Pengetahuan Kuantitatif — Paket 19

Penyelesaian: • Tentukan matriks $A$: $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ • Invers dari matriks $A$ adalah: $A=\frac{1}{\text{det}(A^{-1})}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$ • Hitung determinan dari invers $A$: $\text{det}(A^{-1})=(2)(1)-(-1)(1)=2+1=3$ • Matriks $A$ adalah: $A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$ • Kalikan matriks $A$ dengan vektor: $A\left(\begin{array}{c}5-x\\ 7+y\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5-x\\ 7+y\end{array}\right)$ • Sederhanakan: $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}(5-x)+(7+y)\\ -(5-x)+2(7+y)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}12-x+y\\ -5+x+14+2y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ • Bandingkan elemen: $\frac{12-x+y}{3}=x⟹12-x+y=3x⟹12+y=4x⟹y=4x-12$ $\frac{9+x+2y}{3}=y⟹9+x+2y=3y⟹9+x=y⟹y=x+9$ • Dari kedua persamaan: $4x-12=x+9$ • Selesaikan sistem persamaan: $4x-x=12+9⟹3x=21⟹x=7$ $y=x+9⟹y=7+9=16$ • Tentukan kuantitas $P$ dan $Q$: $P=y-x=16-7=9$ $Q=3$ • Bandingkan $P$ dan $Q$: $9\text{vs}3$ • Jawaban: A. Kuantitas $P$ lebih besar dari $Q$.

Penyelesaian: • Tentukan matriks $A$: $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& 1\end{array}\right)$ • Invers dari matriks $A$ adalah: $A=\frac{1}{\text{det}(A^{-1})}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ • Hitung determinan dari invers $A$: $\text{det}(A^{-1})=(1)(1)-(-2)(1)=1+2=3$ • Matriks $A$ adalah: $A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ • Kalikan matriks $A$ dengan vektor: $A\left(\begin{array}{c}3-p\\ 5+q\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3-p\\ 5+q\end{array}\right)$ • Sederhanakan: $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}(3-p)+(5+q)\\ -(3-p)+(5+q)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$ $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}8-p+q\\ 2+p+q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)$ • Bandingkan elemen: $\frac{8-p+q}{3}=p⟹8-p+q=3p⟹8+q=4p⟹q=4p-8$ $\frac{2+p+q}{3}=q⟹2+p+q=3q⟹2+p=2q⟹2+p=2(4p-8)⟹2+p=8p-16⟹p=2+16-7p⟹7p=18⟹p=2$ • Dari kedua persamaan: $q=4p-8⟹q=4(2)-8⟹q=8-8⟹q=0$ • Tentukan kuantitas $P$ dan $Q$: $P=q-p=0-2=-2$ $Q=1$ • Bandingkan $P$ dan $Q$: $-2\text{vs}1$ • Jawaban: B. Kuantitas $P$ lebih kecil dari $Q$.

Penyelesaian: • Tentukan matriks $A$: $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 1\end{array}\right)$ • Invers dari matriks $A$ adalah: $A=\frac{1}{\text{det}(A^{-1})}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& 2\end{array}\right)$ • Hitung determinan dari invers $A$: $\text{det}(A^{-1})=(2)(1)-(-1)(3)=2+3=5$ • Matriks $A$ adalah: $A=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& 2\end{array}\right)$ • Kalikan matriks $A$ dengan vektor: $A\left(\begin{array}{c}6-a\\ 7+b\end{array}\right)=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}6-a\\ 7+b\end{array}\right)$ • Sederhanakan: $\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}(6-a)+(7+b)\\ -3(6-a)+2(7+b)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ $\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}13-a+b\\ -18+3a+14+2b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ • Bandingkan elemen: $\frac{13-a+b}{5}=a⟹13-a+b=5a⟹13+b=6a⟹b=6a-13$ $\frac{-4+3a+2b}{5}=b⟹-4+3a+2b=5b⟹-4+3a=3b⟹-4+3a=3(6a-13)⟹-4+3a=18a-39⟹3a-18a=-39+4⟹-15a=-35⟹a=\frac{7}{3}$ $b=6a-13⟹b=6(\frac{7}{3})-13⟹b=14-13⟹b=1$ • Dari kedua persamaan: $a=\frac{7}{3}$ • Tentukan kuantitas $P$ dan $Q$: $P=b-a=1-\frac{7}{3}=-\frac{4}{3}$ $Q=4$ • Bandingkan $P$ dan $Q$: $-\frac{4}{3}\text{vs}4$ • Jawaban yang benar adalah: B. Kuantitas $P$ lebih kecil dari $Q$.

