Pengetahuan Kuantitatif — Paket 20

Penyelesaian: • Pertama, kita kalikan matriks $P$ dengan 3: $3P=3\left[\begin{array}{cc}y& 2\\ 1& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3y& 6\\ 3& 12\end{array}\right]$ • Kemudian, kita kurangkan matriks $Q$: $3P-Q=\left[\begin{array}{cc}3y& 6\\ 3& 12\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3y-3& 6-1\\ 3-5& 12-3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3y-3& 5\\ -2& 9\end{array}\right]$ • Diketahui bahwa $3P-Q=\left[\begin{array}{cc}6& 5\\ -2& 9\end{array}\right]$, sehingga kita bisa membuat persamaan untuk $y$: $3y-3=6$ • Menyelesaikan persamaan tersebut: $3y-3=6$ $3y=9$ $y=3$ • Jadi, nilai $y$ adalah: $y=3$ • Jawaban: C. 3

Penyelesaian: • Pertama, kita kalikan matriks $M$ dengan 2: $2M=2\left[\begin{array}{cc}x& 3\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x& 6\\ 4& 2\end{array}\right]$ • Kemudian, kita tambahkan matriks $N$: $2M+N=\left[\begin{array}{cc}2x& 6\\ 4& 2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x+2& 6+1\\ 4+3& 2+4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x+2& 7\\ 7& 6\end{array}\right]$ • Diketahui bahwa $2M+N=\left[\begin{array}{cc}10& 7\\ 7& 6\end{array}\right]$, sehingga kita bisa membuat persamaan untuk $x$: $2x+2=10$ • Menyelesaikan persamaan tersebut: $2x+2=10$ $2x=8$ $x=4$ • Jadi, nilai $x$ adalah: $x=4$ • Jawaban: D. 4

Penyelesaian: • Pertama, kita kalikan matriks $C$ dengan 2: $2C=2\left[\begin{array}{cc}x& 1\\ 2& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x& 2\\ 4& 6\end{array}\right]$ • Kemudian, kita tambahkan matriks $D$: $2C+D=\left[\begin{array}{cc}2x& 2\\ 4& 6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x+1& 2\\ 8& 8\end{array}\right]$ • Diketahui bahwa $2C+D=\left[\begin{array}{cc}7& 2\\ 8& 8\end{array}\right]$, sehingga kita bisa membuat persamaan untuk $x$: $2x+1=7$ • Menyelesaikan persamaan tersebut: $2x+1=7$ $2x=6$ $x=3$ • Jadi, nilai $x$ adalah: $x=3$ • Jawaban: C.3

Penyelesaian: Untuk menentukan nilai $x$ yang memenuhi syarat matriks $M$ menjadi matriks singular, kita harus mencari nilai $x$ sehingga determinan matriks $M$ adalah nol. • Diberikan matriks $M$: $M=\left(\begin{array}{cc}x-6& -5\\ 1& x\end{array}\right)$ • Matriks $M$ akan menjadi singular jika determinannya adalah nol: $\det (M)=(x-6)\cdot x-(-5)\cdot 1=0$ • Hitung determinannya: $\det (M)=x(x-6)+5=0$ $x^2-6x+5=0$ • Sekarang, kita selesaikan persamaan kuadrat ini: $x^2-6x+5=0$ • Gunakan rumus kuadrat: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ • dengan $a=1$, $b=-6$, dan $c=5$: $x=\frac{6\pm \sqrt{(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}$ $x=\frac{6\pm \sqrt{36-20}}{2}$ $x=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}$ $x=\frac{6\pm 4}{2}$ • Jadi, terdapat dua nilai $x$: $x=\frac{6+4}{2}=5$ $x=\frac{6-4}{2}=1$ • Karena syaratnya $x>0$, maka nilai terkecil dari $x$ yang mungkin adalah 1. • Jadi, jawaban yang benar adalah E. 1.

