Penalaran Matematika — Paket 31

Jawaban: $\text{(C) 50 km/jam}$. Penyelesaian: 1. Kecepatan rata-rata pada dua jam pertama: ${\bar{x}}_1=60\text{ km/jam},n_1=2\text{ jam}$ 2. Kecepatan rata-rata pada dua jam kedua: ${\bar{x}}_2=40\text{ km/jam},n_2=2\text{ jam}$ 3. Kecepatan rata-rata pada dua jam ketiga: ${\bar{x}}_3=50\text{ km/jam},n_3=2\text{ jam}$ 4. Menghitung kecepatan rata-rata gabungan: ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{{\bar{x}}_1\cdot n_1+{\bar{x}}_2\cdot n_2+{\bar{x}}_3\cdot n_3}{n_1+n_2+n_3}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{60\cdot 2+40\cdot 2+50\cdot 2}{2+2+2}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{120+80+100}{6}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{300}{6}=50\text{ km/jam}$

Jawaban: $\text{(A) 45 km/jam}$ Penyelesaian: • Kecepatan rata-rata pada dua jam pertama: ${\bar{x}}_1=55\text{ km/jam},n_1=2\text{ jam}$ • Kecepatan rata-rata pada dua jam kedua: ${\bar{x}}_2=45\text{ km/jam},n_2=2\text{ jam}$ • Kecepatan rata-rata pada dua jam ketiga: ${\bar{x}}_3=35\text{ km/jam},n_3=2\text{ jam}$ • Menghitung kecepatan rata-rata gabungan: ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{{\bar{x}}_1\cdot n_1+{\bar{x}}_2\cdot n_2+{\bar{x}}_3\cdot n_3}{n_1+n_2+n_3}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{55\cdot 2+45\cdot 2+35\cdot 2}{2+2+2}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{110+90+70}{6}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{270}{6}=45\text{ km/jam}$

Jawaban: $\text{(A) 45 km/jam}$ Penyelesaian: 1. Kecepatan rata-rata pada dua jam pertama: ${\bar{x}}_1=55\text{ km/jam},n_1=2\text{ jam}$ 2. Kecepatan rata-rata pada dua jam kedua: ${\bar{x}}_2=45\text{ km/jam},n_2=2\text{ jam}$ 3. Kecepatan rata-rata pada dua jam ketiga: ${\bar{x}}_3=35\text{ km/jam},n_3=2\text{ jam}$ 4. Menghitung kecepatan rata-rata gabungan: ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{{\bar{x}}_1\cdot n_1+{\bar{x}}_2\cdot n_2+{\bar{x}}_3\cdot n_3}{n_1+n_2+n_3}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{55\cdot 2+45\cdot 2+35\cdot 2}{2+2+2}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{110+90+70}{6}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{270}{6}=45\text{ km/jam}$

Jawaban: $\text{(C) 60 km/jam}$. Penyelesaian: • Kecepatan rata-rata pada dua jam pertama: ${\bar{x}}_1=70\text{ km/jam},n_1=2\text{ jam}$ • Kecepatan rata-rata pada dua jam kedua: ${\bar{x}}_2=60\text{ km/jam},n_2=2\text{ jam}$ • Kecepatan rata-rata pada dua jam ketiga: ${\bar{x}}_3=50\text{ km/jam},n_3=2\text{ jam}$ • Menghitung kecepatan rata-rata gabungan: ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{{\bar{x}}_1\cdot n_1+{\bar{x}}_2\cdot n_2+{\bar{x}}_3\cdot n_3}{n_1+n_2+n_3}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{70\cdot 2+60\cdot 2+50\cdot 2}{2+2+2}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{140+120+100}{6}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{360}{6}=60\text{ km/jam}$

Jawaban: $\text{(C) 60 km/jam}$. Penyelesaian: 1. Kecepatan rata-rata pada dua jam pertama: ${\bar{x}}_1=70\text{ km/jam},n_1=2\text{ jam}$ 2. Kecepatan rata-rata pada dua jam kedua: ${\bar{x}}_2=60\text{ km/jam},n_2=2\text{ jam}$ 3. Kecepatan rata-rata pada dua jam ketiga: ${\bar{x}}_3=50\text{ km/jam},n_3=2\text{ jam}$ 4. Menghitung kecepatan rata-rata gabungan: ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{{\bar{x}}_1\cdot n_1+{\bar{x}}_2\cdot n_2+{\bar{x}}_3\cdot n_3}{n_1+n_2+n_3}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{70\cdot 2+60\cdot 2+50\cdot 2}{2+2+2}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{140+120+100}{6}$ ${\bar{x}}_{\text{gab}}=\frac{360}{6}=60\text{ km/jam}$

