13$ 3. Substitusi dan Penyelesaian untuk $d$: $13+2d=29$ $2d=16$ $d=8$ 4. Penentuan Rata-Rata Tiga Nilai Terbaik: Nilai tiga terbaik adalah $d,d,8$. $\frac{d+d+8}{3}=\frac{8+8+8}{3}=\frac{24}{3}=8$

Jawaban: $\text{(E) 81}$ Penyelesaian: • Hitung Nilai Rata-rata: • Total nilai seluruh peserta: $\sum (n\cdot f)=(5\times 11)+(6\times 21)+(7\times 49)+(8\times 23)+(9\times 16)$ $=55+126+343+184+144=852$ • Total jumlah peserta: $\sum f=11+21+49+23+16=120$ • Nilai rata-rata: $\bar{x}=\frac{852}{120}=7.1$ • Menentukan Banyaknya Peserta yang Tidak Lulus: • Peserta dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih tinggi dari 7.1. • Peserta yang nilainya ≤ 7: $\text{Frekuensi untuk nilai 5}=11$ $\text{Frekuensi untuk nilai 6}=21$ $\text{Frekuensi untuk nilai 7}=49$ • Total peserta yang tidak lulus: $11+21+49=81$