Pengetahuan Kuantitatif — Paket 14

Penyelesaian: • Diketahui peluang Anwar berhasil mencetak gol ($P(\text{Gol})$) sama dengan $\frac{3}{4}$ kali peluang gagal mencetak gol ($P(\text{Tidak Gol})$). $P(\text{Gol})=\frac{3}{4}P(\text{Tidak Gol})$ • Peluang total selalu 1: $P(\text{Gol})+P(\text{Tidak Gol})=1$ • Misalkan $P(\text{Tidak Gol})=x$, maka: $P(\text{Gol})=\frac{3}{4}x$ • Menyusun persamaan: $\frac{3}{4}x+x=1$ $\frac{7}{4}x=1$ $x=\frac{4}{7}$ • Jadi, $P(\text{Tidak Gol})=\frac{4}{7}$ $P(\text{Gol})=\frac{3}{4}\times \frac{4}{7}=\frac{3}{7}$ • Peluang mencetak tepat 1 gol dari 2 kali tendangan berarti mencetak 1 gol dan 1 tidak gol. Ada dua kemungkinan: Gol pertama, Tidak Gol kedua atau Tidak Gol pertama, Gol kedua. $P(\text{Tepat 1 Gol})=P(\text{Gol})\times P(\text{Tidak Gol})+P(\text{Tidak Gol})\times P(\text{Gol})$ $P(\text{Tepat 1 Gol})=\left(\frac{3}{7}\times \frac{4}{7}\right)+\left(\frac{4}{7}\times \frac{3}{7}\right)$ $P(\text{Tepat 1 Gol})=\frac{12}{49}+\frac{12}{49}=\frac{24}{49}$ • Jadi, jawaban yang benar adalah B. $\frac{24}{49}$.

Penyelesaian: • Mari kita analisis kedua pernyataan tersebut: • Pernyataan 1: Terdapat 4 buah novel karya penulis A. • Dengan informasi ini, kita tahu bahwa ada 4 novel karya penulis A dan 2 novel lainnya dari penulis yang berbeda. Karena novel dengan pengarang yang sama harus bersebelahan, kita bisa mengelompokkan 4 novel karya penulis A sebagai satu unit. Sekarang kita memiliki 3 unit untuk diatur (1 unit besar yang berisi 4 novel karya penulis A dan 2 novel lainnya). Jumlah cara mengatur 3 unit ini adalah $3!$. • Di dalam unit besar, 4 novel karya penulis A dapat diatur dalam $4!$ cara. Jadi total jumlah cara menyusun novel adalah: $3!\times 4!=6\times 24=144$ • Pernyataan 1 cukup untuk menjawab pertanyaan. • Pernyataan 2: Salah satu novel karya penulis A diletakkan pada urutan ketiga dari kiri. • Pernyataan ini memberi kita lokasi pasti untuk satu novel karya penulis A, tetapi tidak memberikan informasi yang cukup tentang bagaimana menempatkan sisa novel untuk memastikan novel dengan pengarang yang sama bersebelahan. Jadi, pernyataan ini tidak cukup untuk menjawab pertanyaan. • Jawaban: A. Pernyataan 1 saja cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi pernyataan 2 saja tidak cukup.

Penyelesaian: • Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menghitung jumlah cara untuk memilih 5 siswa dari 9 siswa, dengan syarat bahwa 2 siswa tertentu tidak boleh terpilih secara bersamaan. • Pertama, kita hitung total cara memilih 5 siswa dari 9 siswa tanpa ada pembatasan: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{5}\right)=\frac{9!}{5!(9-5)!}=\frac{9!}{5!4!}=\frac{9\times 8\times 7\times 6\times 5!}{5!\times 4\times 3\times 2\times 1}=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126$ • Selanjutnya, kita hitung jumlah cara memilih 5 siswa di mana 2 siswa yang tidak boleh dipilih bersama-sama, dipilih secara bersamaan. Misalkan dua siswa yang tidak boleh dipilih bersama-sama adalah siswa A dan B. Jika A dan B terpilih, kita hanya perlu memilih 3 siswa dari 7 siswa yang tersisa: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7!}{3!4!}=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$ • Jadi, jumlah cara untuk memilih 5 siswa dari 9 siswa tanpa ada pembatasan adalah 126 cara, dikurangi dengan jumlah cara di mana kedua siswa yang tidak boleh dipilih bersama-sama dipilih bersama-sama, yaitu 35 cara: $126-35=91$ • Oleh karena itu, jumlah cara pemilihan yang benar adalah 91 cara. • Jawaban yang benar adalah C.91

