Penalaran Matematika — Paket 37

Jawaban: A. 8 × 9! Penyelesaian: • Banyak susunan baris untuk 10 orang dengan posisi tanpa syarat adalah: $10\times 9\times 8\times \cdots \times 1=10!$ • Banyak susunan baris untuk 10 orang dimana 2 orang Budi dan Cici harus berdekatan. Dengan menganggap Budi dan Cici adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "sembilan" dan saat posisi Budi dan Cici berdekatan ada dua posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi baris adalah: $9\times 8\times 7\times \cdots \times 1\times 2=9!\times 2$ • Banyak susunan baris untuk 10 orang dimana Budi dan Cici tidak berdekatan adalah banyak susunan baris posisi tanpa syarat dikurangi susunan baris dimana Budi dan Cici harus berdekatan yaitu: $10!-9!\times 2$ $=10\times 9!-9!\times 2$ $=9!\times (10-2)$ $=9!\times 8$

Jawaban: A. 8 × 9! Penyelesaian: 1. Banyak susunan baris untuk 10 orang dengan posisi tanpa syarat adalah: $10\times 9\times 8\times \cdots \times 1=10!$ 2. Banyak susunan baris untuk 10 orang dimana 2 orang Budi dan Cici harus berdekatan. Dengan menganggap Budi dan Cici adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "sembilan" dan saat posisi Budi dan Cici berdekatan ada dua posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi baris adalah: $9\times 8\times 7\times \cdots \times 1\times 2=9!\times 2$ 3. Banyak susunan baris untuk 10 orang dimana Budi dan Cici tidak berdekatan adalah banyak susunan baris posisi tanpa syarat dikurangi susunan baris dimana Budi dan Cici harus berdekatan yaitu: $10!-9!\times 2$ $=10\times 9!-9!\times 2$ $=9!\times (10-2)$ $=9!\times 8$

Jawaban: A. 6 × 7! Penyelesaian: • Banyak susunan baris untuk 8 orang dengan posisi tanpa syarat adalah: $8\times 7\times 6\times \cdots \times 1=8!$ • Banyak susunan baris untuk 8 orang dimana 2 orang Dewi dan Eko harus berdekatan. Dengan menganggap Dewi dan Eko adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "tujuh" dan saat posisi Dewi dan Eko berdekatan ada dua posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi baris adalah: $7\times 6\times 5\times \cdots \times 1\times 2=7!\times 2$ • Banyak susunan baris untuk 8 orang dimana Dewi dan Eko tidak berdekatan adalah banyak susunan baris posisi tanpa syarat dikurangi susunan baris dimana Dewi dan Eko harus berdekatan yaitu: $8!-7!\times 2$ $=8\times 7!-7!\times 2$ $=7!\times (8-2)$ $=7!\times 6$

Jawaban: A. 6 × 7! Penyelesaian: 1. Banyak susunan baris untuk 8 orang dengan posisi tanpa syarat adalah: $8\times 7\times 6\times \cdots \times 1=8!$ 2. Banyak susunan baris untuk 8 orang dimana 2 orang Dewi dan Eko harus berdekatan. Dengan menganggap Dewi dan Eko adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "tujuh" dan saat posisi Dewi dan Eko berdekatan ada dua posisi yang mungkin terjadi, sehingga banyak posisi baris adalah: $7\times 6\times 5\times \cdots \times 1\times 2=7!\times 2$ 3. Banyak susunan baris untuk 8 orang dimana Dewi dan Eko tidak berdekatan adalah banyak susunan baris posisi tanpa syarat dikurangi susunan baris dimana Dewi dan Eko harus berdekatan yaitu: $8!-7!\times 2$ $=8\times 7!-7!\times 2$ $=7!\times (8-2)$ $=7!\times 6$

