Pengetahuan Kuantitatif — Paket 15

Penyelesaian: 1. Rata-rata dari empat bilangan asli adalah 15. Jadi, total jumlah empat bilangan tersebut adalah: $4\times 15=60$ 2. Misalkan bilangan asli kelima yang ditambahkan adalah $z$. Setelah ditambahkan $z$, rata-rata lima bilangan menjadi bilangan bulat positif. Jumlah total dari kelima bilangan adalah: $60+z$ Dan rata-ratanya adalah: $\frac{60+z}{5}$ 3. Rata-rata ini merupakan bilangan bulat positif. Oleh karena itu: $\frac{60+z}{5}$ = m \text{(dengan $m$ bilangan bulat positif)} $60+z=5m$ $z=5m-60$ 4. Agar $z$ adalah bilangan asli (bilangan bulat positif), maka $5m-60$ harus bernilai positif. Ini berarti: $5m>60$ $m>12$ 5. Nilai terkecil $m$ yang mungkin adalah 13. Jika $m=13$, maka: $z=5(13)-60=65-60=5$ • Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk bilangan asli kelima adalah 5 • Jawaban yang benar adalah B. 5

Penyelesaian: 1. Rata-rata dari empat bilangan asli adalah 15. Jadi, total jumlah empat bilangan tersebut adalah: $4\times 15=60$ 2. Misalkan bilangan asli kelima yang ditambahkan adalah $z$. Setelah ditambahkan $z$, rata-rata lima bilangan menjadi bilangan bulat positif. Jumlah total dari kelima bilangan adalah: $60+z$ Dan rata-ratanya adalah: $\frac{60+z}{5}$ 3. Rata-rata ini merupakan bilangan bulat positif. Oleh karena itu: $\frac{60+z}{5}=m$ (dengan $m$ bilangan bulat positif) $60+z=5m$ $z=5m-60$ 4. Agar $z$ adalah bilangan asli (bilangan bulat positif), maka $5m-60$ harus bernilai positif. Ini berarti: $5m>60$ $m>12$ 5. Nilai terkecil $m$ yang mungkin adalah 13. Jika $m=13$, maka: $z=5(13)-60=65-60=5$ • Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk bilangan asli kelima adalah 5 • Jawaban yang benar adalah B. 5

Penyelesaian: Untuk menemukan jumlah bilangan ganjil yang terdiri dari tiga digit berbeda dari himpunan $\{2,4,5,6,8,9\}$ dan memiliki nilai kurang dari 500, kita perlu mempertimbangkan aturan-aturan berikut: 1) Bilangan harus terdiri dari tiga digit berbeda. 2) Bilangan tersebut harus ganjil. 3) Bilangan tersebut harus kurang dari 500. Langkah-langkah: 1. Digit Satuan (Digit Terakhir): - Bilangan ganjil memiliki digit terakhir yang ganjil. - Angka ganjil dalam himpunan adalah $\{5,9\}$. 2. Digit Ratusan (Digit Pertama): - Bilangan tersebut harus kurang dari 500, sehingga digit ratusan harus kurang dari 5. - Angka yang memenuhi syarat ini adalah $\{2,4\}$. 3. Digit Puluhan: - Digit puluhan dapat dipilih dari sisa angka yang belum dipilih untuk digit ratusan dan satuan. • Kasus-kasus: • Kasus 1: Digit Satuan adalah 5 1. Jika digit ratusan adalah 2: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{4,6,8,9\}$. - Jumlah kombinasi: 4 kombinasi. - 245, 265, 285, 295 2. Jika digit ratusan adalah 4: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{2,6,8,9\}$. - Jumlah kombinasi: 4 kombinasi. - 425, 465, 485, 495 • Total untuk digit satuan 5 adalah $4+4=8$ kombinasi. • Kasus 2: Digit Satuan adalah 9 5. Jika digit ratusan adalah 2: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{4,5,6,8\}$. - Jumlah kombinasi: 4 kombinasi. - 249, 259, 269, 289 6. Jika digit ratusan adalah 4: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{2,5,6,8\}$. - Jumlah kombinasi: 4 kombinasi. - 429, 459, 469, 489 • Total untuk digit satuan 9 adalah $4+4=8$ kombinasi. • Total Kombinasi: • Jumlah total kombinasi dari kedua kasus adalah: $8\text{ (digit satuan 5)}+8\text{ (digit satuan 9)}=16$ • Jawaban: Jadi, banyak bilangan yang terbentuk dengan nilai kurang dari 500 adalah A. 16.

