Pengetahuan Kuantitatif — Paket 7

Penyelesaian: • Untuk mencari suku pertama yang bernilai positif dalam barisan aritmatika $-999,-997,-995,\dots$, kita harus mengetahui terlebih dahulu pola barisan ini. Barisan aritmatika memiliki bentuk umum: • $a_n=a+(n-1)\cdot b$ • di mana $a$ adalah suku pertama dan $b$ adalah beda atau selisih antara dua suku berturutan. • Dari barisan yang diberikan: - Suku pertama ($a$) adalah $-999$ - Beda ($b$) adalah $-997-(-999)=2$ • Untuk menemukan suku ke-$n$ yang pertama kali bernilai positif, kita tentukan nilai $n$ ketika $a_n>0$. $-999+(n-1)\cdot 2>0$ • Menyelesaikan persamaan di atas: $-999+2n-2>0$ $2n-1001>0$ $2n>1001$ $n>500.5$ • Karena $n$ harus berupa bilangan bulat, maka kita ambil $n$ terkecil yang lebih besar dari 500.5, yaitu $n=501$. • Jadi, suku pertama yang bernilai positif adalah suku ke-501. Jawaban yang benar adalah B (501).

Penyelesaian: - Suku pertama ($a$) adalah $-2000$ - Beda ($b$) adalah $-1995-(-2000)=5$ • Untuk menemukan suku ke-$n$ yang pertama kali bernilai positif, kita tentukan nilai $n$ ketika $a_n>0$: $-2000+(n-1)\cdot 5>0$ $-2000+5n-5>0$ $5n-2005>0$ $5n>2005$ $n>401$ • Karena $n$ harus berupa bilangan bulat, maka kita ambil $n$ terkecil yang lebih besar dari 401, yaitu $n=402$. • Jawaban: B. suku ke-402.

Penyelesaian: - Suku pertama ($a$) adalah $-1500$ - Beda ($b$) adalah $-1497-(-1500)=3$ • Untuk menemukan suku ke-$n$ yang pertama kali bernilai positif, kita tentukan nilai $n$ ketika $a_n>0$: $-1500+(n-1)\cdot 3>0$ $-1500+3n-3>0$ $3n-1503>0$ $3n>1503$ $n>501$ • Karena $n$ harus berupa bilangan bulat, maka kita ambil $n$ terkecil yang lebih besar dari 501, yaitu $n=502$. • Jawaban: B. suku ke-502.

Penyelesaian: • Misalkan tiga bilangan tersebut adalah $a-10$, $a$, dan $a+10$. • Jika bilangan terkecil ditambah 6 dan bilangan terbesar dikurangi 4, maka: $(a-10)+6=a-4$ $(a+10)-4=a+6$ • Bentuk barisan geometri: $a-4,a,a+6$ • Karena barisan geometri, maka: $\frac{a}{a-4}=\frac{a+6}{a}$ • Selesaikan persamaan tersebut: $a^2=(a-4)(a+6)$ $a^2=a^2+6a-4a-24$ $0=2a-24$ $2a=24$ $a=12$ • Bilangan-bilangan tersebut adalah: $a-10=2$ $a=12$ $a+10=22$ • Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah: $2+12+22=36$ • Jawaban: A. 36.

Penyelesaian: • Misalkan tiga bilangan tersebut adalah $a-14$, $a$, dan $a+14$. • Jika bilangan terkecil ditambah 8 dan bilangan terbesar dikurangi 5, maka: $(a-14)+8=a-6$ $(a+14)-5=a+9$ • Bentuk barisan geometri: $a-6,a,a+9$ • Karena barisan geometri, maka: $\frac{a}{a-6}=\frac{a+9}{a}$ • Selesaikan persamaan tersebut: $a^2=(a-6)(a+9)$ $a^2=a^2+9a-6a-54$ $0=3a-54$ $3a=54$ $a=18$ • Bilangan-bilangan tersebut adalah: $a-14=4$ $a=18$ $a+14=32$ • Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah: $4+18+32=54$ • Jawaban: C. 54.

Penyelesaian: • Misalkan tiga bilangan tersebut adalah $a-12$, $a$, dan $a+12$. • Jika bilangan terkecil ditambah 7 dan bilangan terbesar dikurangi 6, maka: $(a-12)+7=a-5$ $(a+12)-6=a+6$ • Bentuk barisan geometri: $a-5,a,a+6$ • Karena barisan geometri, maka: $\frac{a}{a-5}=\frac{a+6}{a}$ • Selesaikan persamaan tersebut: $a^2=(a-5)(a+6)$ $a^2=a^2+6a-5a-30$ $0=a-30$ $a=30$ • Bilangan-bilangan tersebut adalah: $a-12=30-12=18$ $a=30$ $a+12=30+12=42$ • Jumlah ketiga bilangan tersebut adalah: $18+30+42=90$ • Jawaban: E. 90.

