Pengetahuan Kuantitatif — Paket 28

Penyelesaian: 1. Menghitung volume kelereng: - Diameter kelereng = 2 cm, jadi jari-jari kelereng = 1 cm. - Volume satu kelereng = $\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (1{)}^3=\frac{4}{3}\pi {\text{cm}}^3$. - Volume 24 kelereng = 24 $\times$ $\frac{4}{3}$$\pi$ = 32$\pi$ \, $\text{cm}$^3. 2. Menghitung volume wadah berbentuk tabung: - Diameter tabung = 8 cm, jadi jari-jari tabung = 4 cm. - Tinggi tabung = 10 cm. - Volume tabung = $\pi r^{2}h=\pi (4{)}^2(10)=160\pi {\text{cm}}^3$. 3. Menentukan volume air yang tumpah: - Volume air dalam wadah penuh = volume tabung = $160\pi {\text{cm}}^3$. - Volume kelereng = $32\pi {\text{cm}}^3$. - Volume air yang tumpah = $32\pi {\text{cm}}^3$, karena volume kelereng yang dimasukkan sama dengan volume air yang akan tumpah. 4. Memeriksa Pernyataan: - Pernyataan 1 benar, volume air yang tumpah adalah $32\pi {\text{cm}}^3$. - Pernyataan 2 salah, volume air yang tumpah adalah 1/5 dari volume wadah, bukan sepertiga. - Pernyataan 3 salah, volume air yang tersisa adalah volume tabung dikurangi volume kelereng: $160\pi -32\pi =128\pi {\text{cm}}^3$, yang ini benar. - Pernyataan 4 salah, karena ada air yang tumpah. Jadi, yang benar adalah B. 1 dan 3 SAJA yang benar.

Penyelesaian: • Menghitung volume drum: - Diameter drum = 40 cm, jadi jari-jari (r) = 20 cm. - Tinggi drum (h) = 100 cm. - Volume drum = πr²h = π(20)²(100) = 40000π cm³. • Menghitung volume kaleng kecil: - Jari-jari kaleng kecil (r) = 10 cm. - Tinggi kaleng kecil (h) = 20 cm. - Volume kaleng kecil = πr²h = π(10)²(20) = 2000π cm³. • Menghitung banyak kaleng kecil yang diperlukan: - Banyak kaleng kecil = Volume drum / Volume kaleng kecil = 40000π / 2000π = 20. - Jadi, banyak kaleng kecil yang diperlukan untuk menampung minyak dari drum tersebut adalah 20 (Jawaban B).

Penyelesaian: 1. Hitung jumlah pekerjaan total yang harus diselesaikan: Pekerjaan total = 60 pekerja × 30 hari = 1800 hari pekerja. 2. Hitung jumlah pekerjaan yang telah diselesaikan selama 20 hari pertama: Jumlah pekerjaan selama 20 hari = 60 pekerja × 20 hari = 1200 hari pekerja. 3. Hitung jumlah pekerjaan yang tersisa: Pekerjaan tersisa = 1800 - 1200 = 600 hari pekerja. 4. Memasuki hari ke-21 hingga hari ke-25: - 20 pekerja sakit dan tidak bekerja, tersisa 40 pekerja. - 20 pekerja pulang kampung, tersisa 20 pekerja. Jadi, dalam 5 hari, jumlah pekerjaan yang diselesaikan: $20\text{ pekerja}\times 5\text{ hari}=100\text{ hari pekerja}$ Sehingga pekerjaan yang tersisa adalah: $600-100=500\text{ hari pekerja}$ 5. Jumlah pekerja yang kembali bekerja pada hari ke-26: Pada hari ke-26 hingga hari ke-30, semua pekerja kembali bekerja. Sehingga 60 pekerja bekerja selama 5 hari. Pekerjaan yang bisa diselesaikan oleh 60 pekerja dalam 5 hari adalah: $60\text{ pekerja}\times 5\text{ hari}=300\text{ hari pekerja}$ Namun, pekerjaan yang tersisa adalah 500 hari pekerja, sehingga masih ada kekurangan pekerjaan sebesar: $500-300=200\text{ hari pekerja}$ Oleh karena itu, untuk menyelesaikan proyek tepat waktu, diperlukan tambahan pekerja sebanyak: $\frac{200}{5}=40\text{ pekerja}$ • Jawaban yang benar adalah B. 40 pekerja.