Penyelesaian: 1) Digit Satuan (Digit Terakhir): - Bilangan ganjil memiliki digit terakhir yang ganjil. - Angka ganjil dalam himpunan adalah $\{1,3,5,7\}$. 2) Digit Ratusan (Digit Pertama): - Bilangan tersebut harus kurang dari 600, sehingga digit ratusan harus kurang dari 6. - Semua angka kecuali 8 memenuhi syarat ini: $\{1,3,4,5\}$. 3) Digit Puluhan: - Digit puluhan dapat dipilih dari sisa angka yang belum dipilih untuk digit ratusan dan satuan. • Kasus-kasus: • Kasus 1: Digit Satuan adalah 1, 3, 5, atau 7 (4 kemungkinan) 1) Jika digit ratusan adalah 1: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{3,4,5,7,8\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan ganjil. 2) Jika digit ratusan adalah 3: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{1,4,5,7,8\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan ganjil. 3) Jika digit ratusan adalah 4: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{1,3,5,7,8\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan ganjil. 4) Jika digit ratusan adalah 5: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{1,3,4,7,8\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan ganjil. • Total untuk setiap digit satuan adalah $5+5+5+5=20$ kombinasi. • Jawaban: Jadi, banyak bilangan yang terbentuk dengan nilai kurang dari 600 adalah B. 20.

Penyelesaian: • Digit Satuan (Digit Terakhir): - Bilangan genap memiliki digit terakhir yang genap. - Angka genap dalam himpunan adalah $\{2,4,6\}$. • Digit Ratusan (Digit Pertama): - Bilangan tersebut harus kurang dari 500, sehingga digit ratusan harus kurang dari 5. - Angka yang memenuhi syarat ini adalah $\{1,2,3,4\}$. • Digit Puluhan: - Digit puluhan dapat dipilih dari sisa angka yang belum dipilih untuk digit ratusan dan satuan. • Kasus-kasus: • Kasus 1: Digit Satuan adalah 2, 4, atau 6 (3 kemungkinan) • Jika digit ratusan adalah 1: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{2,3,4,5,6\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan genap. • Jika digit ratusan adalah 2: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{1,3,4,5,6\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan genap. • Jika digit ratusan adalah 3: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{1,2,4,5,6\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan genap. • Jika digit ratusan adalah 4: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{1,2,3,5,6\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan genap. • Total untuk setiap digit satuan adalah $5+5+5+5=20$ kombinasi per digit satuan. • Total keseluruhan kombinasi adalah $20\times 3=60$. • Jawaban: Jawaban yang benar adalah B. 60.