Penyelesaian: • Diketahui dosis sebanding dengan berat badan. • Dosis obat untuk berat badan 60 kg adalah 15 mg. • Dosis obat untuk berat badan 40 kg dapat dihitung dengan perbandingan langsung: $\text{Dosis}=\frac{40}{60}\times 15\text{ mg}$ • Sederhanakan perhitungan: $\text{Dosis}=\frac{2}{3}\times 15\text{ mg}=10\text{ mg}$ • Jadi, jawaban yang benar adalah A. 10 mg.

Penyelesaian: • Diketahui dosis sebanding dengan berat badan. • Dosis obat untuk berat badan 75 kg adalah 25 mg. • Dosis obat untuk berat badan 45 kg dapat dihitung dengan perbandingan langsung: $\text{Dosis}=\frac{45}{75}\times 25\text{ mg}$ • Sederhanakan perhitungan: $\text{Dosis}=\frac{3}{5}\times 25\text{ mg}=15\text{ mg}$ • Jadi, jawaban yang benar adalah A. 15 mg.

Penyelesaian: • Diketahui dosis sebanding dengan berat badan. • Dosis obat untuk berat badan 50 kg adalah 10 mg. • Dosis obat untuk berat badan 30 kg dapat dihitung dengan perbandingan langsung: $\text{Dosis}=\frac{30}{50}\times 10\text{ mg}$ • Sederhanakan perhitungan: $\text{Dosis}=\frac{3}{5}\times 10\text{ mg}=6\text{ mg}$ • Jadi, jawaban yang benar adalah B. 6 mg.

Penyelesaian: • Diketahui dosis sebanding dengan berat badan. • Dosis obat untuk berat badan 80 kg adalah 16 mg. • Dosis obat untuk berat badan 20 kg dapat dihitung dengan perbandingan langsung: $\text{Dosis}=\frac{20}{80}\times 16\text{ mg}$ • Sederhanakan perhitungan: $\text{Dosis}=\frac{1}{4}\times 16\text{ mg}=4\text{ mg}$ • Jadi, jawaban yang benar adalah B. 4 mg.

Penyelesaian: • Diketahui barisan aritmetika dengan informasi sebagai berikut: - Jumlah suku ke-3 dan suku ke-7 adalah 26. - Hasil kali suku pertama dan suku ke-5 adalah 39. • Menggunakan formula barisan aritmetika: $U_n=a+(n-1)d$ - di mana $a$ adalah suku pertama dan $d$ adalah beda barisan. • Langkah 1: Menentukan $a$ dan $d$ - Jumlah suku ke-3 ($U_3$) dan suku ke-7 ($U_7$) adalah 26: $U_3=a+2d$ $U_7=a+6d$ $U_3+U_7=26$ $(a+2d)+(a+6d)=26$ $2a+8d=26$ $a+4d=13\text{(Persamaan 1)}$ • Hasil kali suku pertama ($a$) dan suku ke-5 ($U_5$) adalah 39: $U_5=a+4d$ $a\times (a+4d)=39$ • Dari Persamaan 1, kita tahu: $a+4d=13$ $a\times 13=39$ $a=\frac{39}{13}=3$ $a+4d=13$ $3+4d=13$ $4d=10$ $d=\frac{10}{4}=2.5$ • Langkah 2: Memeriksa Pernyataan • Suku ke-5 adalah: • $U_5=a+4d=3+4\times 2.5=3+10=13\text{(ganjil)}$ • Pernyataan 1 benar. • Hasil kali suku ke-1 ($U_1$) dan suku ke-9 ($U_9$) adalah: • $U_1=a=3$ • $U_9=a+8d=3+8\times 2.5=3+20=23$ • $U_1\times U_9=3\times 23=69\text{(bukan pecahan)}$ • Pernyataan 2 salah. • Jumlah $n$ suku pertama: $S_n=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$ • Dengan $a=3$ dan $d=2.5$, $2a=6$: $S_n=\frac{n}{2}\left(6+(n-1)\times 2.5\right)\text{(bisa bilangan bulat tergantung nilai }n)$ • Pernyataan 3 benar. • Suku pertama adalah 3, bukan 2. • Pernyataan 4 salah. • Jadi, pernyataan yang benar adalah: B.1 dan 3

