Garis Singgung Lingkaran

Pengertian Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis yang hanya menyentuh lingkaran pada satu titik. Titik di mana garis singgung bersentuhan dengan lingkaran ini disebut titik singgung. Garis singgung memiliki sifat yang sangat penting, yaitu bahwa garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran yang menuju titik singgung tersebut.

Jika suatu garis singgung ditarik dari titik luar lingkaran, maka panjang garis singgung dari titik tersebut ke titik singgung akan selalu sama jika ditarik dari titik luar yang berbeda. Ini dikenal dengan teorema garis singgung yang menyatakan bahwa panjang garis singgung yang ditarik dari titik luar lingkaran ke titik singgung yang berbeda akan memiliki panjang yang sama.

Panjang Garis Singgung Sebuah Lingkaran

Panjang Garis Singgung yang Ditarik dari Titik Diluar Lingkaran

Pada gambar di atas, AP merupakan garis singgung lingkaran yang menyinggung lingkaran di titik A. Garis AP tegak lurus terhadap jari-jari OA. Dengan demikian, $\triangle OAP$ adalah segitiga siku-siku.

Panjang garis singgung AP dapat ditentukan dengan menggunakan teorema Pythagoras berikut.

$OP^{2} = OA^{2} + AP^{2}$ $AP^{2} = OA^{2} - OP^{2}$ $AP = \sqrt{OA^{2} - OP^{2}}$

Jadi, panjang garis singgung $AP = \sqrt{OA^{2} - OP^{2}}$ .

Layang – layang Garis Singgung

Garis PA dan PB merupakan garis singgung lingkaran yang berpusat di O, serta AB merupakan tali busur.

• Pada $\triangle ABO$, OA = OB = jari-jari. Jadi, $\triangle ABO$ merupakan segitiga sama kaki.
• Pada $\triangle ABP$, PA = PB = garis singgung. Jadi, $\triangle ABP$ merupakan segitiga sama kaki.

Segiempat AOBP terbentuk dari dua segitiga sama kaki, yaitu segitiga ABO dan segitiga ABP, yang memiliki alas AB yang saling bertumpuk. Dengan demikian, bangun AOBP membentuk layang-layang. Oleh karena salah satu pasang sisi dari layang-layang AOBP merupakan garis singgung terhadap sebuah lingkaran, maka bangun AOBP disebut sebagai layang-layang garis singgung.

Teorema layang-layang garis singgung menyatakan bahwa panjang kedua garis singgung yang ditarik dari titik luar ke lingkaran yang sama akan selalu sama.

$$\text{Luas layang-layang AOBP} = 2 \times \triangle OPA$$

atau

$$\text{Luas layang-layang AOBP} = \dfrac{1}{2} \times OP \times AB = \dfrac{1}{2} \times d_1 \times d_2$$

Segitiga dan Segi Empat Garis Singgung

Segitiga garis singgung adalah segitiga yang ketiga sisinya menyinggung satu lingkaran yang sama. Pada segitiga garis singgung ABC, berlaku hubungan:

$$AB + PC = AC + PB$$

di mana P merupakan titik singgung pada sisi BC. Hubungan ini dikenal sebagai Teorema Pitot.

Teorema Pitot juga berlaku pada segi empat garis singgung, berlaku persamaan:

$$AB + CD = BC + DA$$

Jika lingkarannya berada di luar, berlaku:

$$AB - CD = |AD - BC|$$

dengan $AB > CD$.

Teorema ini dikenal dengan Teorema Steiner.