Jawaban: D. 19 Penyelesaian: • Pilihan maskapai dari Kota X ke Kota Y: P, Q, R, S, T. • Pilihan maskapai dari Kota Y ke Kota Z, dengan syarat tidak menggunakan maskapai yang sama. - Jika memilih maskapai P (1 kemungkinan): - Pilihan ke Z: U, V, W (3 kemungkinan). - Jika memilih maskapai Q, R, S, T (4 kemungkinan): - Pilihan ke Z: P, U, V, W (4 kemungkinan untuk masing-masing). Total cara: - Untuk maskapai P: $1\times 3=3$ cara. - Untuk maskapai Q, R, S, T: $4\times 4=16$ cara. Jumlah total cara: $3+16=19$

Jawaban: D. 19 Penyelesaian: 1. Pilihan maskapai dari Kota X ke Kota Y: P, Q, R, S, T. 2. Pilihan maskapai dari Kota Y ke Kota Z, dengan syarat tidak menggunakan maskapai yang sama. - Jika memilih maskapai P (1 kemungkinan): - Pilihan ke Z: U, V, W (3 kemungkinan). - Jika memilih maskapai Q, R, S, T (4 kemungkinan): - Pilihan ke Z: P, U, V, W (4 kemungkinan untuk masing-masing). Total cara: - Untuk maskapai P: $1\times 3=3$ cara. - Untuk maskapai Q, R, S, T: $4\times 4=16$ cara. Jumlah total cara: $3+16=19$

Jawaban: D. 19 Penyelesaian: 1. Pilihan maskapai dari Kota X ke Kota Y: P, Q, R, S, T. 2. Pilihan maskapai dari Kota Y ke Kota Z, dengan syarat tidak menggunakan maskapai yang sama. - Jika memilih maskapai P (1 kemungkinan): - Pilihan ke Z: U, V, W (3 kemungkinan). - Jika memilih maskapai Q, R, S, T (4 kemungkinan): - Pilihan ke Z: P, U, V, W (4 kemungkinan untuk masing-masing). Total cara: - Untuk maskapai P: $1\times 3=3$ cara. - Untuk maskapai Q, R, S, T: $4\times 4=16$ cara. Jumlah total cara: $3+16=19$

Jawaban: E. 8 Penyelesaian: • Pilihan maskapai dari Kota A ke Kota B: J, K, L. • Pilihan maskapai dari Kota B ke Kota C, dengan syarat tidak menggunakan maskapai yang sama. - Jika memilih maskapai J (1 kemungkinan): - Pilihan ke C: M, N (2 kemungkinan). - Jika memilih maskapai K atau L (2 kemungkinan): - Pilihan ke C: J, M, N (3 kemungkinan untuk masing-masing). Total cara: - Untuk maskapai J: $1\times 2=2$ cara. - Untuk maskapai K dan L: $2\times 3=6$ cara. Jumlah total cara: $2+6=8$

Jawaban: E. 8 Penyelesaian: 1. Pilihan maskapai dari Kota A ke Kota B: J, K, L. 2. Pilihan maskapai dari Kota B ke Kota C, dengan syarat tidak menggunakan maskapai yang sama. - Jika memilih maskapai J (1 kemungkinan): - Pilihan ke C: M, N (2 kemungkinan). - Jika memilih maskapai K atau L (2 kemungkinan): - Pilihan ke C: J, M, N (3 kemungkinan untuk masing-masing). Total cara: - Untuk maskapai J: $1\times 2=2$ cara. - Untuk maskapai K dan L: $2\times 3=6$ cara. Jumlah total cara: $2+6=8$

Jawaban: E. 8 Penyelesaian: 1. Pilihan maskapai dari Kota A ke Kota B: J, K, L. 2. Pilihan maskapai dari Kota B ke Kota C, dengan syarat tidak menggunakan maskapai yang sama. - Jika memilih maskapai J (1 kemungkinan): - Pilihan ke C: M, N (2 kemungkinan). - Jika memilih maskapai K atau L (2 kemungkinan): - Pilihan ke C: J, M, N (3 kemungkinan untuk masing-masing). Total cara: - Untuk maskapai J: $1\times 2=2$ cara. - Untuk maskapai K dan L: $2\times 3=6$ cara. Jumlah total cara: $2+6=8$