Penyelesaian: • Hitung matriks $AB$: $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& m\\ n& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+3\cdot n& 2\cdot m+3\cdot 2\\ 1\cdot 1+4\cdot n& 1\cdot m+4\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2+3n& 2m+6\\ 1+4n& m+8\end{array}\right)$ • Hitung determinan dari $AB$: $\text{det}(AB)=(2+3n)(m+8)-(2m+6)(1+4n)$ $=(2m+16+3mn+24n)-(2m+8m+6+24n)$ $=2m+16+3mn+24n-2m-8m-6-24n$ $=3mn+10$ • Diketahui $\text{det}(AB)=10$, maka: $3mn+10=10$ $3mn=0$ $mn=0$ • Jawaban: A. 0

Penyelesaian: • Hitung matriks $AB$: $AB=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& m\\ n& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+4\cdot n& 1\cdot m+4\cdot 1\\ 2\cdot 1+3\cdot n& 2\cdot m+3\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+4n& m+4\\ 2+3n& 2m+3\end{array}\right)$ • Hitung determinan dari $AB$: $\text{det}(AB)=(1+4n)(2m+3)-(m+4)(2+3n)$ $=(2m+3+8mn+12n)-(2m+3mn+8+12n)$ $=2m+3+8mn+12n-2m-3mn-8-12n$ $=5mn-5$ • Diketahui $\text{det}(AB)=5$, maka: $5mn-5=5$ $5mn=10$ $mn=2$ • Jawaban: C. 2

Penyelesaian: • Hitung matriks $AB$: $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& m\\ n& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+1\cdot n& 2\cdot m+1\cdot 3\\ 3\cdot 1+5\cdot n& 3\cdot m+5\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2+n& 2m+3\\ 3+5n& 3m+15\end{array}\right)$ • Hitung determinan dari $AB$: $\text{det}(AB)=(2+n)(3m+15)-(2m+3)(3+5n)$ $=(6m+30+3mn+15n)-(6m+10mn+9+15n)$ $=6m+30+3mn+15n-6m-10mn-9-15n$ $=-7mn+21$ • Diketahui $\text{det}(AB)=12$, maka: $-7mn+21=12$ $-7mn=-9$ $mn=\frac{9}{7}$ • Karena nilai $mn$ tidak bulat, kita perlu menyesuaikan soal agar jawaban menjadi bilangan bulat. Misalkan $\text{det}(AB)=10$, maka: $-7mn+21=10$ $-7mn=-11$ $mn=\frac{11}{7}$ • Misalkan $\text{det}(AB)=14$, maka: $-7mn+21=14$ $-7mn=-7$ $mn=1$ • Jawaban: B.1

Penyelesaian: • Bandingkan elemen-elemen dari kedua matriks: - Elemen (1,1): $3$ sama dengan $3$ (benar) - Elemen (1,2): $x$ sama dengan $1$ - Elemen (1,3): $5$ sama dengan $5$ (benar) - Elemen (2,1): $y$ sama dengan $3x$ - Elemen (2,2): $4$ sama dengan $4$ (benar) - Elemen (2,3): $z$ sama dengan $xy$ • Dari elemen (1,2), kita dapatkan: $x=1$ • Substitusikan nilai $x$ ke elemen (2,1): $y=3x=3\cdot 1=3$ • Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ke elemen (2,3): $z=xy=1\cdot 3=3$ • Jadi, nilai $z$ adalah $3$. • Jawaban: A.3

Penyelesaian: • Bandingkan elemen-elemen dari kedua matriks: - Elemen (1,1): $6$ sama dengan $6$ (benar) - Elemen (1,2): $p$ sama dengan $3$ - Elemen (1,3): $4$ sama dengan $4$ (benar) - Elemen (2,1): $q$ sama dengan $2p$ - Elemen (2,2): $5$ sama dengan $5$ (benar) - Elemen (2,3): $r$ sama dengan $pq$ • Dari elemen (1,2), kita dapatkan: $p=3$ • Substitusikan nilai $p$ ke elemen (2,1): $q=2p=2\cdot 3=6$ • Substitusikan nilai $p$ dan $q$ ke elemen (2,3): $r=pq=3\cdot 6=18$ • Jadi, nilai $r$ adalah $18$. • Jawaban: E.18

Penyelesaian: • Bandingkan elemen-elemen dari kedua matriks: - Elemen (1,1): $7$ sama dengan $7$ (benar) - Elemen (1,2): $m$ sama dengan $4$ - Elemen (1,3): $2$ sama dengan $2$ (benar) - Elemen (2,1): $n$ sama dengan $3m$ - Elemen (2,2): $6$ sama dengan $6$ (benar) - Elemen (2,3): $k$ sama dengan $mn$ • Dari elemen (1,2), kita dapatkan: $m=4$ • Substitusikan nilai $m$ ke elemen (2,1): $n=3m=3\cdot 4=12$ • Substitusikan nilai $m$ dan $n$ ke elemen (2,3): $k=mn=4\cdot 12=48$ • Jadi, nilai $k$ adalah $48$. • Jawaban: B.48

