Ukuran Pemusatan Data

Penyajian data melalui distribusi frekuensi belum cukup memberikan informasi yang jelas mengenai objek yang dianalisis. Maka dari itu, diperlukan suatu nilai tunggal yang dapat mewakili semua data pada setiap data yang ada. Nilai tunggal tersebut dinamakan rata-rata.

Dalam statistik, yang dimaksud rata-rata bukan hanya rata-rata hitung (rataan), tetapi juga mencakup median, modus, dan rata-rata harmonis. Setelah diurutkan, seluruh rata-rata tersebut mempunyai kecenderungan berada di tengah-tengah nilai semua data. Oleh karena itu, ukuran rata-rata tersebut dinamakan "ukuran pemusatan" atau tendensi sentral.

Rataan Hitung (Mean)

Rataan Data Tunggal

Rataan hitung (disingkat rataan) data: $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ dihitung dengan:

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}$$

atau

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

dengan $\bar{x}$ merupakan rataan hitung (rataan), $x_i$ merupakan data ke-i dan n merupakan banyak (ukuran) data.

Rataan Data Tunggal dengan Rataan Sementara

Terdapat dua cara untuk menghitung rataan bagi data-data numerik statistik. Cara pertama adalah cara dengan rumus

$$\bar{x} = \frac{\text{jumlah data}}{\text{banyaknya data}}$$

Cara kedua adalah cara tidak langsung dengan "rataan sementara". Metode ini digunakan untuk memudahkan perhitungan rata-rata, terutama apabila datanya relatif rumit. Rata-rata sementara dipilih dari salah satu data yang ada, lalu dihitung selisih tiap data dengan rata-rata sementara.

Rumus rataan sebenarnya dinyatakan dengan:

$$\bar{x} = x_s + \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - x_s)}{n} = x_s + \frac{\sum_{i=1}^{n} d_i}{n}$$

Keterangan:

• $x_s$ = rataan sementara
• $x_i$ = data ke-i
• $n$ = ukuran data
• $d_i$ = simpangan data ke-i terhadap rataan sementara

Rataan Data Berkelompok

Untuk menghitung rataan data berkelompok dapat menggunakan rumus berikut.

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{r} x_i f_i}{\sum_{i=1}^{r} f_i}$$

Keterangan:

• $\bar{x}$ = rataan
• $x_i$ = titik tengah interval kelas ke-i
• $\sum_{i=1}^{r} f_i = n$ = ukuran data

Menghitung Rataan Data Berkelompok dengan Rataan Sementara

Sama seperti menghitung rataan dengan menggunakan rataan sementara, terlebih dahulu menentukan rataan yang kita duga (rataan sementara).

Rataan sebenarnya dapat dihitung dengan rumus:

$$\bar{x} = x_s + \frac{\sum_{i=1}^{r} f_i \cdot d_i}{\sum_{i=1}^{r} f_i}$$

Keterangan:

• $\bar{x}$ = rataan
• $x_s$ = rataan sementara
• $x_i$ = titik tengah interval kelas ke-i
• $f_i$ = frekuensi dari $x_i$
• $d_i = x_i - x_s$, simpangan data ke-i terhadap rataan sementara
• $\sum_{i=1}^{r} f_i = n$ = ukuran data

Sifat rataan sebagai tingkat kecenderungan memusat memiliki kelebihan mudah dihitung serta perhitungannya melibatkan seluruh data. Sedangkan kelemahannya adalah sangat peka terhadap nilai data yang ekstrem (terlalu besar atau terlalu kecil).

Modus

Modus adalah nilai yang paling sering muncul atau mempunyai frekuensi tertinggi dalam suatu data. Modus dapat digunakan untuk mengetahui data yang paling dominan dalam suatu kumpulan data.

Kelebihan sifat modus sebagai suatu ukuran kecenderungan memusat adalah dapat memberi nilai data yang paling sering berulang atau muncul dan mudah diketahui dari data tanpa membuat perhitungan.

Namun, adakalanya suatu data memiliki lebih dari satu modus, termasuk kekurangan sifat modus.

Modus Data Tunggal

Data yang memiliki satu modus dinamakan unimodus, yang memiliki dua modus dinamakan bimodus, dan yang memiliki lebih dari dua modus dinamakan multimodus.

Modus Data Berkelompok

Secara umum, modus dapat dihitung menggunakan rumus berikut.

$$\text{Modus} = L + c \cdot \left(\frac{d_1}{d_1 + d_2}\right)$$

dengan:

• $L$ = tepi bawah kelas modus
• $d_1$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya
• $d_2$ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas setelahnya
• $c$ = panjang kelas