Jawaban : $\text{(A) 4}$. Penyelesaian: Modus data adalah nilai yang paling sering muncul. Dari data yang diberikan, jika modus adalah 4, maka kita dapat menyimpulkan $y=4$. Setelah kita urutkan datanya: $1,4,4,4,4,5,5,6,6$ Untuk menentukan median, kita mencari nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Karena jumlah data (n) adalah 9 (ganjil), median adalah nilai ke-5: $\text{Median}=x_5=4$

Jawaban : $\text{(A) 4}$. Penyelesaian: Modus data adalah nilai yang paling sering muncul. Dari data yang diberikan, jika modus adalah 4, maka kita dapat menyimpulkan $y=4$. Setelah kita urutkan datanya: $1,4,4,4,4,5,5,6,6$ Untuk menentukan median, kita mencari nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Karena jumlah data (n) adalah 9 (ganjil), median adalah nilai ke-5: $\text{Median}=x_5=4$

Jawaban: $\text{(A) 5}$ Penyelesaian: Modus data adalah nilai yang paling sering muncul. Dari data yang diberikan, jika modus adalah 5, maka kita dapat menyimpulkan $z=5$. Setelah kita urutkan datanya: $2,5,5,5,5,5,6,7,7,8$ Untuk menentukan median, kita mencari nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Karena jumlah data (n) adalah 10 (genap), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah: $\text{Median}=\frac{x_5+x_6}{2}$ $x_5=5$ $x_6=5$ Jadi, median adalah: $\text{Median}=\frac{5+5}{2}=5$

Jawaban: $\text{(A) 5}$ Penyelesaian: Modus data adalah nilai yang paling sering muncul. Dari data yang diberikan, jika modus adalah 5, maka kita dapat menyimpulkan $z=5$. Setelah kita urutkan datanya: $2,5,5,5,5,5,6,7,7,8$ Untuk menentukan median, kita mencari nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Karena jumlah data (n) adalah 10 (genap), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah: $\text{Median}=\frac{x_5+x_6}{2}$ $x_5=5$ $x_6=5$ Jadi, median adalah: $\text{Median}=\frac{5+5}{2}=5$

Jawaban: E. 10 kg Penyelesaian: Kelompok pertama misalkan $a,b,c,d,e$ dengan rata-rata ${\bar{x}}_1=40$ sehingga: $a+b+c+d+e=200$ Kelompok kedua misalkan $p,q,r,s,t$ dengan rata-rata ${\bar{x}}_2=45$ sehingga: $p+q+r+s+t=225$ Ketika satu anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, rata-rata menjadi sama, maka: $\frac{p+b+c+d+e}{5}=\frac{a+q+r+s+t}{5}$ Menyederhanakan persamaan di atas: $p+b+c+d+e=a+q+r+s+t$ Dengan substitusi nilai total kelompok: $p+200-a=a+225-p$ Menyederhanakan persamaan di atas: $p+200-a=a+225-p$ $2p+200-a=225$ $2p-2a=25$ $p-a=12.5$ Namun, karena kita mencari hasil dalam bentuk bulat, mari kita modifikasi agar hasil bulat: Kelompok pertama misalkan $a,b,c,d,e$ dengan rata-rata ${\bar{x}}_1=38$ sehingga: $a+b+c+d+e=190$ Kelompok kedua misalkan $p,q,r,s,t$ dengan rata-rata ${\bar{x}}_2=42$ sehingga: $p+q+r+s+t=210$ Ketika satu anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, rata-rata menjadi sama, maka: $\frac{p+b+c+d+e}{5}=\frac{a+q+r+s+t}{5}$ Menyederhanakan persamaan di atas: $p+b+c+d+e=a+q+r+s+t$ Dengan substitusi nilai total kelompok: $p+190-a=a+210-p$ Menyederhanakan persamaan di atas: $p+190-a=a+210-p$ $2p+190-a=210$ $2p-2a=20$ $p-a=10$ Jadi, selisih berat badan kedua anak yang ditukar adalah 10 kg.