Penyelesaian: Untuk menjawab pertanyaan mengenai jumlah lima suku pertama dari barisan aritmetika, kita perlu menganalisis informasi yang diberikan pada pernyataan 1 dan 2. Misalkan: - $a$ adalah suku pertama dari barisan aritmetika. - $d$ adalah beda (selisih tetap) dari barisan aritmetika. Pernyataan 1: Jumlah suku ke-2 dan suku ke-6 barisan tersebut adalah 70. $(a+d)+(a+5d)=70$ $2a+6d=70$ $a+3d=35\text{(1)}$ Pernyataan 2: Selisih suku ke-5 dan suku ke-3 adalah 16. $(a+4d)-(a+2d)=16$ $2d=16$ $d=8\text{(2)}$ Substitusi $d=8$ ke persamaan (1): $a+3(8)=35$ $a+24=35$ $a=11\text{(3)}$ Dengan $a$ dan $d$ diketahui, kita dapat menghitung jumlah lima suku pertama dari barisan tersebut: $\text{Jumlah lima suku pertama}=a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+(a+4d)$ $=5a+10d$ $=5(11)+10(8)$ $=55+80$ $=135$ Dengan menggunakan kedua pernyataan tersebut bersama-sama, kita bisa menentukan nilai $a$ dan $d$, lalu menghitung jumlah lima suku pertama. Masing-masing pernyataan tidak cukup untuk menjawab pertanyaan secara sendiri-sendiri, tetapi jika digunakan bersama-sama, cukup untuk menyelesaikan soal tersebut. • Pilihan jawaban yang benar adalah: C. DUA pernyataan BERSAMA-SAMA cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi SATU pernyataan SAJA tidak cukup.

Penyelesaian: Mari kita hitung nilai dari $P$ menggunakan operasi yang diberikan. Diketahui: $P=3\ast 4$ Dengan operasi $a\ast b=a+b-2ab$, kita substitusi nilai: $P=3+4-2(3\times 4)=7-24=-17$ Sementara itu, $Q=-2$. Maka, hubungan antara $P$ dan $Q$ adalah $P<Q$. • Jawaban yang benar adalah B. $Q>P$.

Penyelesaian: Mari kita hitung nilai dari $P$ menggunakan operasi yang diberikan. Diketahui: $P=3\ast 4$ Dengan operasi $a\ast b=a+b-2ab$, kita substitusi nilai: $P=3+4-2(3\times 4)=7-24=-17$ Sementara itu, $Q=-2$. Maka, hubungan antara $P$ dan $Q$ adalah $P<Q$. • Jawaban yang benar adalah B. $Q>P$.

Penyelesaian: 1. Menentukan elemen dari masing-masing himpunan: - $A=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$ (bilangan prima kurang dari 20) - $B=\{11,13,15,17,19,21,23,25,27,29\}$ (bilangan ganjil antara 10 dan 30) - $C=\{6,9,12,15,18,21,24\}$ (bilangan kelipatan 3 antara 5 dan 25) 2. Menentukan irisan $B\cap C$: $B\cap C=\{15,21\}$ (elemen yang ada di B dan C) 3. Menghitung himpunan $A\cup (B\cap C)$: $B\cap C=\{15,21\}$ $A\cup (B\cap C)=\{2,3,5,7,11,13,17,19,15,21\}$ 4. Menghitung jumlah elemen dari himpunan $A\cup (B\cap C)$: Himpunan $A\cup (B\cap C)$ memiliki 10 elemen. • Jawaban yang benar adalah D. 10.

