Pengetahuan Kuantitatif — Paket 12

Penyelesaian: • Diketahui: - Jumlah bola merah: 60 - Jumlah bola kuning: 25 - Jumlah bola hijau: $x$ - Peluang terambilnya bola hijau: $\frac{5}{9}$ • Jumlah total bola dalam kotak: $60+25+x=85+x$ • Peluang terambilnya bola hijau adalah: $\frac{x}{85+x}=\frac{5}{9}$ • Kalikan silang: $9x=5(85+x)$ $9x=425+5x$ $9x-5x=425$ $4x=425$ $x=\frac{425}{4}=106.25$ • Diketahui bahwa: - $P=106.25$ - $Q=75$ • Jawaban yang benar adalah A. P > Q

Penyelesaian: • Diketahui: - Jumlah bola merah: 50 - Jumlah bola kuning: 30 - Jumlah bola hijau: $x$ - Peluang terambilnya bola hijau: $\frac{7}{20}$ • Jumlah total bola dalam kotak: $50+30+x=80+x$ • Peluang terambilnya bola hijau adalah: $\frac{x}{80+x}=\frac{7}{20}$ • Kalikan silang: $20x=7(80+x)$ $20x=560+7x$ $20x-7x=560$ $13x=560$ $x=\frac{560}{13}\approx 43.08$ • Diketahui bahwa: - $P=43.08$ - $Q=35$ • Jawaban yang benar adalah A. P > Q

Penyelesaian: • Untuk membentuk bilangan 5 digit dengan syarat angka 1 muncul 2 kali, kita perlu menentukan kombinasi posisi angka 1, kemudian mengisi posisi sisanya dengan angka 3, 5, dan 7. • Menentukan posisi angka 1 yang muncul 2 kali: • Pilih 2 posisi dari 5 posisi untuk angka 1. Ini bisa dilakukan dengan kombinasi: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$ • Mengisi posisi sisanya dengan angka 3, 5, dan 7: • Setelah menempatkan dua angka 1, kita memiliki 3 posisi tersisa yang harus diisi oleh angka 3, 5, dan 7. Jumlah cara mengatur 3 angka dalam 3 posisi adalah: $3!=3\times 2\times 1=6$ • Menghitung total kombinasi: • Total jumlah bilangan yang mungkin dibentuk adalah hasil kali dari dua langkah di atas: $10\times 6=60$ • Jadi, jumlah bilangan 5 digit yang mungkin dibentuk adalah 60. • Jawaban yang benar adalah B. 60

Penyelesaian: • Menentukan posisi angka 2 yang muncul 3 kali: • Pilih 3 posisi dari 6 posisi untuk angka 2. Ini bisa dilakukan dengan kombinasi: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$ • Mengisi posisi sisanya dengan angka 4, 6, dan 8: • Setelah menempatkan tiga angka 2, kita memiliki 3 posisi tersisa yang harus diisi oleh angka 4, 6, dan 8. Jumlah cara mengatur 3 angka dalam 3 posisi adalah: $3!=3\times 2\times 1=6$ • Menghitung total kombinasi: • Total jumlah bilangan yang mungkin dibentuk adalah hasil kali dari dua langkah di atas: $20\times 6=120$ • Jadi, jumlah bilangan 6 digit yang mungkin dibentuk adalah 120. • Jawaban yang benar adalah B. 120

Penyelesaian: • Menentukan posisi angka 3 yang muncul 2 kali: • Pilih 2 posisi dari 5 posisi untuk angka 3. Ini bisa dilakukan dengan kombinasi: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$ • Mengisi posisi sisanya dengan angka 1, 5, 7, dan 9: • Setelah menempatkan dua angka 3, kita memiliki 3 posisi tersisa yang harus diisi oleh angka 1, 5, 7, dan 9. Jumlah cara mengatur 3 angka dalam 3 posisi adalah: $4!=4\times 3\times 2\times 1=24$ • Menghitung total kombinasi: • Total jumlah bilangan yang mungkin dibentuk adalah hasil kali dari dua langkah di atas: $10\times 24=240$ • Jadi, jumlah bilangan 5 digit yang mungkin dibentuk adalah 240. • Jawaban yang benar adalah C. 240