Penyelesaian: • Diketahui jumlah suku ke-2 ($U_2$) dan suku ke-6 ($U_6$) adalah 28: $U_2=a+d$ $U_6=a+5d$ $U_2+U_6=28$ $(a+d)+(a+5d)=28$ $2a+6d=28$ $a+3d=14\text{(Persamaan 1)}$ • Diketahui hasil kali suku pertama ($a$) dan suku ke-4 ($U_4$) adalah 35: $U_4=a+3d$ $a\times (a+3d)=35$ • Dari Persamaan 1, kita tahu: $a+3d=14$ $a\times 14=35$ $a=\frac{35}{14}=2.5$ $a+3d=14$ $2.5+3d=14$ $3d=14-2.5$ $3d=11.5$ $d=\frac{11.5}{3}=3.8333$ • Suku ke-4 adalah: $U_4=a+3d=2.5+3\times 3.8333=2.5+11.5=14\text{(genap)}$ • Pernyataan 1 benar. • Hasil kali suku ke-1 ($U_1$) dan suku ke-8 ($U_8$) adalah: $U_1=a=2.5$ $U_8=a+7d=2.5+7\times 3.8333=2.5+26.8333=29.3333\text{(bukan bilangan bulat)}$ $U_1\times U_8=2.5\times 29.3333=73.3333\text{(bukan bilangan genap)}$ • Pernyataan 2 salah. • Jumlah $n$ suku pertama: $S_n=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$ • Dengan $a=2.5$ dan $d=3.8333$: $S_n=\frac{n}{2}\left(5+(n-1)\times 3.8333\right)\text{(bisa bilangan bulat tergantung nilai }n)$ • Pernyataan 3 benar. • Suku pertama adalah 2.5, bukan 5. • Pernyataan 4 salah. • Jadi, pernyataan yang benar adalah A. 1 dan 3.

Penyelesaian: • Diketahui jumlah suku ke-4 ($U_4$) dan suku ke-8 ($U_8$) adalah 48: $U_4=a+3d$ $U_8=a+7d$ $U_4+U_8=48$ $(a+3d)+(a+7d)=48$ $2a+10d=48$ $a+5d=24\text{(Persamaan 1)}$ • Diketahui hasil kali suku pertama ($a$) dan suku ke-6 ($U_6$) adalah 60: $U_6=a+5d$ $a\times (a+5d)=60$ • Dari Persamaan 1, kita tahu: $a+5d=24$ $a\times 24=60$ $a=\frac{60}{24}=2.5$ $a+5d=24$ $2.5+5d=24$ $5d=24-2.5$ $5d=21.5$ $d=\frac{21.5}{5}=4.3$ • Suku ke-6 adalah: $U_6=a+5d=2.5+5\times 4.3=2.5+21.5=24\text{(bilangan genap)}$ • Pernyataan 1 salah. • Hasil kali suku ke-2 ($U_2$) dan suku ke-10 ($U_{1}0$) adalah: $U_2=a+d=2.5+4.3=6.8$ $U_{1}0=a+9d=2.5+9\times 4.3=2.5+38.7=41.2$ $U_2\times U_{1}0=6.8\times 41.2=280.16\text{(bukan bilangan bulat)}$ • Pernyataan 2 salah. • Jumlah $n$ suku pertama: $S_n=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$ • Dengan $a=2.5$ dan $d=4.3$: $S_n=\frac{n}{2}\left(5+(n-1)\times 4.3\right)\text{(bisa bilangan bulat tergantung nilai }n)$ • Pernyataan 3 benar. • Suku pertama adalah 2.5, bukan 3. • Pernyataan 4 salah. • Jadi, pernyataan yang benar adalah H. 3 SAJA

Penyelesaian: • Diketahui jumlah suku ke-5 ($U_5$) dan suku ke-9 ($U_9$) adalah 70: $U_5=a+4d$ $U_9=a+8d$ $U_5+U_9=70$ $(a+4d)+(a+8d)=70$ $2a+12d=70$ $a+6d=35\text{(Persamaan 1)}$ • Diketahui hasil kali suku pertama ($a$) dan suku ke-7 ($U_7$) adalah 56: $U_7=a+6d$ $a\times (a+6d)=56$ • Dari Persamaan 1, kita tahu: $a+6d=35$ $a\times 35=56$ $a=\frac{56}{35}=1.6$ $a+6d=35$ $1.6+6d=35$ $6d=35-1.6$ $6d=33.4$ $d=\frac{33.4}{6}=5.5667$ • Suku ke-3 adalah: $U_3=a+2d=1.6+2\times 5.5667=1.6+11.1334=12.7334\text{(bilangan pecahan)}$ • Pernyataan 1 benar. • Hasil kali suku ke-2 ($U_2$) dan suku ke-10 ($U_{1}0$) adalah: $U_2=a+d=1.6+5.5667=7.1667$ $U_{1}0=a+9d=1.6+9\times 5.5667=1.6+50.1=51.7$ $U_2\times U_{1}0=7.1667\times 51.7=370.9217\text{(bilangan pecahan)}$ • Pernyataan 2 benar. • Jumlah $n$ suku pertama: $S_n=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d\right)$ • Dengan $a=1.6$ dan $d=5.5667$: $S_n=\frac{n}{2}\left(3.2+(n-1)\times 5.5667\right)\text{(bisa bilangan bulat tergantung nilai }n)$ • Pernyataan 3 benar. • Suku pertama adalah 1.6. • Pernyataan 4 benar. • Jadi, pernyataan yang benar adalah E. Semua benar.

