Penalaran Matematika — Paket 32

Jawaban: $\text{(D) 93 dan 91}$ Penyelesaian: Nilai 11 siswa kita misalkan sebagai berikut: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11}$ Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,(91),x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11}$ Dengan nilai yang diketahui: $86,86,x_3,x_4,x_5,(91),x_7,x_8,100,100,100$ Untuk nilai 90, templatnya: $86,86,90,90,90,(91),x_7,x_8,100,100,100$ Untuk letak nilai 96, ada di dua kemungkinan: $86,86,90,90,90,(91),96,x_8,100,100,100$ Nilai yang mungkin pada pilihan adalah: $86,86,90,90,90,(91),x_7,x_8,100,100,100$ Kemungkinan nilai $x_7$ dan $x_8$ adalah 93 dan 91 untuk memastikan median tetap 91.

Jawaban: $\text{(D) 75, 80, 85, 90, 70}$ Penyelesaian: Nilai 15 siswa kita misalkan sebagai berikut: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11},x_{12},x_{13},x_{14},x_{15}$ Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi: $70,70,70,70,x_5,x_6,x_7,x_8,80,x_{10},x_{11},x_{12},85,85,85,100,100$ Dengan nilai yang diketahui: $70,70,70,70,x_5,x_6,x_7,80,x_9,x_{10},x_{11},85,85,85,95,100,100$ Untuk nilai 85 dan median 80, templatnya: $70,70,70,70,75,75,80,85,85,85,85,95,100,100$ Nilai yang mungkin pada pilihan adalah: $70,70,70,70,75,75,(80),85,85,85,85,95,100,100$ Kemungkinan nilai $x_5,x_6,x_7,x_8,x_9$ adalah 75, 80, 85, 90, dan 70 untuk memastikan median tetap 80.

Jawaban: $\text{(D) 75, 80, 85, 90, 70}$ Penyelesaian: Nilai 15 siswa kita misalkan sebagai berikut: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11},x_{12},x_{13},x_{14},x_{15}$ Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi: $70,70,70,70,x_5,x_6,x_7,x_8,80,x_{10},x_{11},x_{12},85,85,85,100,100$ Dengan nilai yang diketahui: $70,70,70,70,x_5,x_6,x_7,80,x_9,x_{10},x_{11},85,85,85,95,100,100$ Untuk nilai 85 dan median 80, templatnya: $70,70,70,70,75,75,80,85,85,85,85,95,100,100$ Nilai yang mungkin pada pilihan adalah: $70,70,70,70,75,75,(80),85,85,85,85,95,100,100$ Kemungkinan nilai $x_5,x_6,x_7,x_8,x_9$ adalah 75, 80, 85, 90, dan 70 untuk memastikan median tetap 80.

Jawaban: Pilihan yang benar adalah $\text{(E) 76, 78, 77, 79, 80, 75}$ Penyelesaian: Nilai 13 siswa kita misalkan sebagai berikut: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11},x_{12},x_{13}$ Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi: $60,60,75,75,x_5,x_6,x_7,x_8,78,x_{10},x_{11},90,90,90$ Dengan nilai yang diketahui: $60,60,75,75,x_5,x_6,78,x_8,x_9,x_{10},x_{11},90,90,90$ Untuk median 78, templatnya: $60,60,75,75,76,77,78,79,80,81,90,90,90$ Nilai yang mungkin pada pilihan adalah: $60,60,75,75,76,77,(78),79,80,81,90,90,90$ Kemungkinan nilai $x_5,x_6,x_8,x_9,x_{10},x_{11}$ adalah 76, 77, 78, 79, 80, dan 81 untuk memastikan median tetap 78.

Jawaban: Pilihan yang benar adalah $\text{(E) 76, 78, 77, 79, 80, 75}$ Penyelesaian: Nilai 13 siswa kita misalkan sebagai berikut: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10},x_{11},x_{12},x_{13}$ Karena nilai sudah ada yang diketahui, menjadi: $60,60,75,75,x_5,x_6,x_7,x_8,78,x_{10},x_{11},90,90,90$ Dengan nilai yang diketahui: $60,60,75,75,x_5,x_6,78,x_8,x_9,x_{10},x_{11},90,90,90$ Untuk median 78, templatnya: $60,60,75,75,76,77,78,79,80,81,90,90,90$ Nilai yang mungkin pada pilihan adalah: $60,60,75,75,76,77,(78),79,80,81,90,90,90$ Kemungkinan nilai $x_5,x_6,x_8,x_9,x_{10},x_{11}$ adalah 76, 77, 78, 79, 80, dan 81 untuk memastikan median tetap 78. Pilihan yang benar adalah $\text{(E) 76, 78, 77, 79, 80, 75}$