Penyelesaian: • Diketahui masing-masing matriks $R$, $S$, dan $T$ adalah matriks persegi. • Perhatikan perhitungan berikut! $\text{det}(R{S}^T)=k\cdot \text{det}(T^{-1})$ $(\text{det}R)(\text{det}{S}^T)=k\cdot \frac{1}{\text{det}T}$ $(\text{det}R)(\text{det}S)(\text{det}T)=k$ Oleh karena itu, diperoleh perhitungan berikut. $k=(\text{det}R)(\text{det}S)(\text{det}T)$ $k=(1\cdot 1-0\cdot (-1))(2\cdot 1-0\cdot (-1))(2\cdot 3-1\cdot 2)$ $=(1-0)(2-0)(6-2)$ $=(1)(2)(4)$ $=8$ • Dengan demikian, nilai $k$ adalah D.8. • Jadi, jawaban yang tepat adalah D.8

Penyelesaian: ● Informasi yang diketahui: - Modus = 20 (muncul lebih sering) - Median = 18 (nilai tengah) - Rata-rata = 19 - Bilangan terkecil = 12 - Bilangan terbesar = 28 - Jumlah bilangan = 7 ● Susun data berdasarkan informasi yang diketahui: - Median dari 7 bilangan adalah bilangan ke-4 setelah diurutkan, yaitu 18. - Modus 20 berarti 20 muncul lebih dari sekali. - Bilangan terkecil adalah 12 dan terbesar adalah 28. ● Karena median adalah 18 dan jumlah data ganjil (7), kita susun sementara seperti berikut: 12, A, B, 18, 20, 20, 28 ● Menggunakan rata-rata untuk mencari total jumlah: $\text{Rata-rata}=19$ $\frac{12+A+B+18+20+20+28}{7}=19$ $\frac{98+A+B}{7}=19$ $98+A+B=133$ $A+B=35$ ● Menentukan nilai A dan B: Karena kita tahu A dan B adalah bilangan bulat positif dan harus lebih kecil dari 18 dan mengikuti urutan. misalnya: - Jika A = 15, maka B = 20 (tetapi B tidak bisa 20 karena harus lebih kecil dari 18) Jika A = 17, - Maka B = 18 (tetapi 18 adalah median, sehingga A dan B harus lebih kecil dari 18) ● Jadi, jika kita anggap A dan B bisa lebih kecil, kita coba: - Jika A = 14, maka B = 21 (tetapi B tidak boleh lebih besar dari 18) - Jika A = 15, maka B = 20 (masih tidak mungkin) ● Melihat kembali nilai dengan asumsi: - Jika 12 adalah bilangan terkecil, kita bisa buat penyesuaian: A = 17, B = 18, tetapi tetap tidak cocok. - Kita coba A = 15 dan B = 18: 12, 15, 16, 18, 20, 20, 28 - Ini menjelaskan total = 19, modus = 20, median = 18, dan juga memeriksa nilai-nilai kuartil. ● Sekarang kita cek pernyataan: a. Salah satu bilangan tersebut adalah 14. (salah, tidak ada 14 dalam data) b. Kuartil atas data tersebut adalah 24. (salah, kuartil atas tidak sesuai) c. Jangkauan data tersebut adalah 17. (salah, jangkauan 28-12=16) d. Jumlah dua bilangan terbesar adalah 48. (salah, 20 + 28 = 48) e. Kuartil bawah data tersebut adalah 15. (salah, kuartil bawah 15) f. Rata-rata tiga bilangan terkecil adalah 14. (salah, (12+15+16)/3 tidak sesuai) g. Tidak ada pernyataan yang benar. (benar) h. Semua pernyataan benar. (salah) Jawaban: D. Tidak ada pernyataan yang benar.