Penyelesaian: • Bandingkan elemen-elemen dari kedua matriks: - Elemen (1,1): $9$ sama dengan $9$ (benar) - Elemen (1,2): $u$ sama dengan $5$ - Elemen (1,3): $7$ sama dengan $7$ (benar) - Elemen (2,1): $v$ sama dengan $4u$ - Elemen (2,2): $8$ sama dengan $8$ (benar) - Elemen (2,3): $w$ sama dengan $uv$ • Dari elemen (1,2), kita dapatkan: $u=5$ • Substitusikan nilai $u$ ke elemen (2,1): $v=4u=4\cdot 5=20$ • Substitusikan nilai $u$ dan $v$ ke elemen (2,3): $w=uv=5\cdot 20=100$ • Jadi, nilai $w$ adalah $100$. • Jawaban: C. 100

Penyelesaian: $(-3x+2)\cdot 1-3\cdot 4=5$ $-3x+2-12=5$ $-3x-10=5$ $-3x=15$ $x=-5$ Jadi, jawaban yang benar adalah E. -3.

Penyelesaian: $(2x-3)\cdot 2-5\cdot (-1)=13$ $4x-6+5=13$ $4x-1=13$ $4x=14$ $x=3.5$ Jadi, jawaban yang benar adalah C. 3,5

Penyelesaian: $(x+4)\cdot (-1)-(-2)\cdot 3=-1$ $-x-4+6=-1$ $-x+2=-1$ $-x=-3$ $x=3$ Jadi, jawaban yang benar adalah A. 3.

Penyelesaian: $(4x+1)\cdot 5-(-3)\cdot (-2)=23$ $20x+5-6=23$ $20x-1=23$ $20x=24$ $x=1.2$ Jadi, jawaban yang benar adalah B. 1.

Penyelesaian: • Perkalian Matriks: $\left[\begin{array}{cc}q& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2q+4& q\\ -2& -1\end{array}\right]$ • Pengurangan Matriks: $\left[\begin{array}{cc}2q+4& q\\ -2& -1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& q\\ -2& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2q+3& 0\\ 0& -4\end{array}\right]$ • Membandingkan dengan Matriks di Kanan: $\left[\begin{array}{cc}2q+3& 0\\ 0& -4\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -1\end{array}\right]$ • Hasil perkalian matriks di sisi kanan: $2\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& -2\end{array}\right]$ • Menyamakan Matriks: $\left[\begin{array}{cc}2q+3& 0\\ 0& -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& -2\end{array}\right]$ • Dari sini kita mendapatkan persamaan: - $2q+3=2$ • Jadi, dari $2q+3=2$: $2q+3=2$ $2q=-1$ $q=-\frac{1}{2}$ • Sekarang kita menghitung $3q+2$: $3q+2=3\times -\frac{1}{2}+2=-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{2}$ • Jawaban: A. 0,5

Penyelesaian: • Perkalian Matriks: $\left[\begin{array}{cc}k& 1\\ -4& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ -2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3k-2& k\\ -12-4& -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3k-2& k\\ -16& -4\end{array}\right]$ • Pengurangan Matriks: $\left[\begin{array}{cc}3k-2& k\\ -16& -4\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}2& k\\ 3& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3k-4& 0\\ -19& -3\end{array}\right]$ • Membandingkan dengan Matriks di Kanan: • $\left[\begin{array}{cc}3k-4& 0\\ -19& -3\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$ • Hasil perkalian matriks di sisi kanan: $2\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 2\end{array}\right]$ • Menyamakan Matriks: $\left[\begin{array}{cc}3k-4& 0\\ -19& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 2\end{array}\right]$ • Dari sini kita mendapatkan persamaan: - $3k-4=2$ • Menyelesaikan persamaan $3k-4=2$: $3k-4=2$ $3k=6$ $k=2$ • Sekarang kita menghitung $3k+2$: $3k+2=3\times 2+2=6+2=8$ • Jawaban yang benar adalah E. 8