Penyelesaian: • Digit Satuan (Digit Terakhir): - Bilangan ganjil memiliki digit terakhir yang ganjil. - Angka ganjil dalam himpunan adalah $\{3,7,9\}$. • Digit Ratusan (Digit Pertama): - Bilangan tersebut harus kurang dari 700, sehingga digit ratusan harus kurang dari 7. - Angka yang memenuhi syarat ini adalah $\{3,4,6\}$. • Digit Puluhan: - Digit puluhan dapat dipilih dari sisa angka yang belum dipilih untuk digit ratusan dan satuan. • Kasus-kasus: • Kasus 1: Digit Satuan adalah 3, 7, atau 9 (3 kemungkinan) • Jika digit ratusan adalah 3: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{4,6,7,8,9\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan ganjil. • Jika digit ratusan adalah 4: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{3,6,7,8,9\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan ganjil. • Jika digit ratusan adalah 6: - Pilihan digit puluhan adalah dari $\{3,4,7,8,9\}$. - Jumlah kombinasi: 5 kombinasi per satuan ganjil. • Total untuk setiap digit satuan adalah $5+5+5=15$ kombinasi per digit satuan. • Total keseluruhan kombinasi adalah $15\times 3=45$. • Jawaban: Jawaban yang benar adalah C. 45

Penyelesaian: • Diketahui: - 5 bola kuning - 4 bola merah - 8 bola hijau - 3 bola biru • Total bola: $5+4+8+3=20$ • Pernyataan 1: • Peluang terambilnya bola bukan kuning adalah $\frac{3}{4}$. • Bola bukan kuning berarti bola merah, hijau, atau biru: $4(merah)+8(hijau)+3(biru)=15$ • Peluang terambilnya bola bukan kuning: $\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$ • Pernyataan 1 benar. • Pernyataan 2: • Peluang terambilnya bola merah adalah $\frac{1}{5}$. • Bola merah ada 4: $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$ • Pernyataan 2 benar. • Pernyataan 3: • Peluang terambilnya bola hijau adalah $\frac{2}{5}$. • Bola hijau ada 8: $\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$ • Pernyataan 3 benar. • Pernyataan 4: • Peluang terambilnya bola bukan biru adalah $\frac{4}{5}$. • Bola bukan biru berarti bola kuning, merah, atau hijau: $5(kuning)+4(merah)+8(hijau)=17$ • Peluang terambilnya bola bukan biru: $\frac{17}{20}=\frac{17}{20}\ne \frac{4}{5}$ • Pernyataan 4 salah. • Jadi, jawaban yang benar adalah A. 1, 2, dan 3 SAJA yang benar.

Penyelesaian: Total bola: $6+5+7+2=20$ 1. Peluang terambilnya bola bukan merah: - Bola bukan merah berarti bola hijau, kuning, atau biru: $5(hijau)+7(kuning)+2(biru)=14$ - Peluang: $\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$ - Pernyataan ini salah karena bukan $\frac{2}{3}$. 2. Peluang terambilnya bola biru: $\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ • Pernyataan ini benar. 3. Peluang terambilnya bola hijau: $\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$ • Pernyataan ini salah karena bukan $\frac{1}{3}$. 4. Peluang terambilnya bola bukan kuning: • Bola bukan kuning berarti bola merah, hijau, atau biru: $6(merah)+5(hijau)+2(biru)=13$ • Peluang: $\frac{13}{20}$ • Pernyataan ini salah karena bukan $\frac{3}{5}$. • Jawaban yang benar adalah C. 2 SAJA yang benar.

Penyelesaian: • Total bola: $4+3+6+5=18$ 1. Peluang terambilnya bola bukan hijau: • Bola bukan hijau berarti bola merah, kuning, atau biru: $4(merah)+6(kuning)+5(biru)=15$ • Peluang: $\frac{15}{18}=\frac{5}{6}$ • Pernyataan ini benar. 2. Peluang terambilnya bola merah: $\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$ • Pernyataan ini salah karena bukan $\frac{1}{4}$. 3. Peluang terambilnya bola kuning: $\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$ • Pernyataan ini benar. 4. Peluang terambilnya bola bukan biru: • Bola bukan biru berarti bola merah, hijau, atau kuning: $4(merah)+3(hijau)+6(kuning)=13$ • Peluang: $\frac{13}{18}$ • Pernyataan ini salah karena bukan $\frac{3}{4}$. • Jawaban yang benar adalah B. 1 dan 3 SAJA yang benar.

