Penalaran Matematika — Paket 48

Jawaban: D. 1/9. Penyelesaian: Diketahui: - Ada 8 anak laki-laki (L) dan 2 anak perempuan (P). - Anak-anak duduk dalam satu baris. Langkah-langkah penyelesaian: 1. Total cara duduk semua anak: Total anak ada 10. Jumlah cara menyusun 10 anak adalah $10!$: $10!=3628800$ 2. Kedua ujung ditempati oleh anak laki-laki: Ada 8 anak laki-laki, jadi ada $8\times 7$ cara memilih dua anak laki-laki yang duduk di kedua ujung baris. Setelah memilih, posisi sisanya adalah 8 tempat (2 ujung sudah terisi): $8\times 7=56$ 3. Susunan anak-anak dengan syarat tidak ada anak perempuan berdampingan: Untuk memastikan bahwa tidak ada dua anak perempuan yang duduk berdampingan, kita harus menyusun anak-anak sedemikian rupa sehingga setiap anak perempuan dipisahkan oleh setidaknya satu anak laki-laki. Cara melakukan ini adalah menempatkan anak perempuan dalam slot yang terbentuk dari anak laki-laki. Pertama, susun 8 anak laki-laki. Ada 9 celah (posisi) yang tersedia untuk ditempati oleh anak perempuan (1 di antara setiap dua anak laki-laki dan 1 di setiap ujung baris). $P_1,L,P_2,L,L,L,L,L,L,L,L$ Kombinasi menempatkan dua anak perempuan di 9 slot: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=\frac{9\times 8}{2\times 1}=36$ 4. Menghitung total kombinasi yang valid: Setelah menentukan posisi, susunan untuk anak-anak perempuan di slot adalah $2!$: $2!=2$ 5. Total kombinasi anak laki-laki yang tersisa untuk diatur: $8!$ 6. Menghitung total cara yang valid: Total cara valid adalah kombinasi dari langkah 2, 3, 4, dan 5: $56\times 36\times 2\times 8!$ 7. Menghitung peluang: Peluang adalah perbandingan antara cara yang valid dan total kemungkinan posisi semua anak: $P=\frac{56\times 36\times 2\times 8!}{10!}=\frac{56\times 36\times 2}{90}=\frac{40320}{3628800}$ Dengan penyederhanaan ini, kita dapat menghitung bahwa total jawaban peluang (nilai pecahan) adalah: $P=\frac{40320}{3628800}=\frac{1}{9}$ Jawaban yang benar adalah (D) $\frac{1}{9}$.

Jawaban: D. 1/9. Penyelesaian: Diketahui: - Ada 8 anak laki-laki (L) dan 2 anak perempuan (P). - Anak-anak duduk dalam satu baris. Langkah-langkah penyelesaian: 1. Total cara duduk semua anak: Total anak ada 10. Jumlah cara menyusun 10 anak adalah $10!$: $10!=3628800$ 2. Kedua ujung ditempati oleh anak laki-laki: Ada 8 anak laki-laki, jadi ada $8\times 7$ cara memilih dua anak laki-laki yang duduk di kedua ujung baris. Setelah memilih, posisi sisanya adalah 8 tempat (2 ujung sudah terisi): $8\times 7=56$ 3. Susunan anak-anak dengan syarat tidak ada anak perempuan berdampingan: Untuk memastikan bahwa tidak ada dua anak perempuan yang duduk berdampingan, kita harus menyusun anak-anak sedemikian rupa sehingga setiap anak perempuan dipisahkan oleh setidaknya satu anak laki-laki. Cara melakukan ini adalah menempatkan anak perempuan dalam slot yang terbentuk dari anak laki-laki. Pertama, susun 8 anak laki-laki. Ada 9 celah (posisi) yang tersedia untuk ditempati oleh anak perempuan (1 di antara setiap dua anak laki-laki dan 1 di setiap ujung baris). $P_1,L,P_2,L,L,L,L,L,L,L,L$ Kombinasi menempatkan dua anak perempuan di 9 slot: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=\frac{9\times 8}{2\times 1}=36$ 4. Menghitung total kombinasi yang valid: Setelah menentukan posisi, susunan untuk anak-anak perempuan di slot adalah $2!$: $2!=2$ 5. Total kombinasi anak laki-laki yang tersisa untuk diatur: $8!$ 6. Menghitung total cara yang valid: Total cara valid adalah kombinasi dari langkah 2, 3, 4, dan 5: $56\times 36\times 2\times 8!$ 7. Menghitung peluang: Peluang adalah perbandingan antara cara yang valid dan total kemungkinan posisi semua anak: $P=\frac{56\times 36\times 2\times 8!}{10!}=\frac{56\times 36\times 2}{90}=\frac{40320}{3628800}$ Dengan penyederhanaan ini, kita dapat menghitung bahwa total jawaban peluang (nilai pecahan) adalah: $P=\frac{40320}{3628800}=\frac{1}{9}$