Penyelesaian: • Total cara memilih 4 siswa dari 10 siswa tanpa ada pembatasan: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{4}\right)=\frac{10!}{4!(10-4)!}=\frac{10!}{4!6!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210$ • Jumlah cara memilih 4 siswa di mana 2 siswa yang tidak boleh dipilih bersama-sama, dipilih bersama-sama: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=\frac{8!}{2!(8-2)!}=\frac{8!}{2!6!}=\frac{8\times 7}{2\times 1}=28$ • Jumlah cara pemilihan yang benar: $210-28=182$ • Jawaban yang benar adalah B.180

Penyelesaian: • Total cara memilih 3 siswa dari 7 siswa tanpa ada pembatasan: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=\frac{7!}{3!(7-3)!}=\frac{7!}{3!4!}=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$ • Jumlah cara memilih 3 siswa di mana 2 siswa yang tidak boleh dipilih bersama-sama, dipilih bersama-sama: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)=\frac{5!}{1!(5-1)!}=\frac{5!}{1!4!}=5$ • Jumlah cara pemilihan yang benar: $35-5=30$ • Jawaban yang benar adalah B (30).

Penyelesaian: • Total cara memilih 6 pemain dari 12 pemain tanpa ada pembatasan: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6}\right)=\frac{12!}{6!(12-6)!}=\frac{12!}{6!6!}=\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8\times 7}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=924$ • Jumlah cara memilih 6 pemain di mana 3 pemain yang tidak boleh dipilih bersama-sama, dipilih bersama-sama: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=\frac{9!}{3!(9-3)!}=\frac{9!}{3!6!}=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$ • Jumlah cara pemilihan yang benar: $924-84=840$ • Jawaban yang benar adalah A (840).

Penyelesaian: Untuk menentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$, kita perlu menghitung peluang $P$ bahwa hasil perkalian $a$ dan $b$ adalah bilangan ganjil, dan membandingkannya dengan $Q$. • Langkah-langkah: • Tentukan peluang $P$: - Himpunan $a=\{1,2,3,4\}$ - Himpunan $b=\{7,8,9\}$ - $a\cdot b$ akan ganjil jika $a$ dan $b$ keduanya ganjil. • Anggota ganjil dari himpunan $a$ adalah \{1, 3\} (2 anggota) • Anggota ganjil dari himpunan $b$ adalah \{7, 9\} (2 anggota) • Total pasangan yang menghasilkan bilangan ganjil: $2\times 2=4\text{ pasangan ganjil}$ • Total pasangan keseluruhan: $4\times 3=12$ • Peluang $P$: $P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ • Tentukan $Q$: • Diberikan bahwa $Q=\frac{1}{2}$. • Bandingkan $P$ dan $Q$: $P=\frac{1}{3}=0.333$ $Q=\frac{1}{2}=0.5$ • Kesimpulan: $Q>P$ • Jawaban yang benar adalah B. $Q>P$.

Penyelesaian: • Tentukan peluang $P$: - Himpunan $a=\{2,4,6,8\}$ - Himpunan $b=\{1,3,5,7\}$ - $a\cdot b$ akan genap jika $a$ adalah genap (semua anggota $a$ adalah genap). • Semua anggota $a$ adalah genap (4 anggota) • Semua anggota $b$ adalah ganjil (4 anggota) • Total pasangan keseluruhan: $4\times 4=16$ • Semua pasangan akan menghasilkan bilangan genap karena $a$ selalu genap. • Peluang $P$: $P=\frac{16}{16}=1$ • Tentukan $Q$: • Diberikan bahwa $Q=\frac{1}{2}$. • Bandingkan $P$ dan $Q$: $P=1$ • $Q=\frac{1}{2}=0.5$ • Kesimpulan: $P>Q$ • Jawaban yang benar adalah A. $P>Q$.

Penyelesaian: • Tentukan peluang $P$: - Himpunan $a=\{2,4,6,8\}$ - Himpunan $b=\{3,5,7,9\}$ - $a+b$ akan ganjil jika salah satu ganjil dan satu lagi genap. • Semua anggota $a$ adalah genap (4 anggota) • Semua anggota $b$ adalah ganjil (4 anggota) • Total pasangan yang menghasilkan bilangan ganjil: $4\times 4=16\text{ pasangan ganjil}$ • Total pasangan keseluruhan: $4\times 4=16$ • Peluang $P$: $P=\frac{16}{16}=1$ • Tentukan $Q$: • Diberikan bahwa $Q=\frac{1}{2}$. • Bandingkan $P$ dan $Q$: $P=1$ $Q=\frac{1}{2}=0.5$ • Kesimpulan: $P>Q$ • Jawaban yang benar adalah A. $P>Q$.