Jawaban: Pilihan yang benar adalah $\text{(E) 85}$ Penyelesaian: Rata-rata nilai 30 siswa adalah: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_{30}}{30}$ $70=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_{30}}{30}$ $2100=x_1+x_2+x_3+\dots +x_{30}$ Untuk data kedua, rata-rata data adalah: $\bar{x}=\frac{(x_1+5)+(x_2+10)+\dots +(x_{15}+75)+(x_{16}-10)+\dots +(x_{30}-10)}{30}$ Menyederhanakan: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_{30}+5+10+\dots +75-10\cdot 15}{30}$ Menjumlahkan perubahan nilai: $5+10+15+20+25+30+35+40+45+50+55+60+65+70+75=600$ $10\cdot 15=150$ Sehingga: $\bar{x}=\frac{2100+600-150}{30}$ $\bar{x}=\frac{2550}{30}$ $\bar{x}=85$

Jawaban: Pilihan yang benar adalah $\text{(E) 85}$ Penyelesaian: Rata-rata nilai 30 siswa adalah: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_{30}}{30}$ $70=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_{30}}{30}$ $2100=x_1+x_2+x_3+\dots +x_{30}$ Untuk data kedua, rata-rata data adalah: $\bar{x}=\frac{(x_1+5)+(x_2+10)+\dots +(x_{15}+75)+(x_{16}-10)+\dots +(x_{30}-10)}{30}$ Menyederhanakan: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_{30}+5+10+\dots +75-10\cdot 15}{30}$ Menjumlahkan perubahan nilai: $5+10+15+20+25+30+35+40+45+50+55+60+65+70+75=600$ $10\cdot 15=150$ Sehingga: $\bar{x}=\frac{2100+600-150}{30}$ $\bar{x}=\frac{2550}{30}$ $\bar{x}=85$

Jawaban: E. 9,56 Penyelesaian: Informasi yang Diberikan • Rata-rata nilai ujian 25 siswa adalah 8. • Nilai 12 siswa pertama masing-masing ditambah 1, 2, 3, ..., 12. • Nilai 13 siswa berikutnya masing-masing dikurangi 3. • Menghitung Total Nilai Awal • Total nilai awal untuk 25 siswa: $\text{Total Nilai Awal}=25\times 8=200$ • Menghitung Penambahan Nilai untuk 12 Siswa Pertama • Penambahan nilai untuk 12 siswa pertama merupakan deret aritmatika: $1,2,3,\dots ,12$ • Jumlah deret aritmatika: $\text{Jumlah}=\frac{n}{2}\times (a+l)=\frac{12}{2}\times (1+12)=6\times 13=78$ • Menghitung Pengurangan Nilai untuk 13 Siswa Berikutnya • Total pengurangan untuk 13 siswa: $13\times 3=39$ • Menghitung Total Nilai Baru • Total nilai baru: $\text{Total Nilai Baru}=200+78-39=239$ • Menghitung Rata-rata Baru • Rata-rata nilai baru: $\text{Rata-rata Baru}=\frac{\text{Total Nilai Baru}}{\text{Jumlah Siswa}}=\frac{239}{25}=9.56$

Jawaban: E. 9,56 Penyelesaian: Informasi yang Diberikan - Rata-rata nilai ujian 25 siswa adalah 8. - Nilai 12 siswa pertama masing-masing ditambah 1, 2, 3, ..., 12. - Nilai 13 siswa berikutnya masing-masing dikurangi 3. 1. Menghitung Total Nilai Awal - Total nilai awal untuk 25 siswa: $\text{Total Nilai Awal}=25\times 8=200$ 2. Menghitung Penambahan Nilai untuk 12 Siswa Pertama - Penambahan nilai untuk 12 siswa pertama merupakan deret aritmatika: $1,2,3,\dots ,12$ - Jumlah deret aritmatika: $\text{Jumlah}=\frac{n}{2}\times (a+l)=\frac{12}{2}\times (1+12)=6\times 13=78$ 3. Menghitung Pengurangan Nilai untuk 13 Siswa Berikutnya - Total pengurangan untuk 13 siswa: $13\times 3=39$ 4. Menghitung Total Nilai Baru - Total nilai baru: $\text{Total Nilai Baru}=200+78-39=239$ 5. Menghitung Rata-rata Baru - Rata-rata nilai baru: $\text{Rata-rata Baru}=\frac{\text{Total Nilai Baru}}{\text{Jumlah Siswa}}=\frac{239}{25}=9.56$