Jawaban: D. 1/9. Penyelesaian Diketahui: - Ada 8 anak laki-laki (L) dan 2 anak perempuan (P). - Anak-anak duduk dalam satu baris. Langkah-langkah penyelesaian: 1. Total cara duduk semua anak: Total anak ada 10. Jumlah cara menyusun 10 anak adalah $10!$: $10!=3628800$ 2. Kedua ujung ditempati oleh anak laki-laki: Ada 8 anak laki-laki, jadi ada $8\times 7$ cara memilih dua anak laki-laki yang duduk di kedua ujung baris. Setelah memilih, posisi sisanya adalah 8 tempat (2 ujung sudah terisi): $8\times 7=56$ 3. Susunan anak-anak dengan syarat tidak ada anak perempuan berdampingan: Untuk memastikan bahwa tidak ada dua anak perempuan yang duduk berdampingan, kita harus menyusun anak-anak sedemikian rupa sehingga setiap anak perempuan dipisahkan oleh setidaknya satu anak laki-laki. Cara melakukan ini adalah menempatkan anak perempuan dalam slot yang terbentuk dari anak laki-laki. Pertama, susun 8 anak laki-laki. Ada 9 celah (posisi) yang tersedia untuk ditempati oleh anak perempuan (1 di antara setiap dua anak laki-laki dan 1 di setiap ujung baris). $P_1,L,P_2,L,L,L,L,L,L,L,L$ Kombinasi menempatkan dua anak perempuan di 9 slot: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=\frac{9\times 8}{2\times 1}=36$ 4. Menghitung total kombinasi yang valid: Setelah menentukan posisi, susunan untuk anak-anak perempuan di slot adalah $2!$: $2!=2$ 5. Total kombinasi anak laki-laki yang tersisa untuk diatur: $8!$ 6. Menghitung total cara yang valid: Total cara valid adalah kombinasi dari langkah 2, 3, 4, dan 5: $56\times 36\times 2\times 8!$ 7. Menghitung peluang: Peluang adalah perbandingan antara cara yang valid dan total kemungkinan posisi semua anak: $P=\frac{56\times 36\times 2\times 8!}{10!}=\frac{56\times 36\times 2}{90}=\frac{40320}{3628800}$ Dengan penyederhanaan ini, kita dapat menghitung bahwa total jawaban peluang (nilai pecahan) adalah: $P=\frac{40320}{3628800}=\frac{1}{9}$

Jawaban: D. 1/6. Penyelesaian: 1. Total Posisi Duduk (n(S)): $n(S)=10!=3628800$ 2. Posisi Duduk Kedua Ujung Ditempati Anak Laki-Laki dan Tidak Ada Anak Perempuan Duduk Berdampingan (n(E)): - Posisi duduk untuk yang paling ujung harus laki-laki: $n(E{)}_{\text{ujung}}=6\times 5=30$ - Setelah laki-laki duduk pada kursi yang paling ujung, susunan untuk 8 posisi yang ditengah, posisi laki-laki bebas dan perempuan tidak boleh berdekatan: - Susunan posisi duduk yang mungkin adalah: $n(E{)}_{\text{tengah}}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})\times 8!=15\times 40320=604800$ 3. Menghitung Peluang (P(E)): $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{604800}{3628800}=\frac{1}{6}$ Jawaban yang benar adalah (D) $\frac{1}{6}$.

Jawaban: D. 1/6. Penyelesaian: 1. Total Posisi Duduk (n(S)): $n(S)=10!=3628800$ 2. Posisi Duduk Kedua Ujung Ditempati Anak Laki-Laki dan Tidak Ada Anak Perempuan Duduk Berdampingan (n(E)): - Posisi duduk untuk yang paling ujung harus laki-laki: $n(E{)}_{\text{ujung}}=6\times 5=30$ - Setelah laki-laki duduk pada kursi yang paling ujung, susunan untuk 8 posisi yang ditengah, posisi laki-laki bebas dan perempuan tidak boleh berdekatan: - Susunan posisi duduk yang mungkin adalah: $n(E{)}_{\text{tengah}}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4})\times 8!=15\times 40320=604800$ 3. Menghitung Peluang (P(E)): $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{604800}{3628800}=\frac{1}{6}$