Penyelesaian: • Untuk menentukan kotak yang memberikan peluang paling besar untuk terambilnya 2 kelereng hitam dalam satu kali pengambilan, kita harus menghitung peluang terambilnya 2 kelereng hitam untuk setiap opsi yang diberikan. • Opsi A: • Terdapat 1 kelereng merah pada 3 kelereng yang ada. • Jadi, ada 2 kelereng hitam dan 1 kelereng merah. • Peluang terambilnya 2 kelereng hitam: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}=\frac{1\times 1}{3}=\frac{1}{3}$ • Opsi B: • Terdapat 2 kelereng merah pada 3 kelereng yang ada. • Jadi, ada 1 kelereng hitam dan 2 kelereng merah. • Peluang terambilnya 2 kelereng hitam: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)}=\frac{0\times 1}{3}=0$ • Opsi C: • Terdapat 3 kelereng hitam pada 4 kelereng yang ada. • Jadi, ada 3 kelereng hitam dan 1 kelereng merah. • Peluang terambilnya 2 kelereng hitam: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}=\frac{3\times 1}{6}=\frac{1}{2}$ • Opsi D: • Terdapat jumlah kelereng yang sama masing-masing warna pada 4 kelereng yang ada. • Jadi, ada 2 kelereng hitam dan 2 kelereng merah. • Peluang terambilnya 2 kelereng hitam: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}=\frac{1\times 1}{6}=\frac{1}{6}$ • Opsi E: • Terdapat 5 kelereng yang 1 di antaranya adalah kelereng merah. • Jadi, ada 4 kelereng hitam dan 1 kelereng merah. • Peluang terambilnya 2 kelereng hitam: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}=\frac{6\times 1}{10}=\frac{3}{5}$ • Dari perhitungan di atas, peluang terbesar untuk terambilnya 2 kelereng hitam adalah pada opsi E, yaitu $\frac{3}{5}$. • Jadi, jawaban yang benar adalah: E. Terdapat 5 kelereng yang 1 di antaranya adalah kelereng merah.

Penyelesaian: • Opsi A: - 1 bola putih, 4 bola hitam - Peluang terambilnya 2 bola hitam: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}=\frac{6\times 1}{10}=\frac{3}{5}$ • Opsi B: - 2 bola putih, 3 bola hitam - Peluang terambilnya 2 bola hitam: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}=\frac{3\times 1}{10}=\frac{3}{10}$ • Opsi C: - 4 bola hitam, 1 bola putih - Peluang terambilnya 2 bola hitam: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}=\frac{6\times 1}{10}=\frac{3}{5}$ • Opsi D: - 2 bola putih, 2 bola hitam - Peluang terambilnya 2 bola hitam: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}=\frac{1\times 1}{6}=\frac{1}{6}$ • Opsi E: - 5 bola hitam, 1 bola putih - Peluang terambilnya 2 bola hitam: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}=\frac{10\times 1}{15}=\frac{2}{3}$ • Jadi, peluang terbesar untuk terambilnya 2 bola hitam adalah pada opsi E.

Penyelesaian: • Opsi A: - 1 bola merah, 3 bola biru - Peluang terambilnya 2 bola biru: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}=\frac{3\times 1}{6}=\frac{1}{2}$ • Opsi B: - 2 bola merah, 2 bola biru - Peluang terambilnya 2 bola biru: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}=\frac{1\times 1}{6}=\frac{1}{6}$ • Opsi C: - 3 bola biru, 1 bola merah - Peluang terambilnya 2 bola biru: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}=\frac{3\times 1}{6}=\frac{1}{2}$ • Opsi D: - 3 bola biru, 3 bola merah - Peluang terambilnya 2 bola biru: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}=\frac{3\times 1}{15}=\frac{1}{5}$ • Opsi E: - 4 bola biru, 1 bola merah - Peluang terambilnya 2 bola biru: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)}=\frac{6\times 1}{10}=\frac{3}{5}$ • Jadi, peluang terbesar untuk terambilnya 2 bola biru adalah pada opsi E.