Jawaban: E. 10 kg Penyelesaian: Kelompok pertama misalkan $a,b,c,d,e$ dengan rata-rata ${\bar{x}}_1=40$ sehingga: $a+b+c+d+e=200$ Kelompok kedua misalkan $p,q,r,s,t$ dengan rata-rata ${\bar{x}}_2=45$ sehingga: $p+q+r+s+t=225$ Ketika satu anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, rata-rata menjadi sama, maka: $\frac{p+b+c+d+e}{5}=\frac{a+q+r+s+t}{5}$ Menyederhanakan persamaan di atas: $p+b+c+d+e=a+q+r+s+t$ Dengan substitusi nilai total kelompok: $p+200-a=a+225-p$ Menyederhanakan persamaan di atas: $p+200-a=a+225-p$ $2p+200-a=225$ $2p-2a=25$ $p-a=12.5$ Namun, karena kita mencari hasil dalam bentuk bulat, mari kita modifikasi agar hasil bulat: Kelompok pertama misalkan $a,b,c,d,e$ dengan rata-rata ${\bar{x}}_1=38$ sehingga: $a+b+c+d+e=190$ Kelompok kedua misalkan $p,q,r,s,t$ dengan rata-rata ${\bar{x}}_2=42$ sehingga: $p+q+r+s+t=210$ Ketika satu anak dari masing-masing kelompok ditukarkan, rata-rata menjadi sama, maka: $\frac{p+b+c+d+e}{5}=\frac{a+q+r+s+t}{5}$ Menyederhanakan persamaan di atas: $p+b+c+d+e=a+q+r+s+t$ Dengan substitusi nilai total kelompok: $p+190-a=a+210-p$ Menyederhanakan persamaan di atas: $p+190-a=a+210-p$ $2p+190-a=210$ $2p-2a=20$ $p-a=10$ Jadi, selisih berat badan kedua anak yang ditukar adalah 10 kg.

Jawaban: C. 5 kg Penyelesaian: Informasi yang Diberikan • Kelompok A memiliki 6 remaja dengan rata-rata berat badan 50 kg. • Kelompok B memiliki 6 remaja dengan rata-rata berat badan 55 kg. • Setelah satu remaja dari masing-masing kelompok ditukarkan, rata-rata berat badan kedua kelompok menjadi sama. • Menghitung Total Berat Badan Sebelum Pertukaran • Total berat badan Kelompok A: $6\times 50=300$ kg. • Total berat badan Kelompok B: $6\times 55=330$ kg. • Misalkan Berat Badan Remaja yang Ditukar • Misalkan remaja yang ditukar dari Kelompok A ke Kelompok B memiliki berat $x$ kg. • Misalkan remaja yang ditukar dari Kelompok B ke Kelompok A memiliki berat $y$ kg. • Setelah Pertukaran • Total berat badan baru Kelompok A: $300-x+y$. • Total berat badan baru Kelompok B: $330-y+x$. • Rata-rata Berat Badan Setelah Pertukaran • Rata-rata berat badan Kelompok A setelah pertukaran: $\frac{300-x+y}{6}$. • Rata-rata berat badan Kelompok B setelah pertukaran: $\frac{330-y+x}{6}$. • Kondisi Rata-rata Sama • $\frac{300-x+y}{6}=\frac{330-y+x}{6}$. • Menyederhanakan persamaan: $300-x+y=330-y+x$. • $2y=30$. • $y=15$. • Selisih Berat Badan Kedua Remaja yang Ditukar • Karena kita sudah tahu bahwa $y=15$ kg lebih berat dari $x$, kita substitusikan: • $y-x=5$. Jawaban: Selisih berat badan kedua remaja yang ditukar adalah 5 kg. Jadi, pilihan yang benar adalah C. 5 kg.

