Pengetahuan Kuantitatif — Paket 16

Penyelesaian: • Diketahui: - $m$ bola merah - $n$ bola putih - $m+n=16$ - Peluang terambil dua bola dengan warna berbeda = $\frac{1}{2}$ • Langkah pertama adalah menentukan peluang terambil dua bola dengan warna yang sama. Peluang dua bola dengan warna yang sama adalah komplemen dari peluang dua bola dengan warna berbeda: $P(\text{dua bola warna sama})=1-P(\text{dua bola warna berbeda})=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ • Peluang terambilnya dua bola dengan warna yang sama: $P(\text{dua bola warna sama})=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{2}\right)}$ • Dimana: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2}\right)=\frac{m(m-1)}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)=\frac{n(n-1)}{2}$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{2}\right)=\frac{(m+n)(m+n-1)}{2}$ • Sehingga: $\frac{\frac{m(m-1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{(m+n)(m+n-1)}{2}}=\frac{m(m-1)+n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)}=\frac{1}{2}$ • Diketahui: $m+n=16$ • Substitusi ke persamaan: $2[m(m-1)+n(n-1)]=(m+n)(m+n-1)$ • Substitusi $m+n=16$: $2[m(m-1)+n(n-1)]=16\cdot 15$ $2[m(m-1)+n(n-1)]=240$ $m(m-1)+n(n-1)=120$ • Karena $n=16-m$, substitusi ke dalam persamaan: $m(m-1)+(16-m)(15-m)=120$ $m^2-m+240-31m+m^2=120$ $2m^2-32m+240=120$ $2m^2-32m+120=0$ $m^2-16m+60=0$ • Solusi dari persamaan kuadrat $m^2-16m+60=0$: $m=\frac{16\pm \sqrt{16^2-4\cdot 1\cdot 60}}{2\cdot 1}$ $m=\frac{16\pm \sqrt{256-240}}{2}$ $m=\frac{16\pm \sqrt{16}}{2}$ $m=\frac{16\pm 4}{2}$ Jadi: $m=\frac{20}{2}=10\text{atau}m=\frac{12}{2}=6$ Jika $m=10$, maka $n=16-10=6$. Jika $m=6$, maka $n=16-6=10$. • Sekarang kita hitung $m^2+n^2$: Jika $m=10$ dan $n=6$: $m^2+n^2=10^2+6^2=100+36=136$ Jika $m=6$ dan $n=10$: $m^2+n^2=6^2+10^2=36+100=136$ • Jadi nilai dari $m^2+n^2$ adalah (D) 136.

Penyelesaian: • Password Dinda hanya terdiri dari satu huruf saja sehingga $n(E)=1$. Hasil yang mungkin terketik adalah $a,i,u,e,o$, banyak anggota ruang sampel atau $n(S)=5$. • Peluang Dinda gagal adalah: $P(E^{\prime })=1-P(E)$ $=1-\frac{n(E)}{n(S)}$ $=1-\frac{1}{5}$ $=\frac{4}{5}$ • Jadi, pilihan yang sesuai adalah (B) $\frac{4}{5}$

Penjelasan: Matriks $A^T$ adalah transpos dari matriks $A$. Jadi, jika $A^T$ berordo $5\times 8$, maka matriks $A$ berordo $8\times 5$. Jawaban: H. $8\times 5$

Penjelasan: Matriks $A^T$ adalah transpos dari matriks $A$. Jadi, jika $A^T$ berordo $5\times 8$, maka matriks $A$ berordo $8\times 5$. Jawaban: E. $8\times 5$

Penjelasan: Matriks $B^T$ adalah transpos dari matriks $B$. Jadi, jika $B^T$ berordo $9\times 4$, maka matriks $B$ berordo $4\times 9$. Jawaban: D. $4\times 9$

Penjelasan: Matriks $C^T$ adalah transpos dari matriks $C$. Jadi, jika $C^T$ berordo $7\times 10$, maka matriks $C$ berordo $10\times 7$. Jawaban: B. $10\times 7$

Penjelasan: Matriks $D^T$ adalah transpos dari matriks $D$. Jadi, jika $D^T$ berordo $6\times 15$, maka matriks $D$ berordo $15\times 6$. Jawaban: C. $15\times 6$