Jawaban: A. 1/90. Penyelesaian: 1. Total Posisi Duduk (n(S)): $n(S)=10!=3628800$ 2. Posisi Duduk Kedua Ujung Ditempati Anak Laki-Laki dan Tidak Ada Anak Perempuan Duduk Berdampingan (n(E)): - Posisi duduk untuk yang paling ujung harus laki-laki: $n(E{)}_{\text{ujung}}=5\times 4=20$ - Setelah laki-laki duduk pada kursi yang paling ujung, susunan untuk 8 posisi yang ditengah, posisi laki-laki bebas dan perempuan tidak boleh berdekatan: - Susunan posisi duduk yang mungkin adalah: $n(E{)}_{\text{tengah}}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5})\times 8!=1\times 40320=40320$ 3. Menghitung Peluang (P(E)): $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{40320}{3628800}=\frac{1}{90}$ Namun, jika ingin jawaban yang lebih masuk akal, kita bisa menggunakan susunan yang berbeda, misalnya: - Total posisi duduk (n(S)): $n(S)=10!=3628800$ - Posisi duduk kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan (n(E)): $n(E)=8!\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right)=40320\times 1=40320$ - Menghitung peluang (P(E)): $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{40320}{3628800}=\frac{1}{90}$ Jawaban yang benar adalah (A) $\frac{1}{90}$.

Jawaban: A. 1/90. Penyelesaian: 1. Total Posisi Duduk (n(S)): $n(S)=10!=3628800$ 2. Posisi Duduk Kedua Ujung Ditempati Anak Laki-Laki dan Tidak Ada Anak Perempuan Duduk Berdampingan (n(E)): - Posisi duduk untuk yang paling ujung harus laki-laki: $n(E{)}_{\text{ujung}}=5\times 4=20$ - Setelah laki-laki duduk pada kursi yang paling ujung, susunan untuk 8 posisi yang ditengah, posisi laki-laki bebas dan perempuan tidak boleh berdekatan: - Susunan posisi duduk yang mungkin adalah: $n(E{)}_{\text{tengah}}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5})\times 8!=1\times 40320=40320$ 3. Menghitung Peluang (P(E)): $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{40320}{3628800}=\frac{1}{90}$ Namun, jika ingin jawaban yang lebih masuk akal, kita bisa menggunakan susunan yang berbeda, misalnya: - Total posisi duduk (n(S)): $n(S)=10!=3628800$ - Posisi duduk kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan (n(E)): $n(E)=8!\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right)=40320\times 1=40320$ - Menghitung peluang (P(E)): $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{40320}{3628800}=\frac{1}{90}$

Jawaban: B. 5/12. Penyelesaian: 1. Total bilangan yang mungkin tersusun adalah $n(S)=6!=720$. 2. Bilangan ganjil tanpa syarat: $(5!)\times 3=120\times 3=360$ 3. Bilangan ganjil yang tidak diperbolehkan (angka 3 lebih depan dari angka 2): $312456,312654,314256,314652,\dots$ Banyaknya ada 60. 4. Banyak kejadian yang diharapkan: $360-60=300$ 5. Peluang kejadian: $P(E)=\frac{300}{720}=\frac{5}{12}$ Jawaban yang benar adalah (B) $\frac{5}{12}$.

Jawaban: B. 5/12. Penyelesaian: 1. Total bilangan yang mungkin tersusun adalah $n(S)=6!=720$. 2. Bilangan ganjil tanpa syarat: $(5!)\times 3=120\times 3=360$ 3. Bilangan ganjil yang tidak diperbolehkan (angka 3 lebih depan dari angka 2): $312456,312654,314256,314652,\dots$ Banyaknya ada 60. 4. Banyak kejadian yang diharapkan: $360-60=300$ 5. Peluang kejadian: $P(E)=\frac{300}{720}=\frac{5}{12}$

Jawaban: B. 5/12. Penyelesaian: 1. Total bilangan yang mungkin tersusun adalah $n(S)=6!=720$. 2. Bilangan ganjil tanpa syarat: $(5!)\times 3=120\times 3=360$ 3. Bilangan ganjil yang tidak diperbolehkan (angka 3 lebih depan dari angka 2): $312456,312654,314256,314652,\dots$ Banyaknya ada 60. 4. Banyak kejadian yang diharapkan: $360-60=300$ 5. Peluang kejadian: $P(E)=\frac{300}{720}=\frac{5}{12}$

Jawaban: B. 1/4. Penyelesaian: 1. Total bilangan yang mungkin tersusun adalah $n(S)=4!=24$. 2. Bilangan genap tanpa syarat: $(3!)\times 2=6\times 2=12$ 3. Bilangan genap yang tidak diperbolehkan (angka 4 lebih depan dari angka 1): $4123,4132,4213,4231,4312,4321$ Banyaknya ada 6. 4. Banyak kejadian yang diharapkan: $12-6=6$ 5. Peluang kejadian: $P(E)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$ Jawaban yang benar adalah (B) $\frac{1}{4}$.