Penyelesaian: • Banyaknya anggota himpunan kuasa dari $A$ adalah 256. • Himpunan kuasa dari $A$ memiliki $2^{|A|}$ anggota, di mana $|A|$ adalah jumlah elemen dalam $A$. • Diketahui $2^{|A|}=256$, kita temukan $|A|$ dengan menyelesaikan $2^{|A|}=256$. $2^{|A|}=256$ $256=2^8$ $|A|=8$ • Himpunan $B$ memiliki 5 elemen, dan $B\cap A=\varnothing$. • Karena $B\cap A=\varnothing$, maka $n(A-B)=|A|$. $n(A-B)=8$ • Jawaban: C. 8

Penyelesaian: • Banyaknya anggota himpunan kuasa dari $X$ adalah 32. • Himpunan kuasa dari $X$ memiliki $2^{|X|}$ anggota, di mana $|X|$ adalah jumlah elemen dalam $X$. • Diketahui $2^{|X|}=32$, kita temukan $|X|$ dengan menyelesaikan $2^{|X|}=32$. $2^{|X|}=32$ $32=2^5$ $|X|=5$ • Himpunan $Y$ memiliki 3 elemen, dan $Y\cap X=\varnothing$. • Karena $Y\cap X=\varnothing$, maka $n(X-Y)=|X|$. $n(X-Y)=5$ • Jawaban: C. 5

Penyelesaian: • Banyaknya anggota himpunan kuasa dari $M$ adalah 16. • Himpunan kuasa dari $M$ memiliki $2^{|M|}$ anggota, di mana $|M|$ adalah jumlah elemen dalam $M$. • Diketahui $2^{|M|}=16$, kita temukan $|M|$ dengan menyelesaikan $2^{|M|}=16$. $2^{|M|}=16$ $16=2^4$ $|M|=4$ • Himpunan $N$ memiliki 2 elemen, dan $N\cap M=\varnothing$. • Karena $N\cap M=\varnothing$, maka $n(M-N)=|M|$. • $n(M-N)=4$ • Jawaban: C. 4

Penyelesaian: • Banyaknya anggota himpunan kuasa dari $M$ adalah 16. • Himpunan kuasa dari $M$ memiliki $2^{|M|}$ anggota, di mana $|M|$ adalah jumlah elemen dalam $M$. • Diketahui $2^{|M|}=16$, kita temukan $|M|$ dengan menyelesaikan $2^{|M|}=16$. $2^{|M|}=16$ $16=2^4$ $|M|=4$ • Himpunan $N$ memiliki 2 elemen, dan $N\cap M=\varnothing$. • Karena $N\cap M=\varnothing$, maka $n(M-N)=|M|$. • $n(M-N)=4$ • Jawaban: C. 4

Penyelesaian: • Banyaknya anggota himpunan kuasa dari $R$ adalah 128. • Himpunan kuasa dari $R$ memiliki $2^{|R|}$ anggota, di mana $|R|$ adalah jumlah elemen dalam $R$. • Diketahui $2^{|R|}=128$, kita temukan $|R|$ dengan menyelesaikan $2^{|R|}=128$. $2^{|R|}=128$ $128=2^7$ $|R|=7$ • Himpunan $S$ memiliki 6 elemen, dan $S\cap R=\varnothing$. • Karena $S\cap R=\varnothing$, maka $n(R-S)=|R|$. $n(R-S)=7$ • Jawaban: C. 7

Penyelesaian: • Banyaknya anggota himpunan kuasa dari $R$ adalah 128. • Himpunan kuasa dari $R$ memiliki $2^{|R|}$ anggota, di mana $|R|$ adalah jumlah elemen dalam $R$. • Diketahui $2^{|R|}=128$, kita temukan $|R|$ dengan menyelesaikan $2^{|R|}=128$. $2^{|R|}=128$ $128=2^7$ $|R|=7$ • Himpunan $S$ memiliki 6 elemen, dan $S\cap R=\varnothing$. • Karena $S\cap R=\varnothing$, maka $n(R-S)=|R|$. $n(R-S)=7$ • Jawaban: C. 7