Penyelesaian: $A^2=A\times A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$ ● Baris pertama, kolom pertama: $(2\times 2)+(1\times 3)=4+3=7$ ● Baris pertama, kolom kedua: $(2\times 1)+(1\times 4)=2+4=6$ ● Baris kedua, kolom pertama: $(3\times 2)+(4\times 3)=6+12=18$ ● Baris kedua, kolom kedua: $(3\times 1)+(4\times 4)=3+16=19$ ● Jadi, hasil dari matriks $A^2$ adalah: $A^2=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 18& 19\end{array}\right)$ ● Jawaban yang benar: C. $\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 18& 19\end{array}\right)$

Penyelesaian: $A^2=A\times A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$ ● Baris pertama, kolom pertama: $(2\times 2)+(1\times 3)=4+3=7$ ● Baris pertama, kolom kedua: $(2\times 1)+(1\times 4)=2+4=6$ ● Baris kedua, kolom pertama: $(3\times 2)+(4\times 3)=6+12=18$ ● Baris kedua, kolom kedua: $(3\times 1)+(4\times 4)=3+16=19$ ● Jadi, hasil dari matriks $A^2$ adalah: $A^2=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 18& 19\end{array}\right)$ ● Jawaban yang benar: C. $\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 18& 19\end{array}\right)$

Penyelesaian: $A^2=A\times A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$ ● Baris pertama, kolom pertama: $(2\times 2)+(1\times 3)=4+3=7$ ● Baris pertama, kolom kedua: $(2\times 1)+(1\times 4)=2+4=6$ ● Baris kedua, kolom pertama: $(3\times 2)+(4\times 3)=6+12=18$ ● Baris kedua, kolom kedua: $(3\times 1)+(4\times 4)=3+16=19$ ● Jadi, hasil dari matriks $A^2$ adalah: $A^2=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 18& 19\end{array}\right)$ ● Jawaban yang benar: C. $\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 18& 19\end{array}\right)$

Penyelesaian: $C^2=C\times C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ ● Baris pertama, kolom pertama: $(1\times 1)+(2\times 2)=1+4=5$ ● Baris pertama, kolom kedua: $(1\times 2)+(2\times 3)=2+6=8$ ● Baris kedua, kolom pertama: $(2\times 1)+(3\times 2)=2+6=8$ ● Baris kedua, kolom kedua: $(2\times 2)+(3\times 3)=4+9=13$ ● Jadi, hasil dari matriks $C^2$ adalah: $C^2=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 8& 13\end{array}\right)$ ● Jawaban yang benar: A. $\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 8& 13\end{array}\right)$

Penyelesaian: $C^2=C\times C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ ● Baris pertama, kolom pertama: $(1\times 1)+(2\times 2)=1+4=5$ ● Baris pertama, kolom kedua: $(1\times 2)+(2\times 3)=2+6=8$ ● Baris kedua, kolom pertama: $(2\times 1)+(3\times 2)=2+6=8$ ● Baris kedua, kolom kedua: $(2\times 2)+(3\times 3)=4+9=13$ ● Jadi, hasil dari matriks $C^2$ adalah: $C^2=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 8& 13\end{array}\right)$ ● Jawaban yang benar: A. $\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 8& 13\end{array}\right)$

Penyelesaian: $D^2=D\times D=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 1\end{array}\right)$ ● Baris pertama, kolom pertama: $(2\times 2)+(3\times 4)=4+12=16$ ● Baris pertama, kolom kedua: $(2\times 3)+(3\times 1)=6+3=9$ ● Baris kedua, kolom pertama: $(4\times 2)+(1\times 4)=8+4=12$ ● Baris kedua, kolom kedua: $(4\times 3)+(1\times 1)=12+1=13$ ● Jadi, hasil dari matriks $D^2$ adalah: $D^2=\left(\begin{array}{cc}16& 9\\ 12& 13\end{array}\right)$ ● Jawaban yang benar: A. $\left(\begin{array}{cc}16& 9\\ 12& 13\end{array}\right)$

Penyelesaian: $E^2=E\times E=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ ● Baris pertama, kolom pertama: $(0\times 0)+(1\times 2)=0+2=2$ ● Baris pertama, kolom kedua: $(0\times 1)+(1\times 3)=0+3=3$ ● Baris kedua, kolom pertama: $(2\times 0)+(3\times 2)=0+6=6$ ● Baris kedua, kolom kedua: $(2\times 1)+(3\times 3)=2+9=11$ ● Jadi, hasil dari matriks $E^2$ adalah: $E^2=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 6& 11\end{array}\right)$ ● Jawaban yang benar: A. $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 6& 11\end{array}\right)$