Penyelesaian: • Tentukan peluang $P$: - Himpunan $a=\{1,3,5\}$ - Himpunan $b=\{2,4,6,8\}$ - $a\cdot b$ akan genap jika $b$ adalah genap (semua anggota $b$ adalah genap). • Semua anggota $b$ adalah genap (4 anggota) • Total pasangan keseluruhan: $3\times 4=12$ • Peluang $P$: $P=\frac{12}{12}=1$ • Tentukan $Q$: • Diberikan bahwa $Q=\frac{3}{4}$. • Bandingkan $P$ dan $Q$: • $P=1$ • $Q=\frac{3}{4}=0.75$ • Kesimpulan: $P>Q$ • Jawaban yang benar adalah A. $P>Q$.

Penyelesaian: • Tentukan probabilitas $P$: • Probabilitas tanaman menghasilkan bunga adalah $\frac{5}{7}$. • Probabilitas bunga tersebut berwarna merah adalah $\frac{2}{3}$. Maka, probabilitas bunga tersebut berwarna putih adalah: $1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ • Probabilitas suatu tanaman menghasilkan bunga putih adalah: $P=\frac{5}{7}\times \frac{1}{3}=\frac{5}{21}$ • Tentukan $Q$: • Diberikan bahwa $Q=\frac{5}{14}$. • Bandingkan $P$ dan $Q$: $P=\frac{5}{21}$ $Q=\frac{5}{14}$ • Untuk membandingkan, kita bisa menyamakan penyebut: $P=\frac{5}{21}=\frac{5\times 2}{21\times 2}=\frac{10}{42}$ $Q=\frac{5}{14}=\frac{5\times 3}{14\times 3}=\frac{15}{42}$ • Jadi: $\frac{10}{42}<\frac{15}{42}⟹P<Q$ • Jawaban yang benar adalah B. $Q>P$

Penyelesaian: • Tentukan probabilitas $P$: • Probabilitas pohon menghasilkan buah adalah $\frac{4}{5}$. • Probabilitas buah tersebut berwarna kuning adalah $\frac{3}{4}$. Maka, probabilitas buah tersebut berwarna hijau adalah: $1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$ • Probabilitas suatu pohon menghasilkan buah hijau adalah: $P=\frac{4}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$ • Tentukan $Q$: • Diberikan bahwa $Q=\frac{1}{5}$. • Bandingkan $P$ dan $Q$: $P=\frac{1}{5}$ $Q=\frac{1}{5}$ • Jawaban yang benar adalah C. $P=Q$.

Penyelesaian: • Tentukan probabilitas $P$: • Probabilitas siswa lulus ujian matematika adalah $\frac{3}{4}$. • Probabilitas siswa lulus ujian fisika jika lulus matematika adalah $\frac{2}{3}$. • Probabilitas seorang siswa lulus ujian fisika adalah: $P=\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ • Tentukan $Q$: • Diberikan bahwa $Q=\frac{1}{2}$. • Bandingkan $P$ dan $Q$: $P=\frac{1}{2}$ $Q=\frac{1}{2}$ • Jawaban yang benar adalah C. $P=Q$.

Penyelesaian: • Tentukan probabilitas $P$: • Probabilitas mesin berfungsi adalah $\frac{4}{7}$. • Probabilitas mesin menghasilkan produk berkualitas tinggi jika berfungsi adalah $\frac{5}{6}$. • Probabilitas suatu mesin menghasilkan produk berkualitas tinggi adalah: $P=\frac{4}{7}\times \frac{5}{6}=\frac{20}{42}=\frac{10}{21}$ • Tentukan $Q$: • Diberikan bahwa $Q=\frac{2}{7}$. • Bandingkan $P$ dan $Q$: $P=\frac{10}{21}$ $Q=\frac{2}{7}=\frac{6}{21}$ • Jawaban yang benar adalah A. $P>Q$

Penyelesaian: • Menghitung banyak plat nomor yang dapat terbentuk (P): - Huruf pertama adalah tetap $B$, jadi tidak perlu dihitung. - 4 angka tak nol : $9\text{ (pilihan angka 1-9)}\times 8\times 7\times 6=3024$ • Pilihan angka pertama bisa 1-9 (9 pilihan), angka kedua tak boleh sama dengan angka pertama (8 pilihan), dst. - Huruf pertama setelah angka-angka adalah vokal: - Ada 5 vokal (A, I, U, E, O) - Huruf kedua setelah angka-angka adalah konsonan: - Ada 21 konsonan dalam alfabet (B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T, V, W, X, Y, Z) - Karena huruf tidak boleh berulang: $5\text{ (vokal)}\times 20\text{ (konsonan)}=100$ - Total banyak plat nomor: $P=3024\times 100=302400$ • Menentukan Q: - Diberikan bahwa $Q=300.000$ • Bandingkan $P$ dan $Q$: $P=302400$ $Q=300000$ • Jawaban yang benar adalah A. $P>Q$.