Jawaban: C. 11 Penyelesaian: • Pilihan maskapai dari Kota P ke Kota Q: G, H, I, J. • Pilihan maskapai dari Kota Q ke Kota R, dengan syarat tidak menggunakan maskapai yang sama. - Jika memilih maskapai G (1 kemungkinan): - Pilihan ke R: K, L (2 kemungkinan). - Jika memilih maskapai H, I, atau J (3 kemungkinan): - Pilihan ke R: G, K, L (3 kemungkinan untuk masing-masing). Total cara: - Untuk maskapai G: $1\times 2=2$ cara. - Untuk maskapai H, I, J: $3\times 3=9$ cara. Jumlah total cara: $2+9=11$

Jawaban: C. 11 Penyelesaian: 1. Pilihan maskapai dari Kota P ke Kota Q: G, H, I, J. 2. Pilihan maskapai dari Kota Q ke Kota R, dengan syarat tidak menggunakan maskapai yang sama. - Jika memilih maskapai G (1 kemungkinan): - Pilihan ke R: K, L (2 kemungkinan). - Jika memilih maskapai H, I, atau J (3 kemungkinan): - Pilihan ke R: G, K, L (3 kemungkinan untuk masing-masing). Total cara: - Untuk maskapai G: $1\times 2=2$ cara. - Untuk maskapai H, I, J: $3\times 3=9$ cara. Jumlah total cara: $2+9=11$

Jawaban: C. 11 Penyelesaian: 1. Pilihan maskapai dari Kota P ke Kota Q: G, H, I, J. 2. Pilihan maskapai dari Kota Q ke Kota R, dengan syarat tidak menggunakan maskapai yang sama. - Jika memilih maskapai G (1 kemungkinan): - Pilihan ke R: K, L (2 kemungkinan). - Jika memilih maskapai H, I, atau J (3 kemungkinan): - Pilihan ke R: G, K, L (3 kemungkinan untuk masing-masing). Total cara: - Untuk maskapai G: $1\times 2=2$ cara. - Untuk maskapai H, I, J: $3\times 3=9$ cara. Jumlah total cara: $2+9=11$

Jawaban: A. 86 Penyelesaian: Diketahui: - Ada 5 bola dengan nomor 1, 2, 3, 4, dan 5. - Bola diambil sebanyak tiga kali dengan pengembalian. - Angka yang tercantum pada bola pertama menjadi angka ratusan, angka yang tercantum pada bola kedua menjadi angka puluhan, dan angka yang tercantum pada bola ketiga menjadi angka satuan. - Bilangan yang terbentuk harus lebih dari 234. Langkah Penyelesaian: • Jumlah Kombinasi Total: - Karena setiap bola bisa diambil dengan pengembalian, jumlah kombinasi total adalah $5\times 5\times 5=125$ kemungkinan. • Menentukan Kombinasi yang Memenuhi Syarat (Lebih dari 234): - Kasus 1: Jika angka ratusan = 3, 4, atau 5: - Bila angka ratusan adalah 3, 4, atau 5, maka bilangan yang terbentuk otomatis lebih dari 234 tanpa memerlukan syarat tambahan pada angka puluhan atau satuan. - Kombinasi untuk ratusan = 3, 4, atau 5 ada 3 angka. Jadi, jumlah kombinasi untuk setiap angka ratusan ini adalah: $3\times 5\times 5=75\text{ kombinasi}$ - Kasus 2: Jika angka ratusan = 2: - Bila angka ratusan adalah 2, maka kita perlu memastikan angka puluhan dan satuan membentuk angka yang lebih dari 34. - Jika angka puluhan = 4 atau 5, digit satuan bisa apa saja (5 kemungkinan untuk masing-masing). - Jika angka puluhan = 3, digit satuan harus lebih dari 4 (hanya satu pilihan yaitu 5). Perhitungan: - Puluhan = 4 atau 5 (2 digit) dengan masing-masing 5 satuan = $2\times 5=10$ kombinasi. - Puluhan = 3 dengan satuan hanya bisa 5 = 1 kombinasi. Jadi, total kombinasi untuk ratusan = 2 adalah: $10+1=11\text{ kombinasi}$ • Total kombinasi yang memenuhi syarat: - Menggabungkan semua kombinasi: $75+11=86\text{ kombinasi}$