Penyelesaian: • Opsi A: - 1 kelereng kuning, 5 kelereng hijau - Peluang terambilnya 2 kelereng hijau: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}=\frac{10\times 1}{15}=\frac{2}{3}$ • Opsi B: - 2 kelereng kuning, 4 kelereng hijau - Peluang terambilnya 2 kelereng hijau: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}=\frac{6\times 1}{15}=\frac{2}{5}$ • Opsi C: - 4 kelereng hijau, 2 kelereng kuning - Peluang terambilnya 2 kelereng hijau: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}=\frac{6\times 1}{15}=\frac{2}{5}$ • Opsi D: - 3 kelereng hijau, 3 kelereng kuning - Peluang terambilnya 2 kelereng hijau: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}=\frac{3\times 1}{15}=\frac{1}{5}$ • Opsi E: - 6 kelereng hijau, 1 kelereng kuning - Peluang terambilnya 2 kelereng hijau: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{0}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)}=\frac{15\times 1}{21}=\frac{5}{7}$ • Jadi, peluang terbesar untuk terambilnya 2 kelereng hijau adalah pada opsi E.

Penyelesaian: Untuk menentukan peristiwa mana yang memiliki peluang paling besar untuk memilih satu mahasiswa dari mahasiswa yang memiliki tahun lahir yang sama, kita perlu menghitung peluang tersebut untuk setiap opsi yang diberikan. • Rumus untuk peluang adalah: $P=\frac{\text{Jumlah mahasiswa dengan tahun lahir yang sama}}{\text{Jumlah total mahasiswa}}$ • Mari kita hitung peluang untuk setiap opsi: • Opsi A: • Tiga orang dari dua puluh lima mahasiswa memiliki tahun lahir yang sama. $P=\frac{3}{25}=0.12$ • Opsi B: • Lima orang dari lima belas mahasiswa memiliki tahun lahir yang sama. $P=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\approx 0.333$ • Opsi C: • Lima orang dari dua puluh lima mahasiswa memiliki tahun lahir yang sama. $P=\frac{5}{25}=0.2$ • Opsi D: • Enam orang dari lima belas mahasiswa memiliki tahun lahir yang sama. $P=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0.4$ • Opsi E: • Enam orang dari dua puluh lima mahasiswa memiliki tahun lahir yang sama. $P=\frac{6}{25}=0.24$ • Dari perhitungan di atas, opsi yang memiliki peluang terbesar adalah opsi D, yaitu $0.4$. • Jawaban: D. Enam orang dari lima belas mahasiswa memiliki tahun lahir yang sama.

Penyelesaian: • Untuk menghitung peluang, kita gunakan rumus: $P=\frac{\text{Jumlah siswa dengan tahun lahir yang sama}}{\text{Jumlah total siswa}}$ • Opsi A: $P=\frac{2}{10}=0.2$ • Opsi B: $P=\frac{4}{20}=0.2$ • Opsi C: $P=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\approx 0.1667$ • Opsi D: $P=\frac{3}{15}=0.2$ • Opsi E: $P=\frac{6}{25}=0.24$ • Jadi, opsi dengan peluang terbesar adalah E. Enam orang dari dua puluh lima siswa memiliki tahun lahir yang sama

Penyelesaian: • Untuk menghitung peluang, kita gunakan rumus: $P=\frac{\text{Jumlah karyawan dengan tahun lahir yang sama}}{\text{Jumlah total karyawan}}$ • Opsi A: $P=\frac{2}{20}=0.1$ • Opsi B: $P=\frac{3}{30}=0.1$ • Opsi C: $P=\frac{5}{20}=0.25$ • Opsi D: $P=\frac{4}{40}=0.1$ • Opsi E: $P=\frac{6}{50}=0.12$ • Jadi, opsi dengan peluang terbesar adalah C. Lima orang dari dua puluh karyawan memiliki tahun lahir yang sama

Penyelesaian: • Peluang siswa X lulus ujian adalah 0.92. • Peluang siswa Y tidak lulus ujian adalah $1-0.87=0.13$. • Maka, peluang siswa X lulus dan Y tidak lulus adalah: • $P(\text{X lulus dan Y tidak lulus})=0.92\times 0.13=0.1196$ • Jawaban: E. 0.1196

Penyelesaian: • Peluang siswa P lulus ujian akhir adalah 0.85. • Peluang siswa Q tidak lulus ujian akhir adalah $1-0.78=0.22$. • Maka, peluang siswa P lulus dan Q tidak lulus adalah: • $P(\text{P lulus dan Q tidak lulus})=0.85\times 0.22=0.187$ • Jawaban yang benar adalah D. 0.187.