Penyelesaian: • Total bola: $7+2+5+6=20$ 1. Peluang terambilnya bola bukan kuning: • Bola bukan kuning berarti bola merah, hijau, atau biru: $7(merah)+2(hijau)+6(biru)=15$ • Peluang: $\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$ • Pernyataan ini salah karena bukan $\frac{7}{9}$. 2. Peluang terambilnya bola merah: $\frac{7}{20}$ • Pernyataan ini benar. 3. Peluang terambilnya bola hijau: $\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ • Pernyataan ini benar. 4. Peluang terambilnya bola bukan biru: • Bola bukan biru berarti bola merah, hijau, atau kuning: $7(merah)+2(hijau)+5(kuning)=14$ • Peluang: $\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$ • Pernyataan ini benar. • Jawaban yang benar adalah A. 2, 3 dan 4 SAJA yang benar.

Penyelesaian: • Untuk menyelesaikan pertanyaan ini, kita perlu menghitung peluang masing-masing warna bola terpilih dan membandingkan peluang tersebut. • Total bola dalam kotak adalah 65 (merah) + 40 (kuning) + sejumlah bola hijau. Diketahui peluang terambilnya bola hijau $Q$ adalah $\frac{13}{34}$. • Mari kita cari jumlah bola hijau: $Q=\frac{\text{Jumlah bola hijau}}{\text{Total bola}}=\frac{13}{34}$ $\text{Total bola}=65+40+\text{Jumlah bola hijau}$ • Dari persamaan $\frac{\text{Jumlah bola hijau}}{65+40+\text{Jumlah bola hijau}}=\frac{13}{34}$, kita dapat menyelesaikan untuk menemukan jumlah bola hijau. Mari kita hitung ini terlebih dahulu. • Jumlah bola hijau adalah 65. • Sekarang kita dapat menghitung peluang bola merah $P$: • $P=\frac{\text{Jumlah bola merah}}{\text{Total bola}}=\frac{65}{65+40+65}$ • Mari kita hitung nilai $P$ dan bandingkan dengan $Q$. • Peluang terambilnya bola merah $P$ adalah $\frac{13}{34}$, sama dengan peluang terambilnya bola hijau $Q$. • Jadi, hubungan yang benar antara $P$ dan $Q$ adalah $P=Q$. • Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.P = Q.

Penyelesaian: - Total bola merah dan biru: $50+30=80$ - Peluang terambilnya bola kuning $Q=\frac{2}{7}$ - Total bola $=80+\text{bola kuning}$ • Menggunakan persamaan: $\frac{\text{bola kuning}}{80+\text{bola kuning}}=\frac{2}{7}$ • Menyelesaikan untuk bola kuning: $\text{bola kuning}=\frac{160}{5}=32$ • Peluang bola merah ($P$): $P=\frac{50}{80+32}=\frac{50}{112}$ • Membandingkan $P$ dan $Q$: $Q=\frac{2}{7}=\frac{32}{112}$ • Jawaban: A. P > Q karena $\frac{50}{112}>\frac{32}{112}$.

Penyelesaian: - Total bola merah dan biru: $50+30=80$ - Peluang terambilnya bola kuning $Q=\frac{2}{7}$ - Total bola $=80+\text{bola kuning}$ • Menggunakan persamaan: $\frac{\text{bola kuning}}{80+\text{bola kuning}}=\frac{2}{7}$ • Menyelesaikan untuk bola kuning: $\text{bola kuning}=\frac{160}{5}=32$ • Peluang bola merah ($P$): $P=\frac{50}{80+32}=\frac{50}{112}$ • Membandingkan $P$ dan $Q$: $Q=\frac{2}{7}=\frac{32}{112}$ • Jawaban: A. P > Q karena $\frac{50}{112}>\frac{32}{112}$.

