Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah transformasi geometri yang memutar suatu objek atau titik mengelilingi titik pusat tertentu (biasanya titik asal: $(0, 0)$) sejauh sudut tertentu dan dengan arah tertentu (searah atau berlawanan arah jarum jam). Objek yang diputar dapat berupa fungsi atau kurva. Apabila grafik fungsi diputar, maka persamaan fungsi tersebut akan berubah. Untuk mendapat persamaan hasil rotasi, dapat dipilih sebuah titik pada grafik tersebut, dengan tujuan mendapatkan aturan umumnya.

Rotasi 90° atau −270° dengan Pusat (0, 0)

Rotasi 90° artinya diputar 90° berlawanan arah jarum jam. Rotasi 90° senilai dengan rotasi −270°, yang artinya diputar 270° searah jarum jam. Jika diketahui titik $(x, -y)$ pada sebuah kurva $f(x)$ dirotasi 90° atau 270° searah jarum jam dengan pusat $(0, 0)$, maka menjadi titik $(y, x)$ pada kurva $g(x)$ dan dapat diformulasikan $x' = -y$ atau $y = -x'$ dan $y' = x$ atau $x = -y'$, sehingga:

$$\begin{aligned} y &= f(x) \\ -x' &= f(y') \\ x' &= -f(y) \end{aligned}$$

Dengan demikian, apabila $y = f(x)$ dirotasi 90° dengan pusat $(0, 0)$, maka bayangannya dapat dinyatakan dengan persamaan:

$$x = -f(y)$$

Rotasi −90° atau 270° dengan Pusat (0, 0)

Rotasi −90° artinya diputar 90° searah jarum jam. Rotasi −90° senilai dengan rotasi 270°, yang artinya diputar 270° berlawanan arah jarum jam. Jika diketahui titik $(x, y)$ pada sebuah kurva $f(x)$ dirotasi 90° searah jarum jam atau 270° berlawanan arah jarum jam dengan pusat $(0, 0)$, maka menjadi titik $(y, -x)$ pada kurva $g(x)$ dan dapat diformulasikan $x' = y$ dan $y' = -x$ atau $x = -y'$, sehingga:

$$\begin{aligned} y &= f(x) \\ x' &= f(-y) \end{aligned}$$

Dengan demikian, apabila $y = f(x)$ dirotasi −90° dengan pusat $(0, 0)$, maka bayangannya dapat dinyatakan dengan persamaan:

$$x = f(-y)$$

Rotasi 180° atau −180° dengan Pusat (0, 0)

Rotasi 180° artinya diputar 180° berlawanan arah jarum jam. Rotasi 180° senilai dengan rotasi −180°, yang artinya diputar 180° searah jarum jam. Jika diketahui titik $(x, y)$ pada sebuah kurva $f(x)$ dirotasi 180° atau −180° dengan pusat $(0, 0)$, maka menjadi titik $(-x, -y)$ pada kurva $g(x)$ dan dapat diformulasikan $x' = -x$ atau $x = -x'$ dan $y' = -y$ atau $y = -y'$, sehingga:

$$\begin{aligned} y &= f(x) \\ -y' &= f(-x') \\ y' &= -f(-x) \end{aligned}$$

Dengan demikian, apabila $y = f(x)$ dirotasi 180° dengan pusat $(0, 0)$, maka bayangannya adalah $y = g(x)$ yang didefinisikan dengan persamaan:

$$g(x) = -f(-x)$$