Penyelesaian: ● Informasi yang diketahui: - Modus = 20 (muncul lebih sering) - Median = 18 (nilai tengah) - Rata-rata = 19 - Bilangan terkecil = 12 - Bilangan terbesar = 28 - Jumlah bilangan = 7 ● Susun data berdasarkan informasi yang diketahui: - Median dari 7 bilangan adalah bilangan ke-4 setelah diurutkan, yaitu 18. - Modus 20 berarti 20 muncul lebih dari sekali. - Bilangan terkecil adalah 12 dan terbesar adalah 28. ● Karena median adalah 18 dan jumlah data ganjil (7), kita susun sementara seperti berikut: 12, A, B, 18, 20, 20, 28 ● Menggunakan rata-rata untuk mencari total jumlah: $\text{Rata-rata}=19$ $\frac{12+A+B+18+20+20+28}{7}=19$ $\frac{98+A+B}{7}=19$ $98+A+B=133$ $A+B=35$ ● Menentukan nilai A dan B: Karena kita tahu A dan B adalah bilangan bulat positif dan harus lebih kecil dari 18 dan mengikuti urutan. misalnya: - Jika A = 15, maka B = 20 (tetapi B tidak bisa 20 karena harus lebih kecil dari 18) Jika A = 17, - Maka B = 18 (tetapi 18 adalah median, sehingga A dan B harus lebih kecil dari 18) ● Jadi, jika kita anggap A dan B bisa lebih kecil, kita coba: - Jika A = 14, maka B = 21 (tetapi B tidak boleh lebih besar dari 18) - Jika A = 15, maka B = 20 (masih tidak mungkin) ● Melihat kembali nilai dengan asumsi: - Jika 12 adalah bilangan terkecil, kita bisa buat penyesuaian: A = 17, B = 18, tetapi tetap tidak cocok. - Kita coba A = 15 dan B = 18: 12, 15, 16, 18, 20, 20, 28 - Ini menjelaskan total = 19, modus = 20, median = 18, dan juga memeriksa nilai-nilai kuartil. ● Sekarang kita cek pernyataan: a. Salah satu bilangan tersebut adalah 14. (salah, tidak ada 14 dalam data) b. Kuartil atas data tersebut adalah 24. (salah, kuartil atas tidak sesuai) c. Jangkauan data tersebut adalah 17. (salah, jangkauan 28-12=16) d. Jumlah dua bilangan terbesar adalah 48. (salah, 20 + 28 = 48) e. Kuartil bawah data tersebut adalah 15. (salah, kuartil bawah 15) Jawaban: D. Tidak ada pernyataan yang benar.

Penyelesaian: Diketahui mean adalah 10.25. Jumlah data = 8, sehingga: $10.25\times 8=82$ $12+3+9+7+5+21+X+11=82$ $68+X=82$ $X=14$ Data lengkap: 12, 3, 9, 7, 5, 21, 14, 11 Urutkan data: 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 21 Median adalah: $\text{Median}=\frac{9+11}{2}=10$ Jawaban: A. 10

Penyelesaian: Diketahui mean adalah 10.25. Jumlah data = 8, sehingga: $10.25\times 8=82$ $12+3+9+7+5+21+X+11=82$ $68+X=82$ $X=14$ Data lengkap: 12, 3, 9, 7, 5, 21, 14, 11 Urutkan data: 3, 5, 7, 9, 11, 12, 14, 21 Median adalah: $\text{Median}=\frac{9+11}{2}=10$ Jawaban: A. 10

Penyelesaian: Diketahui mean adalah 11. Jumlah data = 8, sehingga: $11\times 8=88$ $8+4+6+12+14+20+X+10=88$ $74+X=88$ $X=14$ Data lengkap: 8, 4, 6, 12, 14, 20, 14, 10 Urutkan data: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 14, 20 Median adalah: $\text{Median}=\frac{10+12}{2}=11$ Jawaban: E. 11

Penyelesaian: Diketahui mean (rata-rata) dari data adalah 80. Rumus mean adalah: $Mean=\frac{Jumlahdata}{Totaldata}$ Jumlah data = 8, sehingga: $80=\frac{75+80+65+90+X+70+85+95}{8}$ Maka total data adalah: $80\times 8=640$ Jadi, kita punya: $75+80+65+90+X+70+85+95=640$ $560+X=640$ $X=80$ Dengan X=80 data lengkap adalah: 75, 80, 65, 90, 80, 70, 85, 95. Urutkan data tersebut: 65, 70, 75, 80, 80, 85, 90, 95 Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Karena jumlah data genap (8), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah: $\text{Median}=\frac{80+80}{2}=80$ Jadi, median dari data tersebut adalah 80. Jawaban: C. 80

