Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Kedudukan Dua Lingkaran

Dalam geometri, dua lingkaran dapat memiliki beberapa kedudukan satu sama lain:

• $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0.
• $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dan $PQ < r < R$, dalam hal ini tidak konsentris.
• $L_2$ terletak di dalam $L_1$ dan $PQ = r = \dfrac{1}{2}R$, sehingga $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di dalam.
• $L_2$ berpotongan dengan $L_1$ dan $r < PQ < R$.
• $L_1$ berpotongan dengan $L_2$ dan $r < PQ < R + r$.
• $L_1$ terletak di luar $L_2$ dan $PQ = R + r$, sehingga $L_1$ dan $L_2$ bersinggungan di luar.
• $L_1$ terletak di luar $L_2$ dan $PQ > R + r$, sehingga $L_1$ dan $L_2$ saling terpisah.

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus.

Garis Singgung Persekutuan Dalam

Misalkan lingkaran P dan lingkaran Q berturut-turut memiliki jari-jari R dan r. Garis AB adalah garis singgung persekutuan dalam lingkaran P dan lingkaran Q. Panjang garis pusat lingkaran P dan lingkaran Q adalah p.

Perhatikan segitiga siku-siku PQS, dengan titik siku-siku berada di titik S.

$PS = PA + AS$ $\quad\ = R + r$ (karena AS = BQ) $PQ = p$ dan $QS = AB$

Berdasarkan teorema Pythagoras, didapat:

$QS^{2} = PQ^{2} - PS^{2}$ $\quad\ \ = p^{2} - (R + r)^{2}$ $QS = \sqrt{p^{2} - (R + r)^{2}}$

Karena QS = AB, maka $AB = QS = \sqrt{p^{2} - (R + r)^{2}}$.

Garis Singgung Persekutuan Luar

Misalkan lingkaran P dan lingkaran Q berturut-turut memiliki jari-jari R dan r. Garis AB adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran P dan lingkaran Q. Panjang garis pusat lingkaran P dan lingkaran Q adalah p.

Garis yang sejajar AB melalui Q, sehingga memotong AP di S.

Segitiga PQS siku-siku di S.

$PS = R - r$, $SQ = AB$, dan $PQ = p$.

Berdasarkan teorema Pythagoras, didapat:

$PQ^{2} = PS^{2} + SQ^{2}$ $SQ^{2} = PQ^{2} - PS^{2}$ $\quad\ \ = p^{2} - (R - r)^{2}$ $SQ = \sqrt{p^{2} - (R - r)^{2}}$

Karena SQ = AB, maka $AB = QS = \sqrt{p^{2} - (R - r)^{2}}$.

Penerapan Garis Singgung Lingkaran

Berikut disajikan permasalahan kontekstual terkait penerapan garis singgung lingkaran.