Penyelesaian: 1. Total peserta = 200 2. Lulus tes Psikotes ($P$) = 120 3. Lulus tes Keterampilan ($K$) = 140 4. Tidak lulus keduanya = 10 • Hitung banyaknya peserta yang lulus salah satu atau kedua tes ($n(P\cup K)$): $n(P\cup K)=200-10=190$ • Substitusi nilai $n(P\cup K)$, $n(P)$, dan $n(K)$: $190=120+140-n(P\cap K)$ • Selesaikan persamaan untuk mencari $n(P\cap K)$: $n(P\cap K)=120+140-190$ $n(P\cap K)=260-190$ $n(P\cap K)=70$ • Jawaban: A. 70

Penyelesaian: 1. Total siswa = 150 2. Lulus tes Fisika ($F$) = 90 3. Lulus tes Kimia ($K$) = 80 4. Tidak lulus keduanya = 15 • Hitung banyaknya siswa yang lulus salah satu atau kedua tes ($n(F\cup K)$): $n(F\cup K)=150-15=135$ • Substitusi nilai $n(F\cup K)$, $n(F)$, dan $n(K)$: $135=90+80-n(F\cap K)$ • Selesaikan persamaan untuk mencari $n(F\cap K)$: $n(F\cap K)=90+80-135$ $n(F\cap K)=170-135$ $n(F\cap K)=35$ • Jawaban: B. 55

Penyelesaian: 1. Total siswa = 150 2. Lulus tes Fisika ($F$) = 90 3. Lulus tes Kimia ($K$) = 80 4. Tidak lulus keduanya = 15 • Hitung banyaknya siswa yang lulus salah satu atau kedua tes ($n(F\cup K)$): $n(F\cup K)=150-15=135$ • Substitusi nilai $n(F\cup K)$, $n(F)$, dan $n(K)$: $135=90+80-n(F\cap K)$ • Selesaikan persamaan untuk mencari $n(F\cap K)$: $n(F\cap K)=90+80-135$ $n(F\cap K)=170-135$ $n(F\cap K)=35$ • Jawaban: B. 55

Penyelesaian: 1. Total peserta = 250 2. Lulus tes TPA ($T$) = 160 3. Lulus tes Bahasa Inggris ($B$) = 150 4. Tidak lulus keduanya = 20 Hitung banyaknya peserta yang lulus salah satu atau kedua tes ($n(T\cup B)$): $n(T\cup B)=250-20=230$ Substitusi nilai $n(T\cup B)$, $n(T)$, dan $n(B)$: $230=160+150-n(T\cap B)$ Selesaikan persamaan untuk mencari $n(T\cap B)$: $n(T\cap B)=160+150-230$ $n(T\cap B)=310-230$ $n(T\cap B)=80$ Jawaban: E. 80

Penyelesaian: 1. Total peserta = 250 2. Lulus tes TPA ($T$) = 160 3. Lulus tes Bahasa Inggris ($B$) = 150 4. Tidak lulus keduanya = 20 Hitung banyaknya peserta yang lulus salah satu atau kedua tes ($n(T\cup B)$): $n(T\cup B)=250-20=230$ Substitusi nilai $n(T\cup B)$, $n(T)$, dan $n(B)$: $230=160+150-n(T\cap B)$ Selesaikan persamaan untuk mencari $n(T\cap B)$: $n(T\cap B)=160+150-230$ $n(T\cap B)=310-230$ $n(T\cap B)=80$ Jawaban: E. 80