Jawaban: A. 97,5 Penyelesaian: Informasi yang Diberikan • Rata-rata nilai ujian 40 siswa adalah 50. • Nilai 20 siswa pertama masing-masing ditambah 10, 20, 30, ..., 200. • Nilai 20 siswa berikutnya masing-masing dikurangi 10. • Menghitung Total Nilai Awal • Total nilai awal untuk 40 siswa: $\text{Total Nilai Awal}=40\times 50=2000$ • Menghitung Penambahan Nilai untuk 20 Siswa Pertama • Penambahan nilai untuk 20 siswa pertama merupakan deret aritmatika: $10,20,30,\dots ,200$ • Jumlah deret aritmatika: $\text{Jumlah}=\frac{n}{2}\times (a+l)=\frac{20}{2}\times (10+200)=10\times 210=2100$ • Menghitung Pengurangan Nilai untuk 20 Siswa Berikutnya • Total pengurangan untuk 20 siswa: $20\times 10=200$ • Menghitung Total Nilai Baru • Total nilai baru: $\text{Total Nilai Baru}=2000+2100-200=3900$ • Menghitung Rata-rata Baru • Rata-rata nilai baru: $\text{Rata-rata Baru}=\frac{\text{Total Nilai Baru}}{\text{Jumlah Siswa}}=\frac{3900}{40}=97.5$

Jawaban: A. 97,5 Penyelesaian: Informasi yang Diberikan - Rata-rata nilai ujian 40 siswa adalah 50. - Nilai 20 siswa pertama masing-masing ditambah 10, 20, 30, ..., 200. - Nilai 20 siswa berikutnya masing-masing dikurangi 10. 1. Menghitung Total Nilai Awal - Total nilai awal untuk 40 siswa: $\text{Total Nilai Awal}=40\times 50=2000$ 2. Menghitung Penambahan Nilai untuk 20 Siswa Pertama - Penambahan nilai untuk 20 siswa pertama merupakan deret aritmatika: $10,20,30,\dots ,200$ - Jumlah deret aritmatika: $\text{Jumlah}=\frac{n}{2}\times (a+l)=\frac{20}{2}\times (10+200)=10\times 210=2100$ 3. Menghitung Pengurangan Nilai untuk 20 Siswa Berikutnya - Total pengurangan untuk 20 siswa: $20\times 10=200$ 4. Menghitung Total Nilai Baru - Total nilai baru: $\text{Total Nilai Baru}=2000+2100-200=3900$ 5. Menghitung Rata-rata Baru - Rata-rata nilai baru: $\text{Rata-rata Baru}=\frac{\text{Total Nilai Baru}}{\text{Jumlah Siswa}}=\frac{3900}{40}=97.5$

Jawaban: Pilihan yang benar adalah $\text{(B) B, C, A}$. Penyelesaian: Untuk menentukan persentase kenaikan dana desa masing-masing desa, kita gunakan rumus persentase kenaikan: $\text{Persentase Kenaikan}=\left(\frac{\text{Dana 2020}-\text{Dana 2010}}{\text{Dana 2010}}\right)\times 100\%$ Desa A: $\text{Persentase Kenaikan A}=\left(\frac{\mathrm{880.000.000}-\mathrm{800.000.000}}{\mathrm{800.000.000}}\right)\times 100\%$ $=\left(\frac{\mathrm{80.000.000}}{\mathrm{800.000.000}}\right)\times 100\%$ $=10\%$ Desa B: $\text{Persentase Kenaikan B}=\left(\frac{\mathrm{690.000.000}-\mathrm{600.000.000}}{\mathrm{600.000.000}}\right)\times 100\%$ $=\left(\frac{\mathrm{90.000.000}}{\mathrm{600.000.000}}\right)\times 100\%$ $=15\%$ Desa C: $\text{Persentase Kenaikan C}=\left(\frac{\mathrm{345.000.000}-\mathrm{300.000.000}}{\mathrm{300.000.000}}\right)\times 100\%$ $=\left(\frac{\mathrm{45.000.000}}{\mathrm{300.000.000}}\right)\times 100\%$ $=15\%$ Urutan desa berdasarkan persentase kenaikan dari tertinggi ke terendah adalah: • Desa B: 15% • Desa C: 15% • Desa A: 10%