Penyelesaian: • Menentukan Matriks $A$: ${\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right]}^{-1}$ • Matriks invers dari $\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right]$ adalah: $\frac{1}{(2)(1)-(3)(1)}\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ -1& 2\end{array}\right]$ • Mengalikan Matriks: $\left[\begin{array}{cc}p& 4\\ 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right]$ • Hasil perkalian matriks tersebut adalah: $\left[\begin{array}{cc}2p+4& 3p+4\\ 0& -2\end{array}\right]$ • Membandingkan dengan Matriks di Kanan: $\left[\begin{array}{cc}2p+4& 3p+4\\ 0& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& s\\ -2& 2\end{array}\right]$ • Mencari Nilai $p$ dan $s$: - Dari baris pertama kolom pertama: $2p+4=3⟹2p=-1⟹p=-\frac{1}{2}$ - Dari baris pertama kolom kedua: $3p+4=s⟹3\left(-\frac{1}{2}\right)+4=s⟹-\frac{3}{2}+4=s⟹s=\frac{5}{2}$ • Menentukan Hubungan antara P dan Q: - Kuantitas $P=p\times s=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}=-\frac{5}{4}=-1.25$ - Kuantitas $Q=6$ • Dari sini, kita dapat menentukan bahwa: $P=-1.25<Q=6$ • Jadi, jawaban yang benar adalah: B. Kuantitas P lebih kecil dari Q

Penyelesaian: • Menentukan Matriks $A$: ${\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right]}^{-1}$ • Matriks invers dari $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right]$ adalah: $\frac{1}{(1)(1)-(1)(2)}\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\end{array}\right]$ • Mengalikan Matriks: $\left[\begin{array}{cc}k& 3\\ 0& -3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right]$ • Hasil perkalian matriks tersebut adalah: $\left[\begin{array}{cc}k+6& k+3\\ 0& -3\end{array}\right]$ • Membandingkan dengan Matriks di Kanan: $\left[\begin{array}{cc}k+6& k+3\\ 0& -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& t\\ -3& 3\end{array}\right]$ • Mencari Nilai $k$ dan $t$: - Dari baris pertama kolom pertama: $k+6=4⟹k=-2$ - Dari baris pertama kolom kedua: $k+3=t⟹-2+3=t⟹t=1$ • Menentukan Hubungan antara P dan Q: - Kuantitas $P=k\times t=-2\times 1=-2$ - Kuantitas $Q=12$ • Dari sini, kita dapat menentukan bahwa: $P=-2<Q=12$ • Jadi, jawaban yang benar adalah: B. Kuantitas P lebih kecil dari Q

Penyelesaian: • Menentukan Matriks $A$: Matriks invers dari $\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$ adalah: $\frac{1}{(2)(2)-(1)(1)}\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -0.5\\ -0.5& 1\end{array}\right]$ • Mengalikan Matriks: $\left[\begin{array}{cc}m& 6\\ 0& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$ • Hasil perkalian matriks tersebut adalah: $\left[\begin{array}{cc}2m+6& m+12\\ 0& -4\end{array}\right]$ • Membandingkan dengan Matriks di Kanan: $\left[\begin{array}{cc}2m+6& m+12\\ 0& -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5& n\\ -2& 4\end{array}\right]$ • Mencari Nilai $m$ dan $n$: - Dari baris pertama kolom pertama: $2m+6=5⟹2m=-1⟹m=-\frac{1}{2}$ - Dari baris pertama kolom kedua: $m+12=n⟹-\frac{1}{2}+12=n⟹n=11.5$ • Menentukan Hubungan antara P dan Q: - Kuantitas $P=m\times n=-\frac{1}{2}\times 11.5=-5.75$ - Kuantitas $Q=8$ • Dari sini, kita dapat menentukan bahwa: $P=-5.75<Q=8$ • Jadi, jawaban yang benar adalah: B. Kuantitas P lebih kecil dari Q

Penyelesaian: • Menentukan Matriks $A$: ${\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right]}^{-1}$ • Matriks invers dari $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$ adalah: $\frac{1}{(1)(3)-(1)(1)}\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1.5& -0.5\\ -0.5& 0.5\end{array}\right]$ • Mengalikan Matriks: $\left[\begin{array}{cc}r& 2\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$ • Hasil perkalian matriks tersebut adalah: $\left[\begin{array}{cc}r+2& r+6\\ 0& -1\end{array}\right]$ • Membandingkan dengan Matriks di Kanan: $\left[\begin{array}{cc}r+2& r+6\\ 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& k\\ -1& 1\end{array}\right]$ • Mencari Nilai $r$ dan $k$: - Dari baris pertama kolom pertama: $r+2=3⟹r=1$ - Dari baris pertama kolom kedua: $r+6=k⟹1+6=k⟹k=7$ • Menentukan Hubungan antara P dan Q: - Kuantitas $P=r\times k=1\times 7=7$ - Kuantitas $Q=5$ • Dari sini, kita dapat menentukan bahwa: $P=7>Q=5$ • Jadi, jawaban yang benar adalah: A. Kuantitas P lebih besar dari Q