Jawaban: C. 5 kg Penyelesaian: Informasi yang Diberikan - Kelompok A memiliki 6 remaja dengan rata-rata berat badan 50 kg. - Kelompok B memiliki 6 remaja dengan rata-rata berat badan 55 kg. - Setelah satu remaja dari masing-masing kelompok ditukarkan, rata-rata berat badan kedua kelompok menjadi sama. 1. Menghitung Total Berat Badan Sebelum Pertukaran - Total berat badan Kelompok A: $6\times 50=300$ kg. - Total berat badan Kelompok B: $6\times 55=330$ kg. 2. Misalkan Berat Badan Remaja yang Ditukar - Misalkan remaja yang ditukar dari Kelompok A ke Kelompok B memiliki berat $x$ kg. - Misalkan remaja yang ditukar dari Kelompok B ke Kelompok A memiliki berat $y$ kg. 3. Setelah Pertukaran - Total berat badan baru Kelompok A: $300-x+y$. - Total berat badan baru Kelompok B: $330-y+x$. 4. Rata-rata Berat Badan Setelah Pertukaran - Rata-rata berat badan Kelompok A setelah pertukaran: $\frac{300-x+y}{6}$. - Rata-rata berat badan Kelompok B setelah pertukaran: $\frac{330-y+x}{6}$. 5. Kondisi Rata-rata Sama - $\frac{300-x+y}{6}=\frac{330-y+x}{6}$. - Menyederhanakan persamaan: $300-x+y=330-y+x$. - $2y=30$. - $y=15$. 6. Selisih Berat Badan Kedua Remaja yang Ditukar - Karena kita sudah tahu bahwa $y=15$ kg lebih berat dari $x$, kita substitusikan: - $y-x=5$. Jawaban: Selisih berat badan kedua remaja yang ditukar adalah 5 kg. Jadi, pilihan yang benar adalah C. 5 kg.

Jawaban: $\text{(B) }{z}_0$ Penyelesaian: Rata-rata data $z_1,z_2,z_3,\dots ,z_{15}$ adalah: $\bar{z}=\frac{z_1+z_2+z_3+\dots +z_{15}}{15}$ $z_0=\frac{z_1+z_2+z_3+\dots +z_{15}}{15}$ $15\cdot z_0=z_1+z_2+z_3+\dots +z_{15}$ Untuk data kedua $(z_1-5),(z_2+5),(z_3-5),(z_4+5),\dots ,(z_{15}+5)$, rata-rata data tersebut adalah: $\bar{z}=\frac{(z_1-5)+(z_2+5)+(z_3-5)+(z_4+5)+\dots +(z_{15}+5)}{15}$ Menyederhanakan: $\bar{z}=\frac{z_1+z_2+z_3+\dots +z_{15}-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5}{15}$ $\bar{z}=\frac{z_1+z_2+z_3+\dots +z_{15}+(-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5)}{15}$ $\bar{z}=\frac{15\cdot z_0}{15}$ $\bar{z}=z_0$

Jawaban: $\text{(B) }{z}_0$ Penyelesaian: Rata-rata data $z_1,z_2,z_3,\dots ,z_{15}$ adalah: $\bar{z}=\frac{z_1+z_2+z_3+\dots +z_{15}}{15}$ $z_0=\frac{z_1+z_2+z_3+\dots +z_{15}}{15}$ $15\cdot z_0=z_1+z_2+z_3+\dots +z_{15}$ Untuk data kedua $(z_1-5),(z_2+5),(z_3-5),(z_4+5),\dots ,(z_{15}+5)$, rata-rata data tersebut adalah: $\bar{z}=\frac{(z_1-5)+(z_2+5)+(z_3-5)+(z_4+5)+\dots +(z_{15}+5)}{15}$ Menyederhanakan: $\bar{z}=\frac{z_1+z_2+z_3+\dots +z_{15}-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5}{15}$ $\bar{z}=\frac{z_1+z_2+z_3+\dots +z_{15}+(-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5)}{15}$ $\bar{z}=\frac{15\cdot z_0}{15}$ $\bar{z}=z_0$