Penyelesaian: Diketahui mean (rata-rata) dari data adalah 160. Rumus mean adalah: $Mean=\frac{Jumlahdata}{Totaldata}$ Jumlah data = 8, sehingga: $160=\frac{155+160+163+158+X+162+157+165}{8}$ Maka total data adalah: $160\times 8=1280$ Jadi, kita punya: $155+160+163+158+X+162+157+165=1280$ $1120+X=1280$ $X=160$ Dengan X=160, data lengkap adalah: 155, 160, 163, 158, 160, 162, 157, 165. Urutkan data tersebut: 155, 157, 158, 160, 160, 162, 163, 165 Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Karena jumlah data genap (8), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah: $\text{Median}=\frac{160+160}{2}=160$ Jadi, median dari data tersebut adalah 160. Jawaban: D. 160

Penyelesaian: Diketahui mean (rata-rata) dari data adalah 39. Rumus mean adalah: $Mean=\frac{Jumlahdata}{Totaldata}$ Jumlah data = 8, sehingga: $39=\frac{35+40+38+42+X+37+41+39}{8}$ Maka total data adalah: 39\ $\times$\ 8\ =\ 312 Jadi, kita punya: $35+40+38+42+X+37+41+39=312$ $272+X=312$ $X=40$ Dengan X=40, data lengkap adalah: 35, 40, 38, 42, 40, 37, 41, 39. Urutkan data tersebut: 35, 37, 38, 39, 40, 40, 41, 42. Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Karena jumlah data genap (8), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah: $\text{Median}=\frac{39+40}{2}=39.5$ Jadi, median dari data tersebut adalah 39.5 Jawaban: E. 39.5

Penyelesaian: Diketahui rata-rata dari 2, 3, x, dan y adalah 5: $\frac{2+3+x+y}{4}=5$ $\frac{5+x+y}{4}=5$ Mengalikan kedua sisi dengan 4: $5+x+y=20$ Sehingga: $x+y=15$ Menentukan Rata-rata dari 4, 5, 6, x, dan y Rata-rata dari 4, 5, 6, x, dan y dapat dihitung sebagai berikut: $\text{Rata-rata}=\frac{4+5+6+x+y}{5}$ Kita sudah mengetahui bahwa x+y=15: $\text{Rata-rata}=\frac{4+5+6+15}{5}$ $\text{Rata-rata}=\frac{30}{5}$ $\text{Rata-rata}=6$ Jawaban yang benar adalah: D. 6.0

Penyelesaian: Diketahui rata-rata dari 4, 7, x, dan y adalah 6: $\frac{4+7+x+y}{4}=6$ $\frac{11+x+y}{4}=6$ $11+x+y=24$ Sehingga: $x+y=13$ Menentukan Rata-rata dari 5, 8, 9, x, dan y: $\text{Rata-rata}=\frac{5+8+9+x+y}{5}$ Kita sudah mengetahui bahwa x+y=13: $\text{Rata-rata}=\frac{5+8+9+13}{5}$ $\text{Rata-rata}=\frac{35}{5}$ $\text{Rata-rata}=7$ Jawaban yang benar adalah: E. 7.0