Penyelesaian: • Peluang siswa M lulus ujian seleksi adalah 0.75. • Peluang siswa N tidak lulus ujian seleksi adalah $1-0.80=0.20$. • Maka, peluang siswa M lulus dan N tidak lulus adalah: • $P(\text{M lulus dan N tidak lulus})=0.75\times 0.20=0.15$ • Jawaban yang benar adalah C. 0.15.

Penyelesaian: • Peluang Jono mendapatkan penghargaan adalah $1-30\%=70\%$. • Peluang Tono mendapatkan penghargaan adalah 50%. • Sekarang kita kalikan kedua peluang tersebut: • $P(\text{Jono dan Tono mendapatkan penghargaan})=0.70\times 0.50=0.35$ • Jadi, peluang Jono dan Tono mendapatkan penghargaan adalah 35%. • Jawaban yang benar adalah C. 35%.

Penyelesaian: • Peluang Anisa memenangkan lomba adalah $1-40\%=60\%$. • Peluang Budi memenangkan lomba adalah 70%. • Sekarang kita kalikan kedua peluang tersebut: • $P(\text{Anisa dan Budi memenangkan lomba})=0.60\times 0.70=0.42$ • Jadi, peluang Anisa dan Budi memenangkan lomba adalah 42%. • Jawaban yang benar adalah D. 42%.

Penyelesaian: • Peluang Dinda mendapatkan beasiswa adalah $1-25\%=75\%$. • Peluang Sinta mendapatkan beasiswa adalah 80%. • Sekarang kita kalikan kedua peluang tersebut: • $P(\text{Dinda dan Sinta mendapatkan beasiswa})=0.75\times 0.80=0.60$ • Jadi, peluang Dinda dan Sinta mendapatkan beasiswa adalah 60%. • Jawaban yang benar adalah D. 60%.

Penyelesaian: • Untuk mencari peluang tim A tidak menjadi juara, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut: • Peluang tim B tidak menjadi juara adalah $\frac{3}{4}$. Oleh karena itu, peluang tim B menjadi juara adalah: $P(B)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ • Peluang tim A menjadi juara dua kali peluang tim B. Maka peluang tim A menjadi juara adalah: $P(A)=2\times P(B)=2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ • Peluang tim A tidak menjadi juara adalah: $P(\text{tim A tidak menjadi juara})=1-P(A)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ • Jawaban yang benar adalah C. $\frac{1}{2}$.

Penyelesaian: Untuk membentuk bilangan tiga angka yang kurang dari 400, angka pertama haruslah 3. Karena hanya angka 3 yang memenuhi syarat tersebut (angka lainnya seperti 5, 6, 7, dan 9 akan menghasilkan bilangan lebih dari 400 jika diletakkan di tempat ratusan). • Pilih angka pertama sebagai 3. • Pilih dua angka berikutnya dari sisa angka 5, 6, 7, dan 9. • Mari kita hitung: - Angka pertama adalah 3. - Kombinasi angka kedua dan ketiga dapat dipilih dari 5, 6, 7, dan 9. • Jumlah cara memilih dua angka dari empat angka tersebut adalah kombinasi: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$ • Setiap pasangan dua angka ini bisa disusun dalam urutan yang berbeda, jadi kita perlu menghitung permutasi dari dua angka ini: $2!=2$ • Jadi, total jumlah bilangan yang dapat dibuat adalah: $6\times 2=12$ • Bilangan tersebut adalah: 352, 353, 356, 357, 359, 362, 367, 369, 372, 376, 379, 392 • Jadi, banyaknya bilangan tersebut yang kurang dari 400 adalah 12. • Jawaban yang benar adalah C. 12.