Penyelesaian: - Total bola hitam dan putih: $75+45=120$ - Peluang bola abu-abu $Q=\frac{3}{8}$ - Total bola $=120+\text{bola abu-abu}$ • Menggunakan persamaan: $\frac{\text{bola abu-abu}}{120+\text{bola abu-abu}}=\frac{3}{8}$ • Menyelesaikan untuk bola abu-abu: $\text{bola abu-abu}=\frac{360}{5}=72$ • Peluang bola hitam ($P$): $P=\frac{75}{120+72}=\frac{75}{192}$ • Membandingkan $P$ dan $Q$: $Q=\frac{3}{8}=\frac{72}{192}$ • Jawaban: A. P > Q karena $\frac{75}{192}<\frac{72}{192}$.

Penyelesaian: • Diketahui peluang Andi lulus ujian matematika adalah 0,45 dan peluang Dimas lulus ujian matematika adalah 0,6. • Pernyataan 1: • Peluang keduanya lulus adalah 0,27. • Peluang keduanya lulus dapat dihitung dengan mengalikan peluang masing-masing: $P(\text{Andi lulus dan Dimas lulus})=0,45\times 0,6=0,27$ • Pernyataan 1 benar. • Pernyataan 2: • Peluang salah satu tidak lulus adalah 0,33. • Peluang salah satu tidak lulus berarti 1 - peluang keduanya lulus: $P(\text{Salah satu tidak lulus})=1-P(\text{Keduanya lulus})=1-0,27=0,73$ • Pernyataan 2 salah karena bukan 0,33. • Pernyataan 3: • Peluang keduanya tidak lulus adalah 0,22. • Peluang keduanya tidak lulus dapat dihitung dengan mengalikan peluang masing-masing tidak lulus: $P(\text{Andi tidak lulus})=1-0,45=0,55$ $P(\text{Dimas tidak lulus})=1-0,6=0,4$ • $P(\text{Keduanya tidak lulus})=0,55\times 0,4=0,22$ • Pernyataan 3 benar. • Pernyataan 4: • Peluang Dimas tidak lulus adalah 0,55. • Peluang Dimas tidak lulus: $P(\text{Dimas tidak lulus})=1-P(\text{Dimas lulus})=1-0,6=0,4$ • Pernyataan 4 salah karena bukan 0,55. • Jawaban yang benar adalah B. 1 dan 3 SAJA yang benar.

Penyelesaian: • Diketahui: - Peluang Budi lulus = 0,5 - Peluang Candra lulus = 0,7 • Peluang keduanya lulus: $P(\text{Budi lulus dan Candra lulus})=0,5\times 0,7=0,35$ • Pernyataan ini benar. • Peluang salah satu tidak lulus: $P(\text{Salah satu tidak lulus})=1-P(\text{Keduanya lulus})=1-0,35=0,65$ • Pernyataan ini benar. • Peluang keduanya tidak lulus: $P(\text{Budi tidak lulus})=1-0,5=0,5$ $P(\text{Candra tidak lulus})=1-0,7=0,3$ $P(\text{Keduanya tidak lulus})=0,5\times 0,3=0,15$ • Pernyataan ini benar. • Peluang Candra tidak lulus: • $P(\text{Candra tidak lulus})=1-0,7=0,3$ • Pernyataan ini benar. • Jawaban yang benar adalah E. SEMUA pilihan benar.

Penyelesaian: • Diketahui: - Peluang Eko lulus = 0,6 - Peluang Farid lulus = 0,8 • Peluang keduanya lulus: $P(\text{Eko lulus dan Farid lulus})=0,6\times 0,8=0,48$ • Pernyataan ini benar. • Peluang salah satu tidak lulus: $P(\text{Salah satu tidak lulus})=1-P(\text{Keduanya lulus})=1-0,48=0,52$ • Pernyataan ini benar. • Peluang keduanya tidak lulus: $P(\text{Eko tidak lulus})=1-0,6=0,4$ $P(\text{Farid tidak lulus})=1-0,8=0,2$ $P(\text{Keduanya tidak lulus})=0,4\times 0,2=0,08$ • Pernyataan ini benar. • Peluang Eko tidak lulus: • $P(\text{Eko tidak lulus})=1-0,6=0,4$ • Pernyataan ini benar. • Jawaban yang benar adalah E. SEMUA pilihan benar.