Penyelesaian: • Diketahui Lina mengalami kerugian 15% dari harga pembelian. • Harga jual barang adalah Rp425.000,00. • Kerugian 15% berarti harga jual adalah 85% dari harga pembelian. • Misalkan harga pembelian adalah $x$. • Hubungan harga jual dan harga pembelian dapat dituliskan sebagai: $\text{Harga Jual}=\text{Harga Pembelian}\times 85\%$ $425.000=x\times 0.85$ • Untuk mencari $x$, kita bagi harga jual dengan 0.85: $x=\frac{425.000}{0.85}$ • Sederhanakan perhitungan: • $x=500.000$ • Jadi, harga beli barang tersebut adalah A. Rp500.000,00.

Penyelesaian: • Diketahui Lina mengalami kerugian 15% dari harga pembelian. • Harga jual barang adalah Rp425.000,00. • Kerugian 15% berarti harga jual adalah 85% dari harga pembelian. • Misalkan harga pembelian adalah $x$. • Hubungan harga jual dan harga pembelian dapat dituliskan sebagai: $\text{Harga Jual}=\text{Harga Pembelian}\times 85\%$ $425.000=x\times 0.85$ • Untuk mencari $x$, kita bagi harga jual dengan 0.85: $x=\frac{425.000}{0.85}$ • Sederhanakan perhitungan: $x=500.000$ • Jadi, harga beli barang tersebut adalah A. Rp500.000,00.

Penyelesaian: • Diketahui Rizky mengalami kerugian 25% dari harga pembelian. • Harga jual motor adalah Rp3.000.000,00. • Kerugian 25% berarti harga jual adalah 75% dari harga pembelian. • Misalkan harga pembelian adalah $x$. • Hubungan harga jual dan harga pembelian dapat dituliskan sebagai: $\text{Harga Jual}=\text{Harga Pembelian}\times 75\%$ $\mathrm{3.000.000}=x\times 0.75$ • Untuk mencari $x$, kita bagi harga jual dengan 0.75: $x=\frac{\mathrm{3.000.000}}{0.75}$ • Sederhanakan perhitungan: $x=\mathrm{4.000.000}$ • Jadi, harga beli motor tersebut adalah B. Rp4.000.000,00.

Penyelesaian: • Diketahui Rina mengalami kerugian 10% dari harga pembelian. • Harga jual tas adalah Rp360.000,00. • Kerugian 10% berarti harga jual adalah 90% dari harga pembelian. • Misalkan harga pembelian adalah $x$. • Hubungan harga jual dan harga pembelian dapat dituliskan sebagai: $\text{Harga Jual}=\text{Harga Pembelian}\times 90\%$ $360.000=x\times 0.9$ • Untuk mencari $x$, kita bagi harga jual dengan 0.9: $x=\frac{360.000}{0.9}$ • Sederhanakan perhitungan: $x=400.000$ • Jadi, harga beli tas tersebut adalah A. Rp400.000,00.

Penyelesaian: • Diketahui Rina mengalami kerugian 10% dari harga pembelian. • Harga jual tas adalah Rp360.000,00. • Kerugian 10% berarti harga jual adalah 90% dari harga pembelian. • Misalkan harga pembelian adalah $x$. • Hubungan harga jual dan harga pembelian dapat dituliskan sebagai: $\text{Harga Jual}=\text{Harga Pembelian}\times 90\%$ $360.000=x\times 0.9$ • Untuk mencari $x$, kita bagi harga jual dengan 0.9: $x=\frac{360.000}{0.9}$ • Sederhanakan perhitungan: $x=400.000$ • Jadi, harga beli tas tersebut adalah A. Rp400.000,00.

Penyelesaian: • Diketahui harga beli sepeda motor adalah Rp15.000.000,00. • Keuntungan yang diinginkan Pak Andi adalah 20%. • Keuntungan 20% berarti harga jual adalah 120% dari harga pembelian. • Misalkan harga jual adalah $y$. • Hubungan harga jual dan harga pembelian dapat dituliskan sebagai: $\text{Harga Jual}=\text{Harga Pembelian}\times 120\%$ $y=\mathrm{15.000.000}\times 1.2$ • Sederhanakan perhitungan: $y=\mathrm{18.000.000}$ • Jadi, harga jual sepeda motor tersebut adalah A. Rp18.000.000,00.