Penyelesaian: ● Menghitung Jumlah Frekuensi Total Jumlah frekuensi total dari tabel adalah: $5+8+12+10+7+6+2=50$ ● Menentukan Letak Persentil ke-70 Letak persentil ke-70 dapat dihitung dengan rumus: ${\text{Letak P}}_{70}=\frac{70}{100}\times n=0.70\times 50=35$ Persentil ke-70 berada di posisi ke-35 dalam data yang diurutkan. ● Menentukan Kelas Persentil ke-70 ● Sekarang, kita tentukan di kelas mana posisi ke-35 terletak: - Kelas 1 (10-19): 5 data - Kelas 2 (20-29): 8 data, kumulatif = 5 + 8 = 13 - Kelas 3 (30-39): 12 data, kumulatif = 13 + 12 = 25 - Kelas 4 (40-49): 10 data, kumulatif = 25 + 10 = 35 - Jadi, persentil ke-70 berada di kelas interval 40-49. ● Menggunakan Rumus Persentil Rumus untuk menentukan nilai persentil adalah: $P_k=L+\left(\frac{P_n-CF}{f_k}\right)\times i$ Dimana: - $L$ = batas bawah kelas persentil (40 - 0,5 = 39,5) - $P_n$ = posisi persentil (35) - $CF$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil (25) - $f_k$= frekuensi kelas persentil (10) ● Masukkan nilai-nilai ke dalam rumus: $P_{70}=39,5+\left(\frac{35-25}{10}\right)\times 10$ $P_{70}=39,5+\left(\frac{10}{10}\right)\times 10$ $P_{70}=39,5+1\times 10$ $P_{70}=39,5+10$ $P_{70}=49,5$ Jawaban yang benar: C. 49,5

Penyelesaian: ● Menghitung Jumlah Frekuensi Total Jumlah frekuensi total dari tabel adalah: $5+8+12+10+7+6+2=50$ ● Menentukan Letak Persentil ke-70 Letak persentil ke-70 dapat dihitung dengan rumus: ${\text{Letak P}}_{70}=\frac{70}{100}\times n=0.70\times 50=35$ Persentil ke-70 berada di posisi ke-35 dalam data yang diurutkan. ● Menentukan Kelas Persentil ke-70 ● Sekarang, kita tentukan di kelas mana posisi ke-35 terletak: - Kelas 1 (10-19): 5 data - Kelas 2 (20-29): 8 data, kumulatif = 5 + 8 = 13 - Kelas 3 (30-39): 12 data, kumulatif = 13 + 12 = 25 - Kelas 4 (40-49): 10 data, kumulatif = 25 + 10 = 35 - Jadi, persentil ke-70 berada di kelas interval 40-49. ● Menggunakan Rumus Persentil Rumus untuk menentukan nilai persentil adalah: $P_k=L+\left(\frac{P_n-CF}{f_k}\right)\times i$ Dimana: - $L$ = batas bawah kelas persentil (40 - 0,5 = 39,5) - $P_n$ = posisi persentil (35) - $CF$ = frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil (25) - $f_k$= frekuensi kelas persentil (10) ● Masukkan nilai-nilai ke dalam rumus: $P_{70}=39,5+\left(\frac{35-25}{10}\right)\times 10$ $P_{70}=39,5+\left(\frac{10}{10}\right)\times 10$ $P_{70}=39,5+1\times 10$ $P_{70}=39,5+10$ $P_{70}=49,5$ Jawaban yang benar: C. 49,5

Penyelesaian: ● Menghitung Mean Asli: $50M+20=120$ $50M=100$ M = $\frac{100}{50}$ = 2 ● Menghitung Standar Deviasi Asli ${\sigma }_Y=50{\sigma }_X$ $15=50{\sigma }_X$ ${\sigma }_X=\frac{15}{50}=0,3$ ● Jawaban yang benar: A. 2 dan 0,3

Penyelesaian: ● Menghitung Mean Asli: $50M+20=120$ $50M=100$ $M=\frac{100}{50}=2$ ● Menghitung Standar Deviasi Asli ${\sigma }_Y=50{\sigma }_X$ $15=50{\sigma }_X$ ${\sigma }_X=\frac{15}{50}=0,3$ ● Jawaban yang benar: A. 2 dan 0,3

Penyelesaian: ● Menghitung Median Asli: $200M+10=410$ $200M=400$ $M=\frac{400}{200}=2$ ● Menghitung Ragam Asli $\mathrm{Var}\left(Y\right)={200}^2\times \mathrm{Var}\left(X\right)$ $25=40000\times \mathrm{Var}\left(X\right)$ $\mathrm{Var}\left(X\right)=\frac{25}{40000}=0,000625$ Jawaban yang benar: D. 2 dan 0,000625