Jawaban: Pilihan yang benar adalah $\text{(B) B, C, A}$. Penyelesaian: Untuk menentukan persentase kenaikan dana desa masing-masing desa, kita gunakan rumus persentase kenaikan: $\text{Persentase Kenaikan}=\left(\frac{\text{Dana 2020}-\text{Dana 2010}}{\text{Dana 2010}}\right)\times 100\%$ Desa A: $\text{Persentase Kenaikan A}=\left(\frac{\mathrm{880.000.000}-\mathrm{800.000.000}}{\mathrm{800.000.000}}\right)\times 100\%$ $=\left(\frac{\mathrm{80.000.000}}{\mathrm{800.000.000}}\right)\times 100\%$ $=10\%$ Desa B: $\text{Persentase Kenaikan B}=\left(\frac{\mathrm{690.000.000}-\mathrm{600.000.000}}{\mathrm{600.000.000}}\right)\times 100\%$ $=\left(\frac{\mathrm{90.000.000}}{\mathrm{600.000.000}}\right)\times 100\%$ $=15\%$ Desa C: $\text{Persentase Kenaikan C}=\left(\frac{\mathrm{345.000.000}-\mathrm{300.000.000}}{\mathrm{300.000.000}}\right)\times 100\%$ $=\left(\frac{\mathrm{45.000.000}}{\mathrm{300.000.000}}\right)\times 100\%$ $=15\%$ Urutan desa berdasarkan persentase kenaikan dari tertinggi ke terendah adalah: 1. Desa B: 15% 2. Desa C: 15% 3. Desa A: 10%

Jawaban: $\text{(D) }\sqrt{10}$ Penyelesaian: Rata-rata nilai dari 4, 6, 4, 6, 10, 12, 10, 12 adalah: $\bar{x}=\frac{4+6+4+6+10+12+10+12}{8}$ $\bar{x}=\frac{64}{8}$ $\bar{x}=8$ Simpangan Baku atau Standard Deviation (s): $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$ Menghitung setiap selisih kuadrat: $s=\sqrt{\frac{(4-8{)}^2+(6-8{)}^2+(4-8{)}^2+(6-8{)}^2+(10-8{)}^2+(12-8{)}^2+(10-8{)}^2+(12-8{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{(-4{)}^2+(-2{)}^2+(-4{)}^2+(-2{)}^2+(2{)}^2+(4{)}^2+(2{)}^2+(4{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{16+4+16+4+4+16+4+16}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{80}{8}}$ $s=\sqrt{10}$

Jawaban: $\text{(D) }\sqrt{10}$ Penyelesaian: Rata-rata nilai dari 4, 6, 4, 6, 10, 12, 10, 12 adalah: $\bar{x}=\frac{4+6+4+6+10+12+10+12}{8}$ $\bar{x}=\frac{64}{8}$ $\bar{x}=8$ Simpangan Baku atau Standard Deviation (s): $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$ Menghitung setiap selisih kuadrat: $s=\sqrt{\frac{(4-8{)}^2+(6-8{)}^2+(4-8{)}^2+(6-8{)}^2+(10-8{)}^2+(12-8{)}^2+(10-8{)}^2+(12-8{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{(-4{)}^2+(-2{)}^2+(-4{)}^2+(-2{)}^2+(2{)}^2+(4{)}^2+(2{)}^2+(4{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{16+4+16+4+4+16+4+16}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{80}{8}}$ $s=\sqrt{10}$

Jawaban: $\text{(B) }2$ Penyelesaian: Rata-rata nilai dari 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8 adalah: $\bar{x}=\frac{4+4+4+4+8+8+8+8}{8}$ $\bar{x}=\frac{48}{8}$ $\bar{x}=6$ Simpangan Baku atau Standard Deviation (s): $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$ Menghitung setiap selisih kuadrat: $s=\sqrt{\frac{(4-6{)}^2+(4-6{)}^2+(4-6{)}^2+(4-6{)}^2+(8-6{)}^2+(8-6{)}^2+(8-6{)}^2+(8-6{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{(-2{)}^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2+(2{)}^2+(2{)}^2+(2{)}^2+(2{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{4+4+4+4+4+4+4+4}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{32}{8}}$ $s=\sqrt{4}$ $s=2$