Penyelesaian: • Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan prinsip-prinsip himpunan dan teorema inklusi-eksklusi. Kita definisikan himpunan-himpunan berikut: - $M$: siswa yang mengambil Matematika - $F$: siswa yang mengambil Fisika - $K$: siswa yang mengambil Kimia • Diketahui: - $|M|=60$ - $|F|=80$ - $|K|=70$ - $|M\cap F|=35$ - $|M\cap K|=30$ - $|F\cap K|=25$ - $|M\cup F\cup K|=150$ • Tujuan kita adalah mencari banyaknya siswa yang hanya mengambil pelajaran Fisika. • Langkah pertama adalah menggunakan teorema inklusi-eksklusi untuk menghitung jumlah siswa yang mengambil tepat dua atau tiga mata pelajaran: • $|M\cup F\cup K|=|M|+|F|+|K|-|M\cap F|-|M\cap K|-|F\cap K|+|M\cap F\cap K|$ • Kita substitusi nilai-nilai yang diketahui: $150=60+80+70-35-30-25+|M\cap F\cap K|$ $150=220-90+|M\cap F\cap K|$ $150=130+|M\cap F\cap K|$ $|M\cap F\cap K|=20$ • Sekarang kita hitung siswa yang hanya mengambil pelajaran Fisika. Siswa yang hanya mengambil Fisika adalah siswa yang mengambil Fisika, tetapi tidak mengambil Matematika maupun Kimia. Jadi, kita kurangi siswa yang mengambil Fisika dengan siswa yang mengambil Matematika dan Fisika, Kimia dan Fisika, dan ketiga mata pelajaran. $|F_{\text{only}}|=|F|-|M\cap F|-|F\cap K|+|M\cap F\cap K|$ • Substitusi nilai yang diketahui: $|F_{\text{only}}|=80-35-25+20$ $|F_{\text{only}}|=80-60+20$ $|F_{\text{only}}|=40$ • Jadi, banyaknya siswa yang hanya mengambil pelajaran Fisika adalah E. 40 siswa

Penyelesaian: • Untuk menyelesaikan masalah ini, kita dapat menggunakan prinsip-prinsip himpunan dan teorema inklusi-eksklusi. Kita definisikan himpunan-himpunan berikut: - $M$: siswa yang mengambil Matematika - $F$: siswa yang mengambil Fisika - $K$: siswa yang mengambil Kimia • Diketahui: - $|M|=60$ - $|F|=80$ - $|K|=70$ - $|M\cap F|=35$ - $|M\cap K|=30$ - $|F\cap K|=25$ - $|M\cup F\cup K|=150$ • Tujuan kita adalah mencari banyaknya siswa yang hanya mengambil pelajaran Fisika. • Langkah pertama adalah menggunakan teorema inklusi-eksklusi untuk menghitung jumlah siswa yang mengambil tepat dua atau tiga mata pelajaran: • $|M\cup F\cup K|=|M|+|F|+|K|-|M\cap F|-|M\cap K|-|F\cap K|+|M\cap F\cap K|$ • Kita substitusi nilai-nilai yang diketahui: $150=60+80+70-35-30-25+|M\cap F\cap K|$ $150=220-90+|M\cap F\cap K|$ $150=130+|M\cap F\cap K|$ $|M\cap F\cap K|=20$ • Sekarang kita hitung siswa yang hanya mengambil pelajaran Fisika. Siswa yang hanya mengambil Fisika adalah siswa yang mengambil Fisika, tetapi tidak mengambil Matematika maupun Kimia. Jadi, kita kurangi siswa yang mengambil Fisika dengan siswa yang mengambil Matematika dan Fisika, Kimia dan Fisika, dan ketiga mata pelajaran. $|F_{\text{only}}|=|F|-|M\cap F|-|F\cap K|+|M\cap F\cap K|$ • Substitusi nilai yang diketahui: $|F_{\text{only}}|=80-35-25+20$ $|F_{\text{only}}|=80-60+20$ $|F_{\text{only}}|=40$ • Jadi, banyaknya siswa yang hanya mengambil pelajaran Fisika adalah E. 40 siswa