Penyelesaian: • Diketahui: - Peluang Galih lulus = 0,7 - Peluang Hana lulus = 0,5 • Peluang keduanya lulus: $P(\text{Galih lulus dan Hana lulus})=0,7\times 0,5=0,35$ • Pernyataan ini benar. • Peluang salah satu tidak lulus: $P(\text{Salah satu tidak lulus})=1-P(\text{Keduanya lulus})=1-0,35=0,65$ • Pernyataan ini benar. • Peluang keduanya tidak lulus: $P(\text{Galih tidak lulus})=1-0,7=0,3$ $P(\text{Hana tidak lulus})=1-0,5=0,5$ $P(\text{Keduanya tidak lulus})=0,3\times 0,5=0,15$ • Pernyataan ini benar. • Peluang Hana tidak lulus: $P(\text{Hana tidak lulus})=1-0,5=0,5$ • Pernyataan ini benar. • Jawaban yang benar adalah E. SEMUA pilihan benar.

Penyelesaian: • Untuk menemukan jumlah bilangan ganjil tujuh angka yang dapat dibentuk dari angka 1, 2, 4, 6, dan 8 dengan syarat semua angka selain 1 muncul tepat dua kali, kita harus mengikuti langkah-langkah berikut: • Susunan angka dalam bilangan ganjil: Bilangan ganjil harus berakhir dengan angka ganjil. Dalam himpunan angka yang diberikan, hanya 1 yang ganjil. Oleh karena itu, angka terakhir harus 1. • Angka yang digunakan: Selain angka 1, angka 2, 4, 6, dan 8 muncul masing-masing dua kali. Jadi, susunan angka yang mungkin adalah dua 2, dua 4, dua 6, dua 8, dan satu 1. • Posisi angka 1: Angka 1 ditempatkan di posisi terakhir. Sisa 6 posisi ditempati oleh angka 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8. • Menghitung permutasi: Jumlah total permutasi dari 7 angka di mana angka 1 sudah ditetapkan di posisi terakhir dan angka lainnya di posisi pertama hingga keenam adalah: $\frac{6!}{2!\times 2!\times 2!}=\frac{720}{8}=90$ • Jawaban yang benar adalah B. 90.

Penyelesaian: • Diketahui: - $m$ bola putih - $n$ bola merah - $mn=120$ - $m<n$ - Peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $\frac{5}{7}$ • Peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah komplemen dari peluang terambilnya kedua bola merah: $P(\text{terambil 2 bola merah})=1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7}$ • Peluang terambilnya 2 bola merah: $P(\text{terambil 2 bola merah})=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{2}\right)}=\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{(m+n)(m+n-1)}{2}}=\frac{n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)}$ • Diketahui: $\frac{n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)}=\frac{2}{7}$ • Maka: $7n(n-1)=2(m+n)(m+n-1)$ • Substitusi $mn=120$: $m\cdot n=120$ • Kita cari pasangan $(m,n)$ yang memenuhi $m\cdot n=120$ dan $m<n$: - Pasangan $(10,12)$ • Kita verifikasi dengan pasangan $(10,12)$: $\frac{12\times 11}{(10+12)(10+12-1)}=\frac{132}{231}$ • Kita hitung ulang: $7n(n-1)=2(m+n)(m+n-1)$ $7\times 12\times 11=2\times 22\times 21$ $924=924$ • Pasangan yang memenuhi syarat adalah $(10,12)$. Maka: $m+n=10+12=22$ • Jawaban yang benar adalah (D) 22.