Penyelesaian: • Menghitung banyak plat nomor yang dapat terbentuk (P): - Huruf pertama adalah tetap $D$, jadi tidak perlu dihitung. - 3 angka (0-9) : $10\times 10\times 10=1000$ - Huruf pertama setelah angka-angka adalah konsonan: - Ada 21 konsonan dalam alfabet (B, C, D, F, G, H, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T, V, W, X, Y, Z) - Huruf kedua setelah angka-angka adalah vokal: - Ada 5 vokal (A, I, U, E, O) - Huruf ketiga setelah angka-angka adalah konsonan: - Ada 20 konsonan tersisa (karena satu konsonan sudah dipakai untuk huruf pertama) - Total banyak plat nomor: $P=1000\times 21\times 5\times 20=2,100,000$ • Menentukan Q: Diberikan bahwa $Q=500,000$ • Bandingkan $P$ dan $Q$: $P=2,100,000$ $Q=500,000$ • Jawaban yang benar adalah A. $P>Q$.

Penyelesaian: • Menghitung banyak plat nomor yang dapat terbentuk (P): - Huruf pertama adalah tetap $K$, jadi tidak perlu dihitung. - 5 angka (1-9) : $9\times 8\times 7\times 6\times 5=15120$ - Huruf kedua adalah vokal: - Ada 5 vokal (A, I, U, E, O) - Total banyak plat nomor: $P=15120\times 5=75,600$ • Menentukan Q: - Diberikan bahwa $Q=151,200$ • Bandingkan $P$ dan $Q$: $P=75,600$ $Q=151,200$ • Jawaban yang benar adalah B. $Q>P$.

Penyelesaian: • Menghitung banyak plat nomor yang dapat terbentuk (P): - Huruf pertama adalah tetap $M$, jadi tidak perlu dihitung. - 4 angka (0-9) : $10\times 10\times 10\times 10=10,000$ - Huruf pertama setelah angka-angka adalah vokal: - Ada 5 vokal (A, I, U, E, O) - Huruf kedua setelah angka-angka adalah vokal: - Ada 4 vokal tersisa (karena satu vokal sudah dipakai untuk huruf pertama) - Total banyak plat nomor: $P=10,000\times 5\times 4=200,000$ • Menentukan Q: - Diberikan bahwa $Q=250,000$ • Bandingkan $P$ dan $Q$: • $P=200,000$ • $Q=250,000$ • Jawaban yang benar adalah B. $Q>P$.

Penyelesaian: 1. Rata-rata dari lima bilangan asli adalah 12. Jadi, total jumlah lima bilangan tersebut adalah: $5\times 12=60$ 2. Misalkan bilangan asli keenam yang ditambahkan adalah $x$. Setelah ditambahkan $x$, rata-rata enam bilangan menjadi bilangan bulat positif. Jumlah total dari keenam bilangan adalah: $60+x$ Dan rata-ratanya adalah: $\frac{60+x}{6}$ 3. Rata-rata ini merupakan bilangan bulat positif. Oleh karena itu: $\frac{60+x}{6}$ = n \text{(dengan $n$ bilangan bulat positif)} $60+x=6n$ $x=6n-60$ 4. Agar $x$ adalah bilangan asli (bilangan bulat positif), maka $6n-60$ harus bernilai positif. Ini berarti: $6n>60$ $n>10$ 5. Nilai terkecil $n$ yang mungkin adalah 11. Jika $n=11$, maka: $x=6(11)-60=66-60=6$ • Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk bilangan asli keenam adalah 6. • Jawaban yang benar adalah C. 6.

Penyelesaian: 1. Menghitung Total Jumlah Lima Bilangan: Rata-rata dari lima bilangan asli adalah 12. Jadi, total jumlah lima bilangan tersebut adalah: $5\times 12=60$ 2. Menambahkan Bilangan Keenam: Misalkan bilangan asli keenam yang ditambahkan adalah x. Setelah ditambahkan x, rata-rata enam bilangan menjadi bilangan bulat positif. Jumlah total dari keenam bilangan adalah: 60 + x Dan rata-ratanya adalah: $\frac{60+x}{6}$ 3. Rata-Rata Bilangan Bulat Positif: Rata-rata ini merupakan bilangan bulat positif. Oleh karena itu: $\frac{60+x}{6}$ = n (dengan $n$ bilangan bulat positif)} Maka: 60 + x = 6n x = 6n - 60 4. Memastikan x adalah Bilangan Asli: Agar x adalah bilangan asli (bilangan bulat positif), maka 6n - 60 harus bernilai positif. Ini berarti: 6n > 60 n > 10 5. Menentukan Nilai n Terkecil: Nilai terkecil n yang mungkin adalah 11. Jika n = 11, maka: x = 6(11) - 60 = 66 - 60 = 6 - Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk bilangan asli keenam adalah 6. - Jawaban yang benar adalah C. 6.