Jawaban: $\text{(B) }2$ Penyelesaian: Rata-rata nilai dari 4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 8 adalah: $\bar{x}=\frac{4+4+4+4+8+8+8+8}{8}$ $\bar{x}=\frac{48}{8}$ $\bar{x}=6$ Simpangan Baku atau Standard Deviation (s): $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$ Menghitung setiap selisih kuadrat: $s=\sqrt{\frac{(4-6{)}^2+(4-6{)}^2+(4-6{)}^2+(4-6{)}^2+(8-6{)}^2+(8-6{)}^2+(8-6{)}^2+(8-6{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{(-2{)}^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2+(-2{)}^2+(2{)}^2+(2{)}^2+(2{)}^2+(2{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{4+4+4+4+4+4+4+4}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{32}{8}}$ $s=\sqrt{4}$ $s=2$

Jawaban: $\text{(C) }5$ Penyelesaian: Rata-rata nilai dari 5, 5, 5, 5, 15, 15, 15, 15 adalah: $\bar{x}=\frac{5+5+5+5+15+15+15+15}{8}$ $\bar{x}=\frac{80}{8}$ $\bar{x}=10$ Simpangan Baku atau Standard Deviation (s): $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$ Menghitung setiap selisih kuadrat: $s=\sqrt{\frac{(5-10{)}^2+(5-10{)}^2+(5-10{)}^2+(5-10{)}^2+(15-10{)}^2+(15-10{)}^2+(15-10{)}^2+(15-10{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{(-5{)}^2+(-5{)}^2+(-5{)}^2+(-5{)}^2+(5{)}^2+(5{)}^2+(5{)}^2+(5{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{25+25+25+25+25+25+25+25}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{200}{8}}$ $s=\sqrt{25}$ $s=5$

Jawaban: $\text{(C) }5$ Penyelesaian: Rata-rata nilai dari 5, 5, 5, 5, 15, 15, 15, 15 adalah: $\bar{x}=\frac{5+5+5+5+15+15+15+15}{8}$ $\bar{x}=\frac{80}{8}$ $\bar{x}=10$ Simpangan Baku atau Standard Deviation (s): $s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}$ Menghitung setiap selisih kuadrat: $s=\sqrt{\frac{(5-10{)}^2+(5-10{)}^2+(5-10{)}^2+(5-10{)}^2+(15-10{)}^2+(15-10{)}^2+(15-10{)}^2+(15-10{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{(-5{)}^2+(-5{)}^2+(-5{)}^2+(-5{)}^2+(5{)}^2+(5{)}^2+(5{)}^2+(5{)}^2}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{25+25+25+25+25+25+25+25}{8}}$ $s=\sqrt{\frac{200}{8}}$ $s=\sqrt{25}$ $s=5$

Jawaban: A. $R=8,H=4,Q_d=2$ Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung rentang data, rentang antar kuartil (H), dan simpangan kuartil ($Q_d$) dari data yang diberikan: 4, 6, 2, 9, 3, 5, 7, 1, 8, 5. Langkah-langkah Penyelesaian: • Mengurutkan Data Data yang diberikan diurutkan terlebih dahulu: $1,2,3,4,5,5,6,7,8,9$ • Menghitung Rentang Data (R) • Rentang data adalah selisih antara nilai maksimum dan minimum: $R=\text{Nilai Maksimum}-\text{Nilai Minimum}=9-1=8$ • Menghitung Kuartil • Jumlah data: 10 (genap) • Kuartil bawah (Q1) adalah nilai data ke-3 dan ke-4: $Q1=\frac{3+4}{2}=3.5$ • Kuartil atas (Q3) adalah nilai data ke-8 dan ke-9: $Q3=\frac{7+8}{2}=7.5$ • Menghitung Rentang Antar Kuartil (H) • Rentang antar kuartil adalah selisih antara Q3 dan Q1: $H=Q3-Q1=7.5-3.5=4$ • Menghitung Simpangan Kuartil ($Q_d$) • Simpangan kuartil adalah setengah dari rentang antar kuartil: $Q_d=\frac{H}{2}=\frac{4}{2}=2$