Jawaban: A. 86 Penyelesaian: Diketahui: - Ada 5 bola dengan nomor 1, 2, 3, 4, dan 5. - Bola diambil sebanyak tiga kali dengan pengembalian. - Angka yang tercantum pada bola pertama menjadi angka ratusan, angka yang tercantum pada bola kedua menjadi angka puluhan, dan angka yang tercantum pada bola ketiga menjadi angka satuan. - Bilangan yang terbentuk harus lebih dari 234. Langkah Penyelesaian: 1. Jumlah Kombinasi Total: - Karena setiap bola bisa diambil dengan pengembalian, jumlah kombinasi total adalah $5\times 5\times 5=125$ kemungkinan. 2. Menentukan Kombinasi yang Memenuhi Syarat (Lebih dari 234): - Kasus 1: Jika angka ratusan = 3, 4, atau 5: - Bila angka ratusan adalah 3, 4, atau 5, maka bilangan yang terbentuk otomatis lebih dari 234 tanpa memerlukan syarat tambahan pada angka puluhan atau satuan. - Kombinasi untuk ratusan = 3, 4, atau 5 ada 3 angka. Jadi, jumlah kombinasi untuk setiap angka ratusan ini adalah: $3\times 5\times 5=75\text{ kombinasi}$ - Kasus 2: Jika angka ratusan = 2: - Bila angka ratusan adalah 2, maka kita perlu memastikan angka puluhan dan satuan membentuk angka yang lebih dari 34. - Jika angka puluhan = 4 atau 5, digit satuan bisa apa saja (5 kemungkinan untuk masing-masing). - Jika angka puluhan = 3, digit satuan harus lebih dari 4 (hanya satu pilihan yaitu 5). Perhitungan: - Puluhan = 4 atau 5 (2 digit) dengan masing-masing 5 satuan = $2\times 5=10$ kombinasi. - Puluhan = 3 dengan satuan hanya bisa 5 = 1 kombinasi. Jadi, total kombinasi untuk ratusan = 2 adalah: $10+1=11\text{ kombinasi}$ 3. Total kombinasi yang memenuhi syarat: - Menggabungkan semua kombinasi: $75+11=86\text{ kombinasi}$

Jawaban: A. 86 Penyelesaian: Diketahui: - Ada 5 bola dengan nomor 1, 2, 3, 4, dan 5. - Bola diambil sebanyak tiga kali dengan pengembalian. - Angka yang tercantum pada bola pertama menjadi angka ratusan, angka yang tercantum pada bola kedua menjadi angka puluhan, dan angka yang tercantum pada bola ketiga menjadi angka satuan. - Bilangan yang terbentuk harus lebih dari 234. Langkah Penyelesaian: 1. Jumlah Kombinasi Total: - Karena setiap bola bisa diambil dengan pengembalian, jumlah kombinasi total adalah $5\times 5\times 5=125$ kemungkinan. 2. Menentukan Kombinasi yang Memenuhi Syarat (Lebih dari 234): - Kasus 1: Jika angka ratusan = 3, 4, atau 5: - Bila angka ratusan adalah 3, 4, atau 5, maka bilangan yang terbentuk otomatis lebih dari 234 tanpa memerlukan syarat tambahan pada angka puluhan atau satuan. - Kombinasi untuk ratusan = 3, 4, atau 5 ada 3 angka. Jadi, jumlah kombinasi untuk setiap angka ratusan ini adalah: $3\times 5\times 5=75\text{ kombinasi}$ - Kasus 2: Jika angka ratusan = 2: - Bila angka ratusan adalah 2, maka kita perlu memastikan angka puluhan dan satuan membentuk angka yang lebih dari 34. - Jika angka puluhan = 4 atau 5, digit satuan bisa apa saja (5 kemungkinan untuk masing-masing). - Jika angka puluhan = 3, digit satuan harus lebih dari 4 (hanya satu pilihan yaitu 5). Perhitungan: - Puluhan = 4 atau 5 (2 digit) dengan masing-masing 5 satuan = $2\times 5=10$ kombinasi. - Puluhan = 3 dengan satuan hanya bisa 5 = 1 kombinasi. Jadi, total kombinasi untuk ratusan = 2 adalah: $10+1=11\text{ kombinasi}$ 3. Total kombinasi yang memenuhi syarat: - Menggabungkan semua kombinasi: $75+11=86\text{ kombinasi}$