Penyelesaian: ● Menggunakan rumus determinan untuk matriks 3x3: $|Y|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$ ● Di mana $Y$ adalah: $\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$ ● Substitusi nilai-nilai dari matriks $Y$: $a=2,b=-3,c=1,d=0,e=5,f=-2,g=4,h=-1,i=3$ ● Menghitung setiap bagian: $ei-fh=(5\cdot 3)-(-2\cdot -1)=15-2=13$ $di-fg=(0\cdot 3)-(-2\cdot 4)=0+8=8$ $dh-eg=(0\cdot -1)-(5\cdot 4)=0-20=-20$ ● Sehingga, $|Y|=2(13)-(-3)(8)+1(-20)=26+24-20=30$ ● Jawaban: D.30.

Penyelesaian: ● Menggunakan rumus determinan untuk matriks 3x3: |Y| = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) ● Di mana $Y$ adalah: $\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$ ● Substitusi nilai-nilai dari matriks $Y$: $a=2,b=-3,c=1,d=0,e=5,f=-2,g=4,h=-1,i=3$ ● Menghitung setiap bagian: $ei-fh=(5\cdot 3)-(-2\cdot -1)=15-2=13$ $di-fg=(0\cdot 3)-(-2\cdot 4)=0+8=8$ $dh-eg=(0\cdot -1)-(5\cdot 4)=0-20=-20$ ● Sehingga, $|Y|=2(13)-(-3)(8)+1(-20)=26+24-20=30$ ● Jawaban: D.30.

Penyelesaian: ● Menggunakan rumus determinan untuk matriks 3x3: $|Z|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$ ● Di mana $Z$ adalah: $\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$ ● Substitusi nilai-nilai dari matriks $Z$: $a=1,b=2,c=3,d=0,e=-1,f=4,g=5,h=-2,i=6$ ● Menghitung setiap bagian: $ei-fh=(-1\cdot 6)-(4\cdot -2)=-6+8=2$ $di-fg=(0\cdot 6)-(4\cdot 5)=0-20=-20$ $dh-eg=(0\cdot -2)-(-1\cdot 5)=0+5=5$ ● Sehingga, $|Z|=1(2)-2(-20)+3(5)=2+40+15=57$ ● Jawaban: E. 57.

Penyelesaian: ● Menggunakan rumus determinan untuk matriks 3x3: $|Z|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$ ● Di mana $Z$ adalah: $\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$ ● Substitusi nilai-nilai dari matriks $Z$: $a=1,b=2,c=3,d=0,e=-1,f=4,g=5,h=-2,i=6$ ● Menghitung setiap bagian: $ei-fh=(-1\cdot 6)-(4\cdot -2)=-6+8=2$ $di-fg=(0\cdot 6)-(4\cdot 5)=0-20=-20$ $dh-eg=(0\cdot -2)-(-1\cdot 5)=0+5=5$ ● Sehingga, $|Z|=1(2)-2(-20)+3(5)=2+40+15=57$ ● Jawaban: E. 57.

Penyelesaian: ● Menggunakan rumus determinan untuk matriks 3x3: |Z| = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) ● Di mana $Z$ adalah: $\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$ ● Substitusi nilai-nilai dari matriks $Z$: $a=1,b=2,c=3,d=0,e=-1,f=4,g=5,h=-2,i=6$ ● Menghitung setiap bagian: $ei-fh=(-1\cdot 6)-(4\cdot -2)=-6+8=2$ $di-fg=(0\cdot 6)-(4\cdot 5)=0-20=-20$ $dh-eg=(0\cdot -2)-(-1\cdot 5)=0+5=5$ ● Sehingga, $|Z|=1(2)-2(-20)+3(5)=2+40+15=57$ ● Jawaban: E. 57.

Penyelesaian: ● Menggunakan rumus determinan untuk matriks 3x3: $|W|=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$ ● Di mana $W$ adalah: $\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& I\end{array}\right)$ ● Substitusi nilai-nilai dari matriks $W$: $a=3,b=-1,c=2,d=4,e=0,f=-3,g=1,h=5,i=2$ ● Menghitung setiap bagian: $ei-fh=(0\cdot 2)-(-3\cdot 5)=0+15=15$ $di-fg=(4\cdot 2)-(-3\cdot 1)=8+3=11$ $dh-eg=(4\cdot 5)-(0\cdot 1)=20-0=20$ ● Sehingga, $|W|=3(15)-(-1)(11)+2(20)=45+11+40=96$ ● Jawaban: B. 96.