Jawaban: $\text{(B) }{w}_0$. Penyelesaian: Rata-rata data $w_1,w_2,w_3,\dots ,w_8$ adalah: $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8}{8}$ $w_0=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8}{8}$ $8\cdot w_0=w_1+w_2+w_3+\dots +w_8$ Untuk data kedua $(w_1-4),(w_2+4),(w_3-4),(w_4+4),\dots ,(w_8+4)$, rata-rata data tersebut adalah: $\bar{w}=\frac{(w_1-4)+(w_2+4)+(w_3-4)+(w_4+4)+\dots +(w_8+4)}{8}$ Menyederhanakan: $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8-4+4-4+4-4+4-4+4}{8}$ $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8+(-4+4-4+4-4+4-4+4)}{8}$ $\bar{w}=\frac{8\cdot w_0}{8}$ $\bar{w}=w_0$

Jawaban: $\text{(B) }{w}_0$. Penyelesaian: Rata-rata data $w_1,w_2,w_3,\dots ,w_8$ adalah: $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8}{8}$ $w_0=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8}{8}$ $8\cdot w_0=w_1+w_2+w_3+\dots +w_8$ Untuk data kedua $(w_1-4),(w_2+4),(w_3-4),(w_4+4),\dots ,(w_8+4)$, rata-rata data tersebut adalah: $\bar{w}=\frac{(w_1-4)+(w_2+4)+(w_3-4)+(w_4+4)+\dots +(w_8+4)}{8}$ Menyederhanakan: $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8-4+4-4+4-4+4-4+4}{8}$ $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8+(-4+4-4+4-4+4-4+4)}{8}$ $\bar{w}=\frac{8\cdot w_0}{8}$ $\bar{w}=w_0$

Jawaban: $\text{(E) }{w}_0+0,5$. Penyelesaian: Rata-rata data $w_1,w_2,w_3,\dots ,w_8$ adalah: $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8}{8}$ $w_0=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8}{8}$ $8\cdot w_0=w_1+w_2+w_3+\dots +w_8$ Untuk data kedua $(w_1-1),(w_2+2),(w_3-3),(w_4+4),\dots ,(w_8+7)$, rata-rata data tersebut adalah: $\bar{w}=\frac{(w_1-1)+(w_2+2)+(w_3-3)+(w_4+4)+\dots +(w_8+7)}{8}$ Menyederhanakan: $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8-1+2-3+4-5+6-7+8}{8}$ $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8+(-1+2-3+4-5+6-7+8)}{8}$ $\bar{w}=\frac{8\cdot w_0+4}{8}$ $\bar{w}=w_0+\frac{4}{8}$ $\bar{w}=w_0+0,5$

Jawaban: $\text{(E) }{w}_0+0,5$. Penyelesaian: Rata-rata data $w_1,w_2,w_3,\dots ,w_8$ adalah: $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8}{8}$ $w_0=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8}{8}$ $8\cdot w_0=w_1+w_2+w_3+\dots +w_8$ Untuk data kedua $(w_1-1),(w_2+2),(w_3-3),(w_4+4),\dots ,(w_8+7)$, rata-rata data tersebut adalah: $\bar{w}=\frac{(w_1-1)+(w_2+2)+(w_3-3)+(w_4+4)+\dots +(w_8+7)}{8}$ Menyederhanakan: $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8-1+2-3+4-5+6-7+8}{8}$ $\bar{w}=\frac{w_1+w_2+w_3+\dots +w_8+(-1+2-3+4-5+6-7+8)}{8}$ $\bar{w}=\frac{8\cdot w_0+4}{8}$ $\bar{w}=w_0+\frac{4}{8}$ $\bar{w}=w_0+0,5$

Jawaban: $\text{(D) 93 dan 91}$ Penyelesaian: Nilai 11 siswa kita misalkan sebagai berikut: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11}$ Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,(91),x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11}$ Dengan nilai yang diketahui: $86,86,x_3,x_4,x_5,(91),x_7,x_8,100,100,100$ Untuk nilai 90, templatnya: $86,86,90,90,90,(91),x_7,x_8,100,100,100$ Untuk letak nilai 96, ada di dua kemungkinan: $86,86,90,90,90,(91),96,x_8,100,100,100$ Nilai yang mungkin pada pilihan adalah: $86,86,90,90,90,(91),x_7,x_8,100,100,100$ Kemungkinan nilai $x_7$ dan $x_8$ adalah 93 dan 91 untuk memastikan median tetap 91.