Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah $ax^2 + bx + c = 0$, dengan a, b, dan c adalah bilangan real dan $a \neq 0$. Penyelesaian persamaan kuadrat atau disebut juga akar-akar persamaan kuadrat yaitu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat.

Terdapat empat cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, rumus persamaan kuadrat, dan grafik fungsi kuadrat. Masing-masing cara ini memiliki langkah-langkah tersendiri yang dapat disesuaikan dengan bentuk persamaan kuadratnya.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Pemfaktoran

Persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan dalam bentuk $hk = 0$, maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan pemfaktoran.

Misalnya: Persamaan kuadrat $x^2 + 5x + 6 = 0$ difaktorkan dalam bentuk $hk = 0$.

Untuk memfaktorkan, dengan mencari dua angka yang hasil kalinya 6 (hasil dari 1 dan 6) dan jumlahnya 5, yaitu 2 dan 3. Maka persamaan tersebut bisa difaktorkan menjadi:

$(x + 2)(x + 3) = 0$ $\iff x + 2 = 0$ atau $x + 3 = 0$ $\iff x = -2$ atau $x = -3$

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Kuadrat Sempurna

Suatu persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan dengan pemfaktoran, dapat diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Bentuk $x^2 + 2ax + a^2$ merupakan bentuk kuadrat sempurna karena $x^2 + 2ax + a^2 = (x + a)^2$, sedangkan bentuk $x^2 + 2ax$ bukan kuadrat sempurna, karena $x^2 + 2ax \neq (x + a)^2$.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah dengan memindahkan suku konstan ke sisi kanan persamaan. Kemudian, tambahkan dan kurangi nilai tertentu pada sisi kiri persamaan agar sisi kiri menjadi kuadrat sempurna. Setelah itu, ambil akar kedua sisi persamaan untuk menemukan nilai x.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus

Akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dapat diselesaikan dengan rumus:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$

dengan a, b, dan c adalah bilangan real dan $a \neq 0$.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Salah satu sifat menarik dari persamaan kuadrat adalah hubungan antara akar-akar persamaan tersebut dengan koefisien dalam bentuk umumnya, yaitu $ax^2 + bx + c = 0$. Dengan menggunakan rumus kuadrat, akar-akarnya dapat ditemukan, tetapi ada cara yang lebih cepat untuk mengetahui jumlah dan hasil kali akar-akar tersebut tanpa harus menghitungnya secara langsung. Rumus yang dapat digunakan adalah sebagai berikut.

Rumus jumlah akar-akar:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

dan hasil kali akar-akar:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Jika persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$, ditulis dalam bentuk $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0$ maka jumlah akar-akarnya sama dengan negatif koefisien x $\left(-\dfrac{b}{a}\right)$ dan hasil kali akar-akarnya sama dengan nilai konstanta $\left(\dfrac{c}{a}\right)$.

Masalah yang Berkaitan dengan Persamaan Kuadrat

Berbagai permasalahan yang ada dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan menggunakan persamaan kuadrat. Maka dari itu, masalah tersebut dapat diubah menjadi bentuk model matematika, khususnya dengan membentuk persamaan kuadrat. Kemudian, persamaan tersebut dapat diselesaikan, dan yang perlu diingat adalah solusi yang ditemukan harus sesuai dengan karakteristik atau ciri khas dari masalah yang sedang dihadapi.

Pengertian dan Penggunaan Diskriminan

Diskriminan berasal dari rumus kuadrat yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Dalam bentuk umum $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), diskriminan dihitung dengan rumus $D = b^2 - 4ac$.

Nilai diskriminan memiliki pengaruh besar terhadap sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat. Diskriminan menunjukkan jenis akar persamaan kuadrat sebagai berikut.

• Jika $b^2 - 4ac = 0$, kedua akar sama dan real.
• Jika $b^2 - 4ac < 0$, kedua akar imajiner.
• Jika $b^2 - 4ac > 0$, kedua akar real dan berbeda. Apabila a, b, dan c rasional, maka: jika $b^2 - 4ac$ adalah bilangan kuadrat, maka kedua akarnya rasional; jika $b^2 - 4ac$ bukan bilangan kuadrat, maka akar-akarnya irasional.

Menyusun Persamaan Kuadrat

Jika diketahui $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar persamaan $ax^2 + bx + c = 0$, maka $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ dan $x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat digunakan untuk menyusun suatu persamaan kuadrat.

$ax^2 + bx + c = 0$, $a \neq 0$ $a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a}\right) = 0$ $\to a\left(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2\right) = 0$

berarti, $x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0 \to x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Sedangkan, $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0 \to (x - x_1)(x - x_2) = 0$

$(x - x_1)(x - x_2) = 0 \to x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$

Jadi, persamaan kuadrat dapat disusun dari perkalian faktor-faktornya serta dari jumlah dan hasil kali akar-akarnya.