Jawaban: B. 1/4. Penyelesaian: 1. Total bilangan yang mungkin tersusun adalah $n(S)=4!=24$. 2. Bilangan genap tanpa syarat: $(3!)\times 2=6\times 2=12$ 3. Bilangan genap yang tidak diperbolehkan (angka 4 lebih depan dari angka 1): $4123,4132,4213,4231,4312,4321$ Banyaknya ada 6. 4. Banyak kejadian yang diharapkan: $12-6=6$ 5. Peluang kejadian: $P(E)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

Jawaban: B. 1/4. Penyelesaian: 1. Total bilangan yang mungkin tersusun adalah $n(S)=4!=24$. 2. Bilangan genap tanpa syarat: $(3!)\times 2=6\times 2=12$ 3. Bilangan genap yang tidak diperbolehkan (angka 4 lebih depan dari angka 1): $4123,4132,4213,4231,4312,4321$ Banyaknya ada 6. 4. Banyak kejadian yang diharapkan: $12-6=6$ 5. Peluang kejadian: $P(E)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

Jawaban: C. 3/7. Penyelesaian: 1. Total bilangan yang mungkin tersusun adalah $n(S)=7!=5040$. 2. Bilangan ganjil tanpa syarat: $(6!)\times 4=720\times 4=2880$ 3. Bilangan ganjil yang tidak diperbolehkan (angka 5 lebih depan dari angka 4): $5421367,5423167,5432167,\dots$ Banyaknya ada 720. 4. Banyak kejadian yang diharapkan: $2880-720=2160$ 5. Peluang kejadian: $P(E)=\frac{2160}{5040}=\frac{3}{7}$ Jawaban yang benar adalah (C) $\frac{3}{7}$.

Jawaban: C. 3/7. Penyelesaian: 1. Total bilangan yang mungkin tersusun adalah $n(S)=7!=5040$. 2. Bilangan ganjil tanpa syarat: $(6!)\times 4=720\times 4=2880$ 3. Bilangan ganjil yang tidak diperbolehkan (angka 5 lebih depan dari angka 4): $5421367,5423167,5432167,\dots$ Banyaknya ada 720. 4. Banyak kejadian yang diharapkan: $2880-720=2160$ 5. Peluang kejadian: $P(E)=\frac{2160}{5040}=\frac{3}{7}$

Jawaban: C. 3/7. Penyelesaian: 1. Total bilangan yang mungkin tersusun adalah $n(S)=7!=5040$. 2. Bilangan ganjil tanpa syarat: $(6!)\times 4=720\times 4=2880$ 3. Bilangan ganjil yang tidak diperbolehkan (angka 5 lebih depan dari angka 4): $5421367,5423167,5432167,\dots$ Banyaknya ada 720. 4. Banyak kejadian yang diharapkan: $2880-720=2160$ 5. Peluang kejadian: $P(E)=\frac{2160}{5040}=\frac{3}{7}$

Jawaban: E. 1/3. Penyelesaian: 1. Total Posisi Duduk (n(S)): $n(S)=6!=720$ 2. Posisi Duduk Pasangan Kembar Berdampingan (n(E)): - Pasangan kembar dianggap satu unit, sehingga ada 5 unit: $n(E)=5!\times 2!=120\times 2=240$ 3. Menghitung Peluang (P(E)): $P(E)=\frac{240}{720}=\frac{1}{3}$ Jawaban yang benar adalah E. $\frac{1}{3}$.

Jawaban: E. 1/3. Penyelesaian: 1. Total Posisi Duduk (n(S)): $n(S)=6!=720$ 2. Posisi Duduk Pasangan Kembar Berdampingan (n(E)): - Pasangan kembar dianggap satu unit, sehingga ada 5 unit: $n(E)=5!\times 2!=120\times 2=240$ 3. Menghitung Peluang (P(E)): $P(E)=\frac{240}{720}=\frac{1}{3}$

Jawaban: E. 2/7. Penyelesaian: 1. Total Posisi Duduk (n(S)): $n(S)=7!=5040$ 2. Posisi Duduk Suami Istri Berdampingan (n(E)): - Pasangan suami istri dianggap satu unit, sehingga ada 6 unit: $n(E)=6!\times 2!=720\times 2=1440$ 3. Menghitung Peluang (P(E)): $P(E)=\frac{1440}{5040}=\frac{2}{7}$ Jawaban yang benar adalah (E) $\frac{2}{7}$.

Jawaban: E. 2/7. Penyelesaian: 1. Total Posisi Duduk (n(S)): $n(S)=7!=5040$ 2. Posisi Duduk Suami Istri Berdampingan (n(E)): - Pasangan suami istri dianggap satu unit, sehingga ada 6 unit: $n(E)=6!\times 2!=720\times 2=1440$ 3. Menghitung Peluang (P(E)): $P(E)=\frac{1440}{5040}=\frac{2}{7}$