Jawaban: A. 86 Penyelesaian: Diketahui: - Ada 5 bola dengan nomor 1, 2, 3, 4, dan 5. - Bola diambil sebanyak tiga kali dengan pengembalian. - Angka yang tercantum pada bola pertama menjadi angka ratusan, angka yang tercantum pada bola kedua menjadi angka puluhan, dan angka yang tercantum pada bola ketiga menjadi angka satuan. - Bilangan yang terbentuk harus lebih dari 234. Langkah Penyelesaian: 1. Jumlah Kombinasi Total: - Karena setiap bola bisa diambil dengan pengembalian, jumlah kombinasi total adalah $5\times 5\times 5=125$ kemungkinan. 2. Menentukan Kombinasi yang Memenuhi Syarat (Lebih dari 234): - Kasus 1: Jika angka ratusan = 3, 4, atau 5: - Bila angka ratusan adalah 3, 4, atau 5, maka bilangan yang terbentuk otomatis lebih dari 234 tanpa memerlukan syarat tambahan pada angka puluhan atau satuan. - Kombinasi untuk ratusan = 3, 4, atau 5 ada 3 angka. Jadi, jumlah kombinasi untuk setiap angka ratusan ini adalah: $3\times 5\times 5=75\text{ kombinasi}$ - Kasus 2: Jika angka ratusan = 2: - Bila angka ratusan adalah 2, maka kita perlu memastikan angka puluhan dan satuan membentuk angka yang lebih dari 34. - Jika angka puluhan = 4 atau 5, digit satuan bisa apa saja (5 kemungkinan untuk masing-masing). - Jika angka puluhan = 3, digit satuan harus lebih dari 4 (hanya satu pilihan yaitu 5). Perhitungan: - Puluhan = 4 atau 5 (2 digit) dengan masing-masing 5 satuan = $2\times 5=10$ kombinasi. - Puluhan = 3 dengan satuan hanya bisa 5 = 1 kombinasi. Jadi, total kombinasi untuk ratusan = 2 adalah: $10+1=11\text{ kombinasi}$ 3. Total kombinasi yang memenuhi syarat: - Menggabungkan semua kombinasi: $75+11=86\text{ kombinasi}$

Jawaban: B. 217 Penyelesaian: Diketahui: - Ada 7 bola dengan nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. - Bola diambil sebanyak tiga kali dengan pengembalian. - Angka yang tercantum pada bola pertama menjadi angka ratusan, angka yang tercantum pada bola kedua menjadi angka puluhan, dan angka yang tercantum pada bola ketiga menjadi angka satuan. - Bilangan yang terbentuk harus lebih dari 350. Langkah Penyelesaian: • Jumlah Kombinasi Total: Karena setiap bola bisa diambil dengan pengembalian, jumlah kombinasi total adalah $7\times 7\times 7=343$ kemungkinan. • Menentukan Kombinasi yang Memenuhi Syarat (Lebih dari 350):** - Kasus 1: Jika angka ratusan = 4, 5, 6, atau 7: - Bila angka ratusan adalah 4, 5, 6, atau 7, maka bilangan yang terbentuk otomatis lebih dari 350 tanpa memerlukan syarat tambahan pada angka puluhan atau satuan. - Kombinasi untuk ratusan = 4, 5, 6, atau 7 ada 4 angka. Jadi, jumlah kombinasi untuk setiap angka ratusan ini adalah $4\times 7\times 7=196$ kombinasi. - Kasus 2: Jika angka ratusan = 3: - Bila angka ratusan adalah 3, maka kita perlu memastikan angka puluhan dan satuan membentuk angka yang lebih dari 50. - Jika angka puluhan adalah 6 atau 7, maka digit satuan bisa apa saja (7 kemungkinan untuk masing-masing). - Jika angka puluhan adalah 5, maka digit satuan harus lebih besar dari 0 (yaitu ada 7 kemungkinan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7). - Total kombinasi untuk ratusan = 3 adalah $1\times 3\times 7=21$ kombinasi. Total kombinasi yang memenuhi syarat: $196+21=217$ kombinasi.

Jawaban: B. 217 Penyelesaian: Diketahui: - Ada 7 bola dengan nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. - Bola diambil sebanyak tiga kali dengan pengembalian. - Angka yang tercantum pada bola pertama menjadi angka ratusan, angka yang tercantum pada bola kedua menjadi angka puluhan, dan angka yang tercantum pada bola ketiga menjadi angka satuan. - Bilangan yang terbentuk harus lebih dari 350. Langkah Penyelesaian: 1. Jumlah Kombinasi Total: Karena setiap bola bisa diambil dengan pengembalian, jumlah kombinasi total adalah $7\times 7\times 7=343$ kemungkinan. 2. Menentukan Kombinasi yang Memenuhi Syarat (Lebih dari 350): - Kasus 1: Jika angka ratusan = 4, 5, 6, atau 7: - Bila angka ratusan adalah 4, 5, 6, atau 7, maka bilangan yang terbentuk otomatis lebih dari 350 tanpa memerlukan syarat tambahan pada angka puluhan atau satuan. - Kombinasi untuk ratusan = 4, 5, 6, atau 7 ada 4 angka. Jadi, jumlah kombinasi untuk setiap angka ratusan ini adalah $4\times 7\times 7=196$ kombinasi. - Kasus 2: Jika angka ratusan = 3: - Bila angka ratusan adalah 3, maka kita perlu memastikan angka puluhan dan satuan membentuk angka yang lebih dari 50. - Jika angka puluhan adalah 6 atau 7, maka digit satuan bisa apa saja (7 kemungkinan untuk masing-masing). - Jika angka puluhan adalah 5, maka digit satuan harus lebih besar dari 0 (yaitu ada 7 kemungkinan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7). - Total kombinasi untuk ratusan = 3 adalah $1\times 3\times 7=21$ kombinasi. Total kombinasi yang memenuhi syarat: $196+21=217$ kombinasi.

Jawaban: B. 217 Penyelesaian: Diketahui: - Ada 7 bola dengan nomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. - Bola diambil sebanyak tiga kali dengan pengembalian. - Angka yang tercantum pada bola pertama menjadi angka ratusan, angka yang tercantum pada bola kedua menjadi angka puluhan, dan angka yang tercantum pada bola ketiga menjadi angka satuan. - Bilangan yang terbentuk harus lebih dari 350. Langkah Penyelesaian: 1. Jumlah Kombinasi Total: Karena setiap bola bisa diambil dengan pengembalian, jumlah kombinasi total adalah $7\times 7\times 7=343$ kemungkinan. 2. Menentukan Kombinasi yang Memenuhi Syarat (Lebih dari 350): - Kasus 1: Jika angka ratusan = 4, 5, 6, atau 7: - Bila angka ratusan adalah 4, 5, 6, atau 7, maka bilangan yang terbentuk otomatis lebih dari 350 tanpa memerlukan syarat tambahan pada angka puluhan atau satuan. - Kombinasi untuk ratusan = 4, 5, 6, atau 7 ada 4 angka. Jadi, jumlah kombinasi untuk setiap angka ratusan ini adalah $4\times 7\times 7=196$ kombinasi. - Kasus 2: Jika angka ratusan = 3: - Bila angka ratusan adalah 3, maka kita perlu memastikan angka puluhan dan satuan membentuk angka yang lebih dari 50. - Jika angka puluhan adalah 6 atau 7, maka digit satuan bisa apa saja (7 kemungkinan untuk masing-masing). - Jika angka puluhan adalah 5, maka digit satuan harus lebih besar dari 0 (yaitu ada 7 kemungkinan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7). - Total kombinasi untuk ratusan = 3 adalah $1\times 3\times 7=21$ kombinasi. Total kombinasi yang memenuhi syarat